2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题03函数的概念与性质（真题6个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题03函数的概念与性质（真题6个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考2、4题分段函数、函数的奇偶性2023秋考5、18题2023春考13题函数的值域，函数奇偶性的判断、函数与方程的应用函数的奇偶性2022秋考12题2022春考13题抽象函数的性质应用函数的定义域及其求法2021年秋考13、21题2021年春考20题基本初等函数单调性与奇偶性的判断、函数恒成立函数定义域、零点与方程根的关系、函数单调性的判定及其应用2020年春考6、21题函数奇偶性及其应用、抽象函数的性质及其应用一．函数的定义域及其求法（共2小题）1．（2022•上海）下列函数定义域为的是A． B． C． D．〖祥解〗化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】解：，定义域为，，定义域为，，定义域为，，定义域为．定义域为的是．故选：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．（2021•上海）已知函数．（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．〖祥解〗（1）把代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2），设，得，，求得等式右边关于的函数的值域可得的取值范围；（3）分与两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的范围．【解答】解：（1）当时，，由，得，解得或．函数的定义域为，，；（2），，设，有两个不同实数根，整理得，，，，当且仅当时，方程有2个不同实数根，又，的取值范围是；（3）当时，，在，上单调递减，此时需要满足，即，函数在，上递减；当时，，在，上递减，，，即当时，函数在上递减．综上，当，时，函数在定义域上连续，且单调递减．【点评】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．二．函数的值域（共2小题）3．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为，．〖祥解〗分段求出的值域，再取并集即可．【解答】解：当时，，当时，，所以函数的值域为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．4．（2022•上海）设函数满足对任意，都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，，则的取值范围为．〖祥解〗由题可得，再根据时不合题意，进而即得；或等价于恒成立，即恒成立，进而即得．【解答】解：法一：令，解得（负值舍去），当时，，当时，，且当时，总存在，使得，故，若，易得，所以，即实数的取值范围为；法二：原命题等价于任意，所以恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．三．函数的奇偶性（共5小题）5．（2023•上海）下列函数是偶函数的是A． B． C． D．〖祥解〗根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】解：对于，由正弦函数的性质可知，为奇函数；对于，由正弦函数的性质可知，为偶函数；对于，由幂函数的性质可知，为奇函数；对于，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数．故选：．【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．6．（2024•上海）已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值〖祥解〗根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．【解答】解：对于，时，，当时，，，对于任意，（1）恒成立，若是偶函数，此时（1），矛盾，故错误；对于，若函数图像如下：当时，，时，，，当，，所以存在在处取最大值，故正确；对于，在时，若函数严格增，则集合的取值不会是，，而是全体定义域，故错误；对于，若存在在处取到极小值，则在左侧存在，，与集合定义矛盾，故错误．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题．7．（2020•上海）若函数为偶函数，则1．〖祥解〗根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则，即，变形可得：，必有；故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8．（2024•上海）已知，，且是奇函数，则0．〖祥解〗首先根据，解得，再根据奇函数的定义进行验证即可．【解答】解：由题意，可得，解得，当时，，满足，即是奇函数，故符合题意．故答案为：0．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属基础题．9．（2023•上海）已知，，函数．（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．〖祥解〗（1）时，求出函数的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．（2）根据函数过点，求出的值，然后根据与轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．