甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三年级上册第三次检测 数学试题高中数学解析

2022-2023学年度上学期高三第三次检测试卷

数学

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合知={*6如2_%—6<0},N=W(x+l)(x+2)=0},则知)=()

A.{-1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{x|-2<x<-l}D.{x|-2<x<3}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合M、N,结合并集的定义即可得出结果.

【详解】因为加=卜62k2-1-6<0}={-1,0,1,2},

N={x[(x+I)(x+2)=O}={—1,—2},

所以"UN={—2,—1,0,1,2},

故选：B

2.cos(-600°)=()

A.也B.C.；D.--

2222

【答案】D

【解析】

分析】根据诱导公式求得余弦值.

【详解】由诱导公式知，cos(-600)=cos(120°-360°x2)=

2

故选：D

3.已知圆锥的底面半径为3,用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆半径为2,截得的圆台的高为

2,则原圆锥的侧面积为()

A.9后B.18信C.9#>兀D.18君乃

【答案】C

【解析】

【分析】设截面圆的圆心为C,截面圆的半径CD=2,底面圆半径0B=3,CO=2,

由于求出PC,勾股定理求出依，再由圆锥侧面积公式可得答案.

【详解】如图，设截面圆的圆心为C,截面圆的半径C3=2,底面圆半径08=3,

CDPCPCPC_2

CO=2,由于O3〃C。，所以一

OBPO~PC+COPC+2~3

所以PC=4，PB=J。。?+OB?=J36+9=3/，

所以原圆锥的侧面积为»xO8xPB=96，

4.已知向量4=（3,4）,5=（—3,1）,5与5的夹角为。，则tan。等于（）

A.-B.--C.-3D.3

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量夹角公式求得cos。，进而求得tan仇

（I-b—9+4—5J10

【详解】由已知得到cos6==二_I一=]后=一丁,又6e[0,%],所以

\a\-\b\A/32+427（-3）2+125J1010

.Ar.-----3V10

sin6/=vl-cos0=---

10

n

所以tan6=s'"=-3；

cos。

故选：C.

5.若数列｛Q〃｝是等差数列，前八项和用5〃表示，若满足3。5=862>0,则当S〃取得最大值时，〃的值

为（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】c

【解析】

【分析】由已知条件和等差数列的通项可以得出公差d小于0,继而可以判断出卬6>0，《7<0,最后

由等差数列的定义和公式可求出n的值.

【详解】3a$=8出>。，

3a5=8,5+74）,即出=—羊〉0，

・，•d<0,又《6=%+1Id=—>0，

[C74d八

《7=%+12d―<0,

，4>%%…>。16>0>。17>。18，

"=〃©；""），当S”取得最大值时，〃=16.

故选：C.

6.设a>0,b>0,且2a+b=l,则上+*-的最小值为（）

aa+b

l14

A.4B.2V2+1C.—D.2

【答案】B

【解析】

【分析】将所求代数式变形为一+，7=~+'7+1,利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.

aa+baa+b

■八，八rJ2。2a+b2aa+b2a.

【详解】因为2Q+〃=1且。>0,b>0i则一+----=------+=------F----+1

aa+baa+baa+b

Ja+b2a4-k.

>2J----------1-1=2yl2+1,

vaa+b

当且仅当“+〃=亿时，等号成立，因此，一+'7的最小值为2及+L

aa+b

故选：B.

7.在锐角AABC中，角4B、。所对的边分别为a/,c,若/二匕小则」------L+3sinA的

tanCtanA

取值范围为（）

c（哈）D.（2△竽）

A.（2百,+oo）B.（2百,4）

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A、C关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范

围.

【详解】Va2-c1=bc，；,所以b2-2bccosA=bc:.b-2ccosA=csinB-2sinCcosA=sinC,

sin(A+C)-2sinCcosA=sinC,sin(A-C)=sinC..A-C=C,A=2C

因此

11-tan2C1+tan2c

------+3sinA=--------+3sinA=+3sinA+3sinA

tanCtanA------------tanCtan2C-------------tanC2tanC2tanC

=----------------i-3sinA=-------i-3sinA

2sinCeosCsinA

设sinA=f,「△ABC是锐角三角形，Ae(0，W),C=4w(0，I),B=;r-4"w(0，W),

2222232

sinA=re(手,1)，；+3f在，e(#,1)上单调递增，

.11。41,,1373八

・・----------------+3sinA=-+3f€(-------,4)，

tanCtanAt6

故选：C

8.已知函数/(x)=x+lnx,g(x)=xlnx,若/(xj=lnf,g(9)=r,则xmln产的最小值为

().

