《2.1实际问题的函数刻画》学历案

《2.1实际问题的函数刻画》学历案班级：＿_____年级______班姓名：＿_____学号：＿_____自评：＿_____【课程名称】高中数学必修一（北师大版2019）第五章函数应用之2.1实际问题的函数刻画【学习内容目标】（1）能够理解实际问题中变量之间的关系，知道如何用函数来刻画这种关系。比如说，看到一个关于物体运动速度随时间变化的问题，就能想到可以用一个函数来表示速度和时间的关系。（2）能根据给定的实际问题情境，确定函数的定义域和值域。就像在计算一个商品销售利润的函数时，能根据实际的销售数量范围确定函数里自变量（销售量）的取值范围（定义域），以及利润的可能取值范围（值域）。（3）可以根据实际问题中的数据，列出函数关系式。例如，知道一个长方形的长和宽与周长之间的关系数据后，能列出周长关于长或者宽的函数关系式。【思维发展目标】在解决实际问题的过程中，学会从复杂的现实情境里把关键的数学信息提取出来，构建函数模型，体会数学在实际生活中的广泛应用，提高用数学思维解决问题的能力。【评价任务】1、完成任务一（初步感知函数刻画实际问题）。2、完成任务二（检测目标1和2）。3、完成任务三（检测目标3）。【学习过程】任务一：课前小热身（1）大家回忆一下，在我们生活中都有哪些情况是一个量随着另一个量变化的呢？比如汽车行驶的路程随着时间的增加而增加。（2）那你们觉得这些变化关系可以用数学里的什么东西来表示呢？任务二：问题导入有一家工厂生产某种产品，生产每件产品的成本是5元，现在假设产品的售价是x元（x＞5），每天可以销售的产品数量y与售价x之间有这样的关系：y＝10010(x5)。（1）这里面哪个是自变量，哪个是因变量呢？（2）这个函数的定义域大概是多少呢？也就是说x能取哪些值呢？这要根据实际情况来想哦，售价肯定不能是负数，而且也不能高到没人买对吧。（3）那这个函数的值域又大概是多少呢？也就是y能取到的数值范围。任务三：实际应用大挑战问题1：一个长方体的水箱，它的底面积是10平方米，水箱里水的高度h（米）随着注水时间t（分钟）的变化而变化，已知注水速度是每分钟2立方米，那么h与t之间的函数关系式是什么呢？这里的定义域又是什么呢？（提示：水箱的高度是有限的哦，水也不能是负数高度）答案：根据注水速度和底面积的关系，水的体积V＝2t立方米，又因为V＝10h，所以h＝2t／10＝t／5。定义域是t≥0，因为时间不能是负数，当水箱满了的时候就停止注水了，假设水箱高度为H，那么t最大就是5H（当h＝H时）。问题2：某出租车公司规定，乘车费用y（元）与行驶里程x（千米）之间的关系如下：当0＜x≤3时，y＝8；当x＞3时，y＝8＋1.5(x3)。（1）这里的函数是怎么根据里程来刻画乘车费用的呢？（2）如果一个人坐了10千米，他要付多少钱呢？答案：（1）当里程在3千米以内时，费用固定为8元；当里程超过3千米后，超出部分每千米加收1.5元，所以费用就是起步价8元加上超出3千米部分的费用。（2）当x＝10时，y＝8＋1.5×（103)＝8＋1.5×7＝8＋10.5＝18.5（元）。问题3：某水果批发商，以每千克5元的价格购进一批水果，在运输过程中有5%的损耗，假设批发商把售价定为x元每千克（x＞5），要想获得不低于20%的利润，那么销售量m（千克）与售价x之间应该满足什么样的函数关系呢？这里的定义域怎么确定呢？答案：首先计算成本，假设购进水果a千克，成本就是5a元。因为有5%的损耗，实际能销售的水果是(15%）a＝0.95a千克。要获得不低于20%的利润，那么利润要大于等于5a×20%＝a元。利润＝销售收入成本，即0.95am5a≥a，化简得m≥6a／0.95x。定义域是x＞5，因为售价要高于进价。任务四：检测与作业1、某商店销售一种文具，进价为每件10元，售价为x元（x＞10）时，每天的销售量y与售价x之间的关系为y＝502(x10)。（1）写出利润w（元）与售价x之间的函数关系式。（提示：利润＝（售价进价）×销售量）（2）求当售价为多少元时，利润最大，最大利润是多少？答案：（1）首先根据利润公式，w＝（x10)y＝（x10)（502(x10)）＝（x10)（502x＋20)＝（x10)（702x)＝2x²+90x700。（2）对于二次函数w＝2x²+90x700，其对称轴为x＝90／（2×（－2)）＝22.5。因为二次项系数2＜0，所以函数图象开口向下，在对称轴x＝22.5处取得最大值。当x＝22.5时，w最大＝2×22.5²+90×22.5700＝2×506.25＋2025700＝1012.5＋2025700＝312.5（元）。2、一种放射性物质，经过x年，剩余质量y（克）与时间x（年）之间的关系为y＝100×（1／2)＾（x／50)。（1）这种物质最初的质量是多少克？（2）经过多少年，剩余质量为原来的一半？答案：（1）当x＝0时，y＝100×（1／2)＾（0／