【解答】解：（1）若，则，要使函数有意义，则，即的定义域为，是奇函数，是偶函数，函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．（2）若函数过点，则（1），得，得，此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，即，得，当时，有两个不同的交点，设，则，得，得，即，若即是方程的根，则，即，得或，则实数的取值范围是且且，即，，．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．四．抽象函数的周期性（共1小题）10．（2020•上海）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．（1）当，判断、是否具有性质；（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．〖祥解〗（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；（2）依题意，为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；（3）根据条件，分，为正偶数和为正奇数三种情况，求出条件的的值．【解答】解：（1）为减函数，，具有性质；为增函数，，不具有性质；（2）依题意，对任意，恒成立，为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得，当时，函数单调递增，满足对任意，恒成立，综上，实数的取值范围为，．（3）为整数集，具有性质的函数均为常值函数，当时，取单调递减函数，两个不等式恒成立，但不为常值函数；当为正偶数时，取，两个不等式恒成立，但不为常值函数；当为正奇数时，根据对任意且，不等式恒成立，可得，则，所以为常值函数，综上，为正奇数．【点评】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．五．函数恒成立问题（共1小题）11．（2021•上海）已知，，若对任意的，，则有定义：是在关联的．（1）判断和证明是否在，关联？是否有，关联？（2）若是在关联的，在，时，，求解不等式：．（3）证明：是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”．〖祥解〗（1）任取，，证明，，证明在，关联，取，，证明在，不关联；（2）先得到，再得到，和，的解析式，进而得到答案；（3）先证明在是关联的是在关联的，且是在，关联的，再证明在，是关联的是在关联的，且是在，关联的．【解答】解：（1）在，关联，在，不关联，任取，，则，，在，关联；取，，则，，，，在，不关联；（2）在关联，对于任意，都有，对任意，都有，由，时，，得在，的值域为，，在，的值域为，，仅在，或，上有解，，时，，令，解得，，时，，令，解得，不等式的解为，，（3）证明：①先证明：是在关联的，且是在，关联的在，是关联的，由已知条件可得，，，，又是在，关联的，任意，成立，若，，，即，，是，关联，②再证明：在，是关联的是在关联的，且是在，关联的，在，是关联的，任取，，都有，成立，即满足，都有，下面用反证法证明，若，则，与在，是关联的矛盾，若，而在，是关联的，则，矛盾，成立，即是在关联的，再证明是在，关联的，任取，，则存在，使得任取，，，，，，，，是在，关联的；综上所述，是关联的，且是在，关联的，当且仅当“在，是关联的”，故得证．【点评】该题考查了函数求解析式，解不等式，函数恒成立的知识，对学生逻辑推理能力提出了很高的要求，属于难题．六．函数的值（共1小题）12．（2024•上海）已知，则（3）．〖祥解〗根据已知条件，将代入函数解析式，即可求解．【解答】解：，则（3）．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．一．选择题（共14小题）1．（2024•徐汇区模拟）在下列函数中，值域为的偶函数是A． B． C． D．〖祥解〗利用基本初等函数的奇偶性质判断即可．【解答】解：由基本初等函数的性质，可得为奇函数，为奇函数，错误；又（当且仅当时取等号），故的值域为，，错误；又为偶函数，当时，，故的值域为，正确．故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．2．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，则对任意实数，函数的值域是A． B．， C．， D．，〖祥解〗分和两种情况讨论，可得的值域．【解答】解：当时，，当时，，因为，所以，所以，所以，，综上所述：的值域为，．故选：．【点评】本题考查函数的值域的求法及分类讨论的思想，属于基础题．3．（2024•青浦区校级模拟）已知函数为偶函数，若，则不可能为A．2024 B． C． D．〖祥解〗根据偶函数的定义判断即可．【解答】解：为偶函数，则，，，对任意恒成立，有，，或．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．4．（2024•宝山区三模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为A． B． C． D．〖祥解〗由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】解：为对数函数，不为奇函数，故错误；为奇函数，在，内为增函数，故错误；为奇函数，且，可得为增函数，故正确；为奇函数，在，内为增函数，故错误．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．5．（2024•浦东新区校级三模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是A． B． C． D．