第二章数学模型的来源

第一节化工过程的特点及其描述方法第二节机理分析法建立对象的数学模型第三节实验方法建立对象的数学模型第四节描述对象特性的参数

第二章数学模型的来源1导论：数学模型与数学建模概念数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。2利用数学模型解决化学计算的意义化学计算的目的不仅在于化学实验的数据处理，意义更在于学生解题能力的培养和素质训练数学模型3一、被控过程（对象）的特性

化工生产中，被控对象的类型很多，特性也千差万别（平稳和不平稳）。被控对象的特性是由工艺生产过程和本身结构等方面决定的；是实现自动控制的基础。被控对象的特性,就是指被控对象的输入量发生变化时,其输出量的变化规律。

研究和分析被控对象的特性，就是用数学的方法描述被控对象输入量与输出量之间关系。

输入量——操纵变量（q）和干扰（f）输出量——被控变量（y）

第一节化工过程的特点及描述方法4★通道的概念通道：被控对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道.干扰变量f1f2操纵变量被控变量输出输入输入对象干扰通道：干扰变量至被控变量的信号联系。控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。5二、被控对象数学模型的类型

★按数学模型的表述形式分

●非参量模型（曲线图或数据表形式）优点:形象、直观缺点：进行系统分析和设计比较困难●参量模型（数学方程式）★按数学模型所描述的运动状态分

●静态模型（描述对象在静态时的输入量与输出量之间的关系，不随时间而变化）●动态模型（描述对象在输入量改变后输出量的变化情况，输入量、输出量随时间而变化）6三、建立被控对象数学模型的作用

控制系统的方案设计控制系统的调试及控制器参数的整定制定工业过程操作优化方案新型控制方案及控制算法的确定计算机仿真与过程培训系统设计工业过程的故障检测与诊断系统7四、对象数学模型的建立方法★机理分析法

通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或化学变化规律，在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程，用微分方程或代数方程。这种方法完全依赖于足够的先验知识，所得到的模型称为机理模型。机理分析法一般只能用于简单过程的建模。★实验法

在需要建立数学模型的被控过程上，人为的施加一个扰动作用，然后用仪表测量并纪录被控变量随时间变化的曲线，这条曲线即是被控过程的特性曲线。将曲线进行分析、处理，就可得到描述过程特性的数学表达式。★混合建模法

综合上述两种方法的优点，参数估计方法8一、一般步骤★根据实际工艺要求，确定被控对象的输入、输出参数；★根据对象所遵循的物理或化学规律，列出描述变化过程的平衡方程（如物料平衡、能量平衡、动量平衡、相平衡等方程及化学反应定律等）；

输入-输出=积累

★消去中间变量，写出只含输入、输出参数的数学方程，即对象的数学模型。第二节机理法建立过程数学模型9

当对象的动态特性可以用一阶微分方程式描述时，一般称为一阶对象。二、一阶对象的建模水槽对象的模型建立：

h在dt时间内:

输入量-输出量=积累量（A为水槽底面积）工艺要求液位保持恒定，液位高度就是被控变量。Q1变化时，液位h如何变化？（2-1）10出口流量变化Q2和液位变化成正比，与阀门阻力成反比:h为液位变化Rs为阀阻力时间常数放大系数上式可化简为:（2-2）11三、积分对象的建模h积分对象△ht当对象的输出变量与输入变量对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。12积分对象属于无自衡对象，一阶对象属于有自衡对象。无自衡对象在受干扰的影响后，在没有人为干预的情况下，依靠被控过程自身能力不能够重新恢复平衡的过程。

自衡对象在没有人或仪表的干预下，能自己建立新的平衡。无自衡对象（积分对象）有自衡对象（一阶对象）thtQ1thtQ1三、积分对象的建模13四、二阶对象的建模当对象的动态特性用二阶微分方程描述时,就称为二阶对象，二阶对象常为双容对象，如串联水槽。根据物料平衡得：14第三节实验方法建立对象的数学模型机理建模缺点：①复杂而烦琐、有时机理不清楚,很难得到数学表达式;②作了许多假定和假设,忽略了很多次要因素。实验法建模：

就是在所要研究的对象上，人为加上一个输入作用，然后用仪器测取并记录被控变量随时间变化的规律，从而得到反应曲线或一系列实验数据。然后通过数据分析来求取被控对象的动态数学模型。这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数，通常称为系统辩识。15一、阶跃反应曲线法★用实验的方法测取对象在阶跃输入的作用下，输出量y随时间t的变化规律。如简单水槽的反应曲线。Q1ht0ttt0★优点：简单易行，容易实现，数据处理比较简单。★缺点：需要的时间长，测试精度受到限制，加大幅值受工艺影响。16二、矩形脉冲法★用实验的方法测取对象在矩形输入的作用下，输出量y随时间的变化规律，如简单水槽Q1ht0ttt0★优点：干扰时间不长，对正常生产影响比较小;干扰幅值较大，测试精度较高。★缺点：实现相对麻烦，数据处理比较复杂。17三、实验法建模应注意的问题★测试前，被控对象应处于相对稳定状态；★在相同条件下，应重复多做几次试验；★完成一次测试后，应使被控过程恢复原来工况，并稳定一段时间，再作下次测试；★输入的阶跃变化量不能过大，以免对生产的正常进行影响，也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大。18第四节描述对象特性的参数

