专题09导数及其应用难点突破1-证明不等式（原卷版）

专题09导数及其应用难点突破1证明不等式题型一移项构造函数证明不等式例1已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞lneq\f(3,e)，且x＞0时，eq\f(ex,x)＞eq\f(3,2)x＋eq\f(1,x)－3a.感悟提升待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.训练1已知函数.(1)当时，（ⅰ）求在点处的切线方程；（ⅱ）求的最小值；(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，证明.题型二分拆函数法证明不等式例2证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立.证明问题等价于证明xlnx＞eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞)).感悟提升1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.训练2已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.题型三放缩后构造函数证明不等式例3已知x∈(0，1)，求证：x2－eq\f(1,x)＜eq\f(lnx,ex).感悟提升某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式ex≥x＋1，1－eq\f(1,x)≤lnx≤x－1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.训练3证明：exlnx＋eq\f(2ex－1,x)＞1.方法技巧：指对同构在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.(1)五个常见变形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三种基本模式①积型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up17(三种同构方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤（lnb）elnb……f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb……f（x）＝xlnx，,取对：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）……f（x）＝x＋lnx，))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up17(三种同构方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)……f（x）＝\f(x,lnx)，,取对：a－lna＜lnb－ln（lnb）……f（x）＝x－lnx，))③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(→,\s\up17(两种同构方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb……f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb……f（x）＝x±lnx.))例(1)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1，求a的取值范围.(2)已知函数f(x)＝aex－lnx－1，证明：当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥0.一、解答题1．已知函数．(1)定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，求实数a的值；(2)若，证明：．2．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，证明：．3．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数存在唯一极小值点，证明：.4．已知函数．(1)当时，，求实数m的取值范围；(2)若，使得，求证：．5．已知函数有两个不同的零点，.(1)当时，求证：；(2)求实数a的取值范围；(3)求证：.6．已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围；(3)证明不等式：.7．设函数，.(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；(2)证明：①当时，；②，.（是自然对数的底数，）8．已知函数，若函数有两个不同的零点(1)求a的取值范围；(2)求证：9．已知函数，．(1)若，证明：；(2)若不等式恒成立，求正实数的值；(3)证明：．10．已知函数.(1)当时，，求的最大值；(2)设，证明：.11．已知函数，其中为非零实数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，且，证明：.12．已知函数．(1)设，求在上的最大值；(2)当时，求证：．13．已知函数.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝e，证明：当x>0时，.14．已知函数是自然对数的底数.(1)当时，设的最小值为，求证：；(2)求证：当时，.15．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若存在，且当时，，证明：．16．已知函数，其中为自然对数的底数，约为.(1)求函数的极小值；(2)若实数满足且，证明：.17．已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若方程有两个不同的实数根.（i）求的取值范围；（ii）若，求证：.(参考数据：)18．已知函数，(1)若，求的极值；(2)讨论的单调区间；(3)求证：当时，.19．已知函数.(1)当时，证明：：(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.20．已知函数，.(1)当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标；(2)