22人12

A.----B.-C.—D.----

eeee

【答案】A

【解析】

lnX2

［分析］由题可得e"玉=elnx2,由y=xe'在(0,+»)单调递增得x,=lnx2,即x,x2=t,则

2

xtx2lnt=2tlnt,利用导数求出/2(r)=2Hnr(f>0)的最小值即可.

【详解】1/'(x1)=^l+lnx,=lnr,.」=e''・玉①，

^(•*2)=x2lnx2=t'•r=e'n"2-lnx2②，

由①②得eV|•玉=.in工2，

因为当x>0时，(xe'j=(x+l)e'〉O，

所以y=xe*在(0,+。)单调递增，，X|=lnx2，则西工2=，，•.•X|X21nr2=2〃nf.

令〃(7)=2"n/■(/>0),则〃'(/)=2(lnr+l),

令〃'(f)>0,解得/>!，令〃'«)<(),解得0<.<，,

故在Io,/)单调递减，在+8)单调递增,

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据方程的特点得出玉=In%，即%%=?，将问题化为求

〃(f)=2zln/(f>0)得最小值.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列说法错误的有()

A若m6,c成等差数列，则/力2,Cz成等差数列

B.若a,b,c成等差数列，则logzalog之"log2c成等差数歹IJ

C.若a,h,c成等差数列，则a+2/+2,c+2成等差数列

D.若a,6,c成等差数列，则2",2",2'成等差数列

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可.

【详解】A：1,2,3显然成等差数列，但是1,4,9显然不成等差数列，因此本说法不正确；

B：(),(),()显然成等差数列，但是log2。,log2410g2c这三个式子没有意义，因此本说法不正确；

C：因为a,b,c成等差数列，所以2〃=a+c,因为23+2)—3+2+9+2)=2/?—。一。=0,

所以a+2⑦+2,c+2成等差数列，因此本说法正确；

D：1,2,3显然成等差数列，但是2"=2,2"=4,2'=8,显然2",2",2''不成等差数列，因此本说法不正

确；

故选：ABD

10.已知函数f(x)=2后sin(/x+e)co>0,\<p\<^\的部分图像如图所示，将/(x)的图像向右平移

a(a〉0)个单位后，得到函数g(x)的图像，若对于任意的xeR,g(x)Wg,则。值可以为()

【答案】CD

【解析】

【分析】由于/(X)的图像过点(0,2),可得sine=*，结合M|<g可得。的值，由三)=0,解

得幻==一次£Z,而。>0,可得。=2,再利用三角函数图像变换可得g(x),从而由

xeR,g(x)Wgj三］可得答案

【详解】解:由函数的图像可知，J'。)的图像过点(0,2),

所以/（0）=2&sin*=2,可得sin*=*，

因为|同<、，所以夕=£，

因为“X)的图像过点(常,0),

所以/（四）=20sin（3-2+2）=O,解得3•网+工=攵乃,ZeZ,

88484

ll8k—2

所以①=------,ksZ,

3

因为口>0,所以不妨设2=1,则可得0=2,

所以f(x)=2V2sin(2x+-^),

因为g(x)=f(x-a)=2V2sin[2(x-«)+—],

4

所以g(言=2&sin[2(^-—a)+夕=20sin(1-2a),

因为对于任意的xeR,g(x)«

所以g(二)=2后sin(--2a)=±2&,

243

TTTC

所以---2。=攵/H——,keZ,

32

1冗

所以。=—k兀----，4£Z,

21122

1乃54

当我=一1时,a——71-----=—

21212

711\71

当左=一2时,CI-71------------,

1212

故选：CD

11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形

ABCDEFGH,其中。4=1,则下列结论正确的有()

B.OB+OH=->/2OE

C.AHHO=BC-W

D.向量诙在向量通上的投影向量为-也亚

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得

出答案.