在实际工作中，对于一阶对象常用放大系数K、时间常数T和滞后时间τ三个物理量来表示对象的特性。一、放大系数K对一阶对象，如贮槽液位变化h与Q1的特性可用下面的微分方程表示：Q1tA假设t≤0时，Q1=0t＞0时，Q1=A

h19解微分方程得：h(∞)t

根据该式可画出h-t曲线，实质上该曲线为一阶对象的阶跃响应曲线。当t→∞时，被控变量达到了新的稳态值h(∞)，即或★K在数值上等于对象重新稳定后，输出变化量与输入变化量之比。★在一定的输入变化量A的作用下，通过对象被放大了K倍变为输出变化量h(∞)，故称K为对象的放大系数。★K是对象的静态性能。★放大系数K越大，被控变量对这个量的变化就越灵敏。20二、时间常数T

T表示对象受扰动作用后，被控变量变化到新稳定值的速度的快慢。当t=T时，

时间常数T就是当被控变量变化达到新的稳态值的0.632倍所需的时间。

0.632h(∞)h(∞)tT时间常数的另一种求法：t=0时当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间就是时间常数。21时间常数T越大，表示被控变量变化越慢，达到新稳定值所需要时间也较长。对于控制通道，时间常数尽量小，使被控变量变化比较快捷，控制过程比较灵活。对扰动通道来说，希望时间常数尽量大，这样扰动对被控参数的影响平缓。22

三、滞后时间τ传递滞后（纯滞后）容量滞后

在许多控制过程当输入量发生变化后，输出量不是立即发生此变化，而是等一段时间后才开始发生变化，这种现象称为滞后现象。1、传递滞后（纯滞后）

★由于介质的输送需要一段时间而引起；★从测量角度来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成。

23传递滞后（纯滞后）24无滞后有滞后

有、无纯滞后的一阶对象数学模型及阶跃响应曲线τ0252.容量滞后（过渡滞后）

有些对象受到阶跃作用后，被控变量y开始变化很慢，后来逐渐加快，最后变慢直至逐渐接近稳态值，这种现象为容量滞后或过渡滞后。由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起，如两个水槽串联的二阶对象：其阶跃反应曲线为：262、容量滞后（过渡滞后）

二阶对象可以用带有滞后的一阶对象来近似处理.

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3、滞后时间对控制过程的影响

对于控制通道，滞后时间的存在，使得控制作用总是落后于被控变量的变化，造成被控变量的最大偏差增大，控制质量下降。

对于干扰通道，纯滞后的存在，相当于将扰动推迟τ

时间才进入系统，并不影响控制系统的品质；而容量滞后的存在，则将使阶跃扰动的影响趋于缓和，被控变量的变化相应也缓和些，因此对系统是有利的。28

3.1比例方程模型——算法模型利用化学方程式的比例关系，计算反应物的用量或求解产物，是化学实验计算教学中的一大类型。

[例1]求5.4gAl与足量盐酸反应生成氢气的体积？消耗6mol/L的盐酸多少毫升？293.2代数方程模型——公式模型[例2]在25℃时，10体积强酸和1体积强碱混合恰好呈中性，则强酸和强碱的pH之间应满足什么关系？分析：由于pH与数学中的对数知识相关联，本题可利用数学中的对数来解决。解：设强酸pH=-lg[H+]=x，则知[H+]=10-x；同理设强碱pH=y=-14+lg[OH-]，则知[OH-]=10y-14。由于2者混合后溶液呈中性，有：V强酸•[H+]=V强碱•[OH-]10×10-x=1×10y-14101-x=10y-141-x=y-14∴x+y=15。303.3几何画板模型——图示模型

[例3]在20.00mL盐酸酸化的AlCl3溶液中加入0.10mol/L的NaOH溶液，发现当加入4.00mL后，开始出现沉淀，且当加入到10.00mL和18.00mL时，出现的沉淀一样多，试求当加入多少毫升NaOH溶液时，产生最大量的沉淀，当加入多少毫升NaOH溶液时，沉淀完全消失？由反应式：AlCl3+3NaOH=Al(OH)3↓+3NaCl……(1)Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O……(2)(1)式中NaOH与AlCl3的反应比例(3:1)可构造直线AC，如图1。(2)式中NaOH与Al(OH)3的反应比例(1:1)可构造直线CB，如图1。31已知A(4,0)，E(10,0)，F(18,0)，求C和B点的横坐标32解：①由斜率kAC=1/3和A(4,0)知直线AC的方程为y=1/3(x-4)。设B(t,0)，由kCB=-1知直线BC方程为：y=-1(x-t)又∵G点和H点的纵坐标相同，得：1/3(10-4)=-1(18-t)∴t=20（此时沉淀完全消失）②联立方程组y=1/3(x-4)、y=20-x解得20-x=1/3(x-4);x=16（此时沉淀最多）。333.4排列组合模型——算法模型排列组合在分析原子、离子等组成物质种类，结构单元等问题时可以将具体问题抽象化，可以简化解题过程。34[例4]：已知氢元素有1H、2H、3H三种同位素，氧元素也有16O、18O二种同位素。它们之间形成化合物的种类有()。A.30种B.18种C.21种D.33种

解析：可以形成的化合物有H2O和H2O2两种。对H2O而言：当其中两个氢原子是同一种原子时H2O的种数为C31×C21=6（种）；当其中两个氢不是同一种原子时H2O的种数为C32×C21=6（种）；所以H2O有C31×C21+C32×C21=6+6=12种；对H2O2而言：35当其中的两个氢原子，两个氧原子都是同一种原子