〖祥解〗根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，在上递增，则在区间上为减函数，不符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意；对于，，是指数函数，在上为减函数，不符合题意；对于，，是反比例函数，在区间上为增函数，符合题意．故选：．【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及常见函数的单调性，属于基础题．6．（2024•闵行区二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为A． B． C．，， D．，，〖祥解〗根据函数的奇偶性求得时，，再分别求解不等式即可得到结论．【解答】解：因为，为奇函数，当时，，当时，，可得，即时，，所以，即，可得，当时，，可得；当时，，可得．故集合，，．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．7．（2024•崇明区二模）已知函数的定义域为，，．命题：若当时，都有，则函数是上的奇函数．命题：若当时，都有，则函数是上的增函数．下列说法正确的是A．、都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．、都是假命题〖祥解〗由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑，结合函数的奇偶性和单调性的定义即可判断和．【解答】解：函数的定义域为，，．若当时，都有，这里，存在，不是任意的，由奇函数的定义可得函数不一定是上的奇函数，故错误；若当时，都有，符合单调性的定义，为增函数，故正确．故选：．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题．8．（2024•黄浦区校级模拟）已知是定义在上的偶函数，若、，且时，恒成立，且（2），则满足的实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，〖祥解〗利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围．【解答】解：设，则，所以，令，则，所以函数在，上为增函数，对任意的，，所以函数为上的偶函数，且（2）（2），由可得，即（2），即（2），所以，，即，解得．故选：．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．9．（2024•普陀区校级三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若（3），则A． B． C．函数的周期为2 D．〖祥解〗由已知结合函数的奇偶性，周期性，利用赋值法检验各选项即可求解．【解答】解：为奇函数且函数定义域为，，又为偶函数，，，故项错误．由可得，，，函数的周期为4，即项错误．由，令，得（1），（3）（1），（1），即项错误．又（3），，．故选：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性的应用，属于中档题．10．（2024•宝山区校级四模）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有（a）（b），则以下选项中，不可能是（1）值的是A． B． C．0 D．1〖祥解〗由已知等式，结合赋值法可求出的范围，然后结合各选项即可判断．【解答】解：因为函数对于任意实数和，都有（a）（b），令，有，可得，所以或，令，有，即，因为，所以，当时，，当时，，所以的值不可能是．故选：．【点评】本题主要考查了抽象函数中，赋值法的应用，属于中档题．11．（2024•黄浦区二模）设函数若恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．〖祥解〗由题意可知当时，恒成立，且当时，恒成立，参变分离，结合函数的单调求解即可．【解答】解：由题意可知：当时，，即恒成立，当时，上式显然成立；当时，则有恒成立，易知函数在，上单调递增，所以，所以；当时，恒成立，即，恒成立，令，，则在，上恒成立，因为的开口向下，对称轴为，所以当时，取最大值，所以，综上，的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想，考查了二次函数的性质及换元法的应用，属于中档题．12．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数，定义域为，且，，，则下列结论正确的是①若（1）（1），则；②若（1）（1），则．A．② B．① C．①② D．都不正确〖祥解〗利用赋值法先判断，的奇偶性，然后结合赋值法及函数的奇偶性检验各结论即可求．【解答】解：由得，所以，故是奇函数，由得，所以，故是偶函数，由题意得，令得（1）（1），由是奇函数得，且，，解得，当（1）（1）时，，①错误．由，，得，令得，（1）（1）当（1）（1）时，，所以②正确．故选：．【点评】本题主要考查了赋值法在抽象函数求值及奇偶性判断中的应用，属于中档题．13．（2024•虹口区二模）已知定义在上的函数，的导数满足，给出两个命题：①对任意，，都有；②若的值域为，，，（1），则对任意都有．则下列判断正确的是A．①②都是假命题 B．①②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题〖祥解〗对于①，设，由，得，设，，推导出，，从而递减，递增，由此能推导出；对于②，推导出（1），，（1），从而当时，，，，，任取，列不等式组能求出对任意的，都有．【解答】解：对于①，设，，在上递增，，设，，，，，，递减，递增，，，，，，，，故①是真命题；对于②，由①得（1）（1），（1），（1），（1），单调递增，，（1），当时，，，，，，任取，由①得：，，，，对任意的，都有，故②是真命题．故选：．