【详解】解：图2中的正八边形ABCDEFGH,其中10Al=1,

对于A:0Z.OZ5=lxlxcos^=-它,故A正确；

42

对于B：而+两=血函==历历，故B正确；

对于C：因为|而|=|而|,|的|=|丽=|网)=言，(BCB&i=^,贝ij

A/7-HO=|A//|.|wo|cos(AH,WO)=|Aw|-|wo|cosy,

觉•的=网幽85(册叫=|叫的际(所以而•丽力配.丽，故C错误；

对于D：因为浣=捐，所以向量O月在向量A月上的投影向量即为无后在A月向量上的投影向量

,〃卜0$?•儡=_曰AB,故D正确.

故选：ABD.

ev+tz+/?,0<x<—

12.定义在R上的奇函数〃力满足〃x+2)=/(x),当xe[0,l]时，/(x)=2

bx-\1

---,-<x<l

〔x+l2

(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的有()

A.a+b=­I

B.a-b=-3

C.7(x)不是周期函数

D.函数/(力的图象关于点(1,0)对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意可得/(0)=0，/(1)=0,即a+b+l=0,/(1)=丝'二1=0,解得由m即可判

1+1

断A,B是否正确；由周期定义，可得C是否正确；由对称性可得D是否正确；

【详解】解：因为A*)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

当X=0时，/(0)=e°+。+%=0,化简得“+。+1=0(1),

因为/(x+2)=/(x),所以/(-1)=/(-1+2)=/(1),

又Ax）为奇函数，所以/（I）=-/（-1）,

所以/(-1)=-/(-1),

所以/(-1)=0,则/(1)=(),

当％=1时，/•(])="!」•=(),解得b=l,

1+1

代入⑴得a=—2,

对于A,ci+h——2+1=-1,故A正确；

对B,。-6=-2-1=-3,故B正确；

对C,/(x+2)=/(x),所以7=2是/(X)的一个周期，故C不正确;

对D,/(x+2)=/(x)J(x)=-/(-x),所以f(x+2)=-f(,-x),

所以八＞+1）=-/（1一£）,所以/。）关于点（1,0）对称，故D正确；

故选：ABD.

第n卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分.

13.已知正四棱台的上底边长为4,下底边长为8,侧棱长为则其体积为.

【答案】112

【解析】

【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.

【详解】因为正四棱台的上底边长为4,下底边长为8,侧棱长为J万，

所以棱台的下底面积5=64,上底面积S'=16,高/?==3,

所以正四棱台的体积v=L（s+s‘+^

故答案为：112.

14.若数列｛%｝的前"项和S“=3〃2—2〃+1,则数列｛斯｝的通项公式“"=.

2,〃=1,

【答案】〈

6n—5,n>2

【解析】

【分析】利用数列通项与前”项和的关系求解即可.

【详解】当”=1时，0=51=3x12—2x1+1=2；

当它2时，

a”=S”一SLI=3〃2-2“+1—[3(〃-1)2—2(〃-1)+1]=6〃-5,

显然当”=1时，不满足上式.

2,〃=1,

故数列｛小｝的通项公式为小=〈

6n—5,n>2.

2,〃=1,

故答案为:

6n-5,n>2

15.设函数/(x)="—,若实数々h,c满足a<Z?<c,且/(a)=/(A)=/(c),则

—x+3,x22

C"F2+4—的取值范围是

ab+5

V651

【答案】---,一

36/

【解析】

【分析】结合图象确定a，b,c的关系，由此可得C岫_2+_m_='+$,再利用基本不等式求其最值.

+5c6

,,0<x<2

【详解】解：因函数”幻=।21,若实数mb,c满足。<8<c,且

—x+3,x>2

如图：/(a)=f(b])=f(c)=>log2a=-log2Z?=>nZ?=1,且2vcv3；

尽.*6-2]。1।C

令t=Cd---------=—+—;

。〃+5C6

因为2<c<3；

.•./=1+522，^=丰，当且仅当°时取等号;

[2)=、，[3)='

OO

16.在AABC中，sin(A—B)=sinC—sinB,贝i」cosA=；点。是BC上靠近点3的一个三

等分点，记sm4即='则当4取最大值时，tanNACD=.

sinABAD

【答案】①.y②.2+6

【解析】

【分析】

根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出COSA=L；设=ABAD=e,oiS,^,则

2穆3

DC=2x,sinB=rsin6>,根据正弦定理，得到AO=4x,sinC=(sin熹-0±,求出

cosB=2cos[]+e),得到sin?B+cos?8=/Vsin?6+22cos2(?+6)=1,表示出

丸2_________J________

靖。+8田+4求出最值'即可得出结果•

【详解】因为sin(A_3)=sinC-sin8,所以5宙8=5皿(7-5E(/4-5),

即sinB=sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB,

又因为sinBwO,所以cosA='；

2

设皮)=x,ZBAD=6,01薪色,

秒3

则DC=2x,sinB=2sin0,

_.cADsinDDACZ.八

由正弦定理可得A£>=4x,sinC=---------=§sin错-。字，

B=—cos5+-sinB=-cosB+-sin6>,

2222

由卫cos8+4sin6=4sin--d\,得cosB=4cos[W+0

222UJ(3

因为sin2B+cos2B-A2sin26+A2cos2

sin2e+cos[W+e)l-cos26+l+cos(g+2“

_________2

2-V3cosf2。一£

因为oi,所以2"：ef-f

根36I62J

所以当26—9=0时，4取得最大值6+1，

6

此时sinB=(6+,x"-，

所以8=工，tanZACD=tan7r---—\=2+sf3；

4I34j

答案：g；2+y/3-

【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考

题型.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.“BC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,sin25+sin2C=sin2A+sin5sinC-

(1)求A；

(2)若b+C=6,求AABC的中线AM的最小值.

7T

【答案】(1)-

3

（2）班

2

【解析】

【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解；

（2）用而，恁表示出㈤0，借助向量模的计算公式及均值不等式求解.

【小问1详解】

解：在AABC中，因为sin2B+sin2C=sin24+sinBsinC,

所以心+/=出+尻,

即庐陷一〃2二姐

由余弦定理得cosA=从+/一,,=J.,

2bc2

因为0<A<7Tf

所以A=一；

3

【小问2详解】

因为AM是AABC的中线，

uutr]uunuum、

所以AM=5（zA8+AC）,

,二7t

由Q）知4=一,

3

222

所以初2=l（AB+ACj=l（/,+c+/,c）,

当且仅当人=c时取"=”,则而72空

2

所以AABC的中线AM的最小值为主叵.

2

18.已知数列｛。,,｝满足：4川—2%=0,%=8

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设勿=一数列｛2｝的前”项和为7；.若27；>〃L2021对〃eN*恒成立.求正整数机的最大值.

【答案】（1）an=2"；（2）2021.

【解析】

【分析】（1）求出公比和首项即可.

"4"2

（2）利用错位相减法，求出7；=2-安，再作差求出｛北｝递增，即可求解.

【详解】⑴因为数列｛%｝满足：«n+i-2%=0,%=8,

所以a“+]=2a”,设｛%｝的公比为幻可得。=2,

又名=8,即4q=8,解得q=2,

所以％=2”；

,nn

（2）b=—

H2"

,123n

北二+宠+无+…+/

1Tl23n

/下+*尹+…+西，

jjIjnO'〃

上面两式相减可得7；=5+于+方+…+近一/=-~~

~2

〃+2

化简可=2-亍，

中-T〃+32+nn+l

因为（川~Tn=2—^-―2+-^-=^j->0,

所以｛<｝递增，（最小，且为3所以2xg>m—2021,

解得〃<2022,则加的最大值为2021.

19.已知向量加=（sinx,l）,〃=[百COSM-EJ.令函数/（尤）=而+石）石.

（1）求函数了。）的最小正周期和单调递增区间；

（2）AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,/4CB的角平分线交A8于D其中，函数

/（C）恰好为函数f（x）的最大值，且此时C£>=/（C）,求3a+人的最小值.

7t71

【答案】（1）f（x）的最小正周期为万，单调递增区间为一&肛7+&乃,keZ,,

63⑵4+半

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简可得/(X)sin2无一看+1,即可求出最小正周期，令

-至+2)br42x-二4至+2)br,%€Z可解出单调递增区间;

262

(2)可得/(C)=sin(2C-g]+l=2,解得C=M,再根据正弦定理解得'=」—+」—，进而表

V6y3smAsinB

示出。涉，利用基本不等式可求解.