【点评】本题考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．（2024•宝山区三模）如果，同时满足以下三个条件：①（1）；②对任意，，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”．有下列两个命题：命题：若为“理想函数”，则存在，，且，使成立；命题：若为“理想函数”，则对任意，，都有成立．则下列说法正确的是A．命题为假命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题、命题都是真命题 D．命题、命题都是假命题〖祥解〗令，结合性质②③可得，即可判断真假，由此有在，上有递增趋势的函数（不一定严格递增），进而得到，，应用反证法：若为“理想函数”，存在，，使成立，讨论、，结合递归思想判断的存在性，判断真假．【解答】解：令，则，，所以，又对任意，，成立，则，即，所以，即对任意，都有，命题为假命题；由命题为假，即在，上非递减，有递增趋势的函数（不一定严格递增），令，则，而任意，，成立；所以，又（1），故，，反证法：若为“理想函数”，存在，，使成立，对于，，而，此时不存在使成立；对于，若存在使成立，则，而，，则，即，由，，依次类推，必有，，且趋向于无穷大，此时，，而必然会出现大于1的情况，与矛盾，所以，在上也不存在使成立，综上，若为“理想函数”，则对任意，，都有成立，命题为真命题．故选：．【点评】本题主要考查命题真假的判断，函数恒成立问题，考查逻辑推理能力，属于难题．二．填空题（共33小题）15．（2024•松江区二模）函数的定义域为．〖祥解〗由对数式的真数大于0求解的范围得答案．【解答】解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．16．（2024•浦东新区校级四模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式（答案不唯一）．①；②至少有两个零点；③有最小值．〖祥解〗举例二次函数，验证其满足题意即可．【解答】解：取，其对称轴为，满足①，令，解得或2，满足②至少有两个零点，，当，，满足③有最小值．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查函数的对称性，零点问题，属于基础题．17．（2024•闵行区校级三模）已知函数则的值为．〖祥解〗将的值依次代入对应的解析式，即可求解．【解答】解：，故．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．18．（2024•浦东新区校级三模）若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值是3．〖祥解〗根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解．【解答】解：因为，当且仅当时，等号成立，若关于的不等式对任意实数恒成立，则，所以实数的最大值是3．故答案为：3．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．19．（2024•嘉定区二模）函数的值域为，．〖祥解〗先对已知函数进行化简，作出函数图象【解答】解：，其大致图象如图所示，结合函数图象可知，函数有最小值3，没有最大值．故答案为：，．【点评】本题主要考查了函数值域的求解，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．20．（2024•徐汇区校级模拟）设函数的定义域为，满足，当，时，，则．〖祥解〗令代入已知关系即可求值．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查函数值的计算，属于基础题．21．（2024•虹口区模拟）若函数为偶函数，则1．〖祥解〗根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则，即，变形可得：，必有；故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．22．（2024•普陀区校级三模）已知函数是偶函数，则实数．〖祥解〗根据偶函数的定义，即可列关系式求解．【解答】解：定义域为，则，所以，故，故答案为：【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．23．（2024•嘉定区校级模拟）已知偶函数在区间，上是严格减函数．若（1），则的取值范围是，．〖祥解〗由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．【解答】解：因为偶函数在区间，上是严格减函数，若（1），则，所以，解得．故答案为：，．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．24．（2024•宝山区三模）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围．〖祥解〗根据，求出的最小值，问题转化为恒成立，解出即可．【解答】解：由得：，，当且仅当时“”成立，故不等式恒成立，得恒成立，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质的应用，考查转化思想，是一道常规题．25．（2024•松江区校级模拟）若函数的定义域为，且，则实数的值为1．〖祥解〗由已知可得关于的不等式，求解的范围，结合函数为偶函数求解值．【解答】解：函数的定义域为，，解得，又，，1，2，而，可知为偶函数，则．实数的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查化归与转化思想，是基础题．26．（2024•静安区二模）已知实数，记．若函数在区间，上的最小值为，则的值为3．〖祥解〗先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．【解答】解：当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，取得最小值，解得，．故答案为：3．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．27．（2024•崇明区二模）已知函数为奇函数，则（2）．〖祥解〗先求时的函数值，然后结合奇函数的定义即可求解．【解答】解：因为为奇函数，且时，函数值为，故（2）．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．28．（2024•浦东新区二模）已知是奇函数，当时，，则的值是〖祥解〗由已知可先求出，然后结合奇函数的定义即可求解．【解答】解：因为是奇函数，当时，，所以．则．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义在函数求值中的应用，属于基础题．29．（2024•浦东新区校级四模）若函数为偶函数，则1．〖祥解〗由题意可得，，代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：为偶函数，，，，，，，．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．30．（2024•闵行区二模）对于任意的、，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．〖祥解〗利用导数求得，，结合题意可得恒成立，即，代入两函数的最值即可得答案．【解答】解：令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，所以；令，所以，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以（1），所以，又因为对于任意的、，且，不等式恒成立，即对于任意的、，且，不等式恒成立，即恒成立，所以，即，，所以的取值范围为：．故答案为：．【点评】本题考查了导数的综合运用、转化思想，属于中档题．31．（2024•青浦区校级模拟）已知，是实数，满足，当取得最大值时，5．〖祥解〗由题意可知，进而求出的最大值，再结合取等条件即可求出此时的值．【解答】解：．，，，当且仅当，即或时，等号成立，当取得最大值时，．故答案为：5．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．32．（2024•松江区校级模拟）函数在，上的值域为，则的值为．〖祥解〗先由绝对值、余弦函数的有界性以及求出，分类讨论求出，即可求解．【解答】解：因为，，所以当且仅当且时，所以，，又，所以，所以，易知在上单调递减，在单调递增，所以当时，，不满足题意；当时，因为，所以，注意到，且在单调递增，所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．33．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数，则的解集是．〖祥解〗由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可求解．【解答】解：因为，，对于函数，有，即，则，即，所以，整理得，，解得，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质及对数函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．34．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数若对，，恒成立，则实数的取值范围为．〖祥解〗分，和，两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案．【解答】解：当，时，由题意得，由题意得，，故，令，由对勾函数的性质可得在，上单调递减，故，所以，解得，当，时，，故，因为，所以，综上，．故答案为：．【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．35．（2024•奉贤区三模）已知，若非零整数，使得等式恒成立，则的所有可能的取值为，2．〖祥解〗先求导，根据等式恒成立，得到，，即可求解．【解答】解：，，又等式，，即恒成立，，，，或，，当，时，，当，时，．故答案为：，2．【点评】本题考查函数的恒成立问题，属于中档题．36．（2024•浦东新区三模）已知为偶函数，若（a），则．〖祥解〗依题意，得，，解之即可．【解答】解：为偶函数，当时，，（a）（a），又（a），，解得．故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．37．（2024•浦东新区校级模拟）若存在实数，对任意的，，不等式恒成立．则正数的取值范围是．〖祥解〗根据题意将原不等式化为，则其转化为存在实数，使得在区间，上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，再根据数形结合和二次函数的对称性，即可求出结果．【解答】解：不等式可化为，问题转化为存在实数，使得在区间，上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，如图画出函数与函数的图象，由，得或（舍去），从而得，由二次函数的对称性知与图象的右边交点的横坐标为，故在区间上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，所以实数的取值范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数与方程、二次函数的性质以及数形结合能力，属于中档题．38．（2024•杨浦区校级三模）设，若在区间上，关于的不等式有意义且能恒成立，则的取值范围为，，．