【详解】(1).・・m=(sinx,l),〃=cosx,一；z.m+n=sinx+5/3cosx,—

2

/(x)=sinMsinx+Gcosx)+Q

=sin2x+\/3sinxcosx4--

l-cos2xG.二1

------------1-----sin2xH—

222

=sin[2x-.)+1,

27r

则，⑺的最小正周期为

2

Ji7/7/7/7/

4-2/:^<2x-—<—4-2k7r,k^Z,解得一不++攵cZ,

4JT

故J'(x)的单调递增区间为-7+k兀，q+k兀/eZ；

63

⑵由/(C)恰好为函数/*)的最大值可得/(C)=sin2C-看+1=2,

即sin2。一色=1,•.•0<C<〃，则可解得。=工，则C0=/(C)=2,

--C-D------A-D---,!

在“仪)中，由sinA,1个，可得4。=一一

sin—C----------------sinA

CDBD,

-------=--------I

在△BCD中，由sinB.1「，可得BD=——

sin5C----------------sinB

11

sinAsinB

1]

a_b_c_sin4+sin3_26(1+1]

在△ABC中,sinAsinBsinC63(sinAsin3J

sinA2GsinB8G

------4----------------1------

sinB3sinA3

,.tsinA>0,sinB>0,

•aHsinA2Gsin-8石.873

..3a+b>2J2,3----------------------+------=4+-----，

VsinB3sinA33

当且仅当sinA=sinB等号成立，故3。+占的最小值为4+如叵.

3

【点睛】关键点睛：本题考查平面向量、三角函数的性质、解三角形的综合应用，解题的关键是利用三角

恒等变换化简，利用正弦定理表示得出。,6,c.

20.已知数列｛%｝,S“是％的前〃项的和，且满足S,=2a“一数列｛a｝是等差数列，

b2+b6=a4,%-2=2%.

（1）求｛4｝，也｝的通项公式；

（2）设数列｛S,,｝的前〃项和为7；,设“（一1）"（小』”"7,求％的前”项的和。

%配2

）〃+2

【答案】（1）4=2"，b=n.（2）=-2+（-l）n——.

n〃+2

【解析】

【分析】（1）由S“=2a”—1,当〃22时，S,i=2a,i-1,两式相减得到一口=2,又由〃=1时求得

4=1,求得数列｛勺｝的通项公式，在由4+%=4，%一2=2%,列出方程组，求得法,d,即可求

得数列｛〃｝的通项公式.

（2）由⑴可得S“=2"-l,则7；=2向一〃一2,求得q,=（-1）"--+--,结合裂项法，即可

〃+2）

求解.

【详解】(D由数列｛%｝中，满足S“=2a“一1,

当“22时，S,i=2a,i—1,两式相减，可得a“=2a,_i，即」a=2,

凡_1

当〃=1时H=2q-1,解得4=1,所以数列｛4｝是等比数列,

所以数列的通项公式为4=2Hl.

又由也,｝是等差数列，设等差数列也｝的公差为d,

"24+61=8

因为4+%=4，%-a=2/,可得，

16_(4+3d)=2(4+51)

解得4=1,d=1,所以数列｛2｝的通项公式为b“=〃.

(2)由(1)可得S“=2"—1,则(=跑二22—〃=2向—〃—2,

"1-2

所以c；,=(—1)"---------1----------

J+1714-2

即。“=—2+(—1)”—

【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：

1、基本步骤：

裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；

累加：将数列裂项后的各项相加；

消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前〃项和.

2、消项的规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

l+2e

21.已知函数/(幻=0-"+依，/⑴=-------,其中e为自然对数的底数.

e

(1)求。的值；

(2)若尸(x)=C(x)-Inx的零点为%,求Xo+ln、的值.

【答案】(1)-2；(2)0

【解析】

【分析】(1)根据题意，求出函数的导数，进而可得/'(1)的值，分析可得一11+。=-一可得〃的

值；

(2)根据题意，求出/(x)的解析式，由函数零点的定义可得e-f-2%-ln/=0,变形可得：

1

e^-x0=lnx0+x0,设/=6-*>,分析可得f+lnf=+%,结合函数y=lnx+x的单调性可得

/=玉)，即"为=与，代入X。+In玉)，计算可得答案.

详解［(1)根据题意，/(x)=e-x+ar,则f\x)=-e-x+a,

若r(l)=-l±Z£,一0-|+。=一1±2£,解得：a=_2.

ee

(2)