〖祥解〗由题意可得当时，的图象始终在的上方，分、、、、、及，分别作出图象，结合图象求解即可．【解答】解：因为在区间上，关于的不等式有意义且能恒成立，所以当时，的图象始终在的上方，又因为在上单调递增，所以，；在和上单调递减，且图象是由的图象向左或向右平移个单位得到的．当时，如图所示：满足题意；当时，函数图象是由的图象向左平移个单位得到的，易知，解得，所以；当时，函数图象是由的图象向左平移个单位得到的，当时，如图所示：则必有，解得，所以；当时，因为当趋于时，趋于，不满足题意；当时，如图所示：不满足题意；当时，如图所示：，满足题意；当时，如图所示：，满足题意．综上，或．故答案为：，，．【点评】本题考查了指数函数、幂函数的性质，考查了图象的平移、分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．39．（2024•松江区二模）已知函数，若，则的最小值为4．〖祥解〗由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解．【解答】解：，若，不妨设，则，所以，即，所以，当且仅当，时，等号成立．故答案为：4．【点评】本题考查对数函数的性质及对数的运算，考查基本不等式的运用，是中档题．40．（2024•长宁区二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若（a），则实数的取值范围为或．．〖祥解〗由已知结合奇函数定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式．【解答】解：因为函数是定义域为的奇函数，当时，，所以，当时，，则，所以，若（a），当时，可得，解得，当时，可得，解得，当时，可得，显然不成立，故的范围为或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．41．（2024•浦东新区校级模拟）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域为，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围为．〖祥解〗由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出的取值范围．【解答】解：函数为“倍缩函数”，且满足存在，，使在，上的值域是，，在，上是增函数；，即，方程有两个不等的实根，且两根都大于0；，解得：，满足条件的范围是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．42．（2024•虹口区模拟）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为4．〖祥解〗首先分析出，再得到，最后利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：时，有，所以，令，，的零点是，在上，在上，的零点是，在上，在上，若不等式对任意的恒成立，则，，，当且仅当时，等号成立．故答案为：4．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．43．（2024•嘉定区校级模拟）若正数，满足，则的最小值是．〖祥解〗设，，则，，，，再由乘1法，运用基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：设，，则，，，，即有．当且仅当时，取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用：最值的求法，注意运用乘1法，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．44．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数的定义域为，，则下列说法正确的有①②③．．①；②（1）；③是偶函数；④为的极小值点〖祥解〗利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项①②③，举反例即可排除选项④．【解答】解：因为，对于①，令，，故①正确．对于②，令，（1）（1）（1），则（1），故②正确．对于③，令，（1），则，令，，又函数的定义域为，所以为偶函数，故③正确，对于④，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，属于中档题．45．（2024•浦东新区校级模拟）设定义在上的偶函数满足，它在区间，上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为．〖祥解〗由的奇偶性及对称性可得周期性及图象，由可得，求方程的根即求交点的横坐标，观察图象可得转化为求即可．【解答】解：由图象知，设的方程为，则，则的方程为：，又因为是偶函数，所以当时，则，所以，由，可得的图象关于直线对称，又，所以，所以的周期．因为，所以，则方程的根为交点的横坐标．则作出函数和的大致图象如图，由图象知（5）（3）（1），，，则当时，方程取得最大根，当时，，，由得，即，解得（舍或．故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查数形结合思想的应用，属于中档题．46．（2024•崇明区二模）已知实数，，，满足：，，，则的最大值是6．〖祥解〗由题意可得，把变形，利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：设，，，，则、都在圆上，令，，则，．．其中，分别为、到直线的距离，而点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，则，其中为圆心到直线的距离，即，可得的最大值是．故答案为：6．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．47．（2024•黄浦区校级模拟）以表示数集中最大的数．设，已知或，则，，的最小值为．〖祥解〗利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解．【解答】解：令，，，其中，，，所以，若，则，故，令，，，，，因此，故，则，若，则，即，，，，，，则，故，则，当且仅当且时等号成立，如取时可满足等号成立，综上可知，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了求函数的最大值，考查了函数思想及分类讨论思想，属于难题．三．解答题（共12小题）48．（2024•黄浦区校级三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且（1）．（1）求的解析式；（2）判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．〖祥解〗（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；（2）根据题意，由作差法证明可得答案．【解答】解：（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则有，解得，又由，解得，所以，则定义域为，且，所以；（2）在区间上为严格增函数．证明如下：设任意，则，由，得，即，，，所以，即，故在区间上为严格增函数．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的性质和证明，注意作差法的应用，属于基础题．49．（2024•徐汇区模拟）已知函数，其中．（1）求证：是奇函数；（2）若关于的方程在区间，上有解，求实数的取值范围．〖祥解〗（1）利用奇偶函数的概念判断即可；（2）依题意，得，分离参数，构造函数，利用其单调性可求得答案．【解答】解：（1）证明：由，得或，的定义域为，，，关于原点对称，又，故是奇函数；（2），且或，由题意，可得在区间，上有解，即在区间，上有解，令，在区间，上单调递减，，，，．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．50．（2024•黄浦区二模）设，函数．（1）求的值，使得为奇函数；（2）若（2），求满足的实数的取值范围．〖祥解〗（1）结合奇函数的定义即可求解；（2）由（2）可求，然后结合指数函数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为为奇函数，所以（1），即，解得，，经检验，为奇函数，符合题意；（2）因为（2），即，所以，化简得，，解得，，故的范围为．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了指数函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础题．51．（2024•闵行区校级三模）设，函数的定义域为．若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”．（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有（2）性质，并说明理由；①；②；（2）已知，且函数具有（1）性质，求实数的取值范围；（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．〖祥解〗（1）代入（2）性质直接计算即可．（2）将原式等价与当时，恒成立的问题即可求解．（3）由充要条件的概念以及函数单调性的性质判断即可．【解答】解：（1）①是，因为对任意，，所以符合定义；②不是，学生只需举一组反例；（2）显然，所以设，则，当时，取最小值，原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，所以得；（3）证明：充分性：如果函数为增函数，则对任意的，均有，即，因此，对任意，若，则，函数具有性质，充分性得证；必要性：若对任意，函数均具有性质，假设函数不是增函数，则存在，满足，即，取，则显然，即对于，存在，但是，与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，即函数为增函数，必要性得证．所以“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，应注意充要条件的概念，属于中档题．52．（2024•闵行区校级二模）已知函数是定义域为的偶函数．（1）求实数的值；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．〖祥解〗（1）由偶函数定义求得参数值；（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围．【解答】解：（1）由偶函数定义知：，即，对成立，．（2）由（1）得：；，，当且仅当即时等号成立，，，即，解得：或，综上，实数的取值范围为．【点评】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式的性质以及函数最值问题，是中档题．53．（2024•金山区二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．（1）若，，试判断函数是否是关于0的“函数”，并说明理由；（2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；（3）已知，，其定义域均为，．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．〖祥解〗（1）根据关于0的“函数”定义可得结果．（2）分别求出最大值和最小值再证明结论即可．（3）分别讨论的范围可得的所有可能值．【解答】解：（1）不是关于0的“函数”．当时，，所以不存在，使得，（2）证明：设，由题意，存在，使得，因为函数是关于的“函数”，所以存在，满足，从而，同理，由是关于的“函数”，可得，综上，．（3）记集合，，，，，，由是关于的“函数”，得，①当时，，，，从而，解得，因唯一，令，解得（舍或（舍．②当时，，，，从而，解得，因唯一，令，解得，符合题意．③当时，，，，从而，得，因唯一，令，解得，符合题意，综上，的所有可能值为1或．【点评】本题主要考查函数的最值和函数的应用，属于中档题．54．（2024•宝山区校级四模）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”．（1）用初等函数构造区间，到区间，的一个完美对应；（2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；（3）若，，且是某区间到区间，的一个完美对应，求的取值范围．〖祥解〗（1）结合函数单调性的定义及基本初等函数的定义域及值域即可求解；（2）利用反证法，结合基本初等函数的单调性即可求解；（3）使用题目所给新定义，结合函数单调性即可求解的取值范围．【解答】解：（1）因为，根据函数单调性的定义有在上为单调递增函数，根据题目对完美对应的新定义可得所需构造的函数定义域为，时，值域为，所以；（2）假设存在整数集到有理数集之间完美对应，则对任意，，均有，则有在上为单调递增函数，设，若，，则，则，可得，可设（1），则（2）（1）（1），同理可得（3），（4），，，则有，即是整数集到有理数集之间完美对应，与题意矛盾，所以假设不成立，整数集到有理数集之间不存在完美对应；（3）解得．若，则单调递增，且有（1），，此时，；若，时，则，时，；时，．则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，故只有极小值才满足题意，解得，若，则时，，时，；时，；则函数在单调递减，时单调递减，在单调递增；又，故只有极大值才满足题意，记得此时．综上，的取值范围是．【点评】本题考查了函数的定义、函数的单调性和函数的值域，结合新定义考查学生的数学逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．55．（2024•浦东新区校级模拟）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．（1）若函数，，，求函数和的“分界线”；（2）已知函数满足对任意的，恒成立．①求实数的值；②设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．〖祥解〗（1）令，取时，确定的值，再由，求出的值即可；（2）①由题意可得对恒成立，令，利用导数求解即可；②设，利用导数求出函数的最小值，从而可得函数与的图象在处有公共点．再根据“分界线”的定义求解、证明即可．【解答】解：（1）由“分界线”的定义可得，即对任意恒成立，取，则，进而有，即且，解得，故函数和的“分界线”为；（2）①对任意的，恒成立，对恒成立，令，，当时，恒成立，从而在上单调递减，又（1），当时，与题意矛盾，舍去；当时，令，即，解得；令，即，解得，从而在上单调递增，在上单调递减，．由题意有，即，也即，令，则，当时，（a），（a）单调递减，当时，（a），（a）单调递增，（a）（e），从而（a）（e）．又（a），（a），此时．；②设，则．令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．是函数的极小值点，也是最小值点，．函数与的图象在处有公共点．设与存在“分界线”且方程为：．令函数．由在上恒成立，即在上恒成立，成立，，故，，；证明：恒成立．设，则．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．时，取最大值，为，则恒成立．综上可知且，函数与存在分界线为．此时，．【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合运用、逻辑推理能力，理解定义是重点，属于难题．56．（2024•杨浦区二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有（a）（b）或（b）（a）成立，则称与为相关函数对．（1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；（2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围；（3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有．求证：存在实数，，使得对任意，均有．〖祥解〗（1）根据相关函数对的定义判断即可；（2）由题意可得当恒成立时满足要求，令，利用导数求出函数的最大值即可；（3）用反证法，结合相关函数对的定义，得出矛盾即可．【解答】解：（1）对任意两个不同的实数，，不妨设，（a）（b），所以函数与是相关函数对；（2）对任意两个不同的实数，，不妨设，因为，所以即可，由，可知当恒成立时满足要求，考虑函数，，，所以当时，，为严格减函数，当时，，为严格增函数；所以的最大值为，所以，当时，取，，则（a）（b），（b）（a），此时，不为相关函数对，综上，实数的取值范围为，；（3）证明：假设结论不成立，即对任意实数，，均存在，使，特别取为正整数，，使得，①对任意正整数，，由①，，由于、为相关函数对可知：或，若，则；若，则，由、可知：，②由条件：对任意，，，将区间，分成如下有限个小区间：，，，，（其中，由②可知：上述每个小区间至多包含一个，矛盾，所以假设错误，即结论成立．【点评】本题属于新概念题，考查了转化思想、分类讨论思想、导数的综合运用及反证法的应用，属于难题．57．（2024•长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界．记集合在区间上是严格增函数；（1）求函数的上确界；（2）若，求