在小学高年级数学教学中有效渗透思维培养

［摘要］在小学高年级数学教学中，为了促使学生仔细认真、独立思考、合作交流、反思质疑，教师应当以发散性思维、化归性思维、综合性思维为理论支撑，借助图形与图形组合、图形与数字结合、思维导图展示教学案例，将思维培养渗透于课堂全过程。本文以人教版五年级上册“组合图形面积计算”一课为例，探讨小学数学教学中有效渗透思维培养的路径。［关键词］教学案例；思维培养；小学数学为了在数学学习中有效培养小学高年级学生的“独立思考、合作交流、反思质疑”等学习能力，教师应当根据他们先前掌握的知识与技能，基于发散性思维、化归性思维、综合性思维的相关理论支撑，以问题情境导入为突破口，将思维训练有效融入教学实践的各个环节。以理论指导实践，让思维训练成为课堂教学主线，有效打破各个教学环节之间的壁垒。基于此，本文以人教版五年级上册“组合图形面积计算”教学为例，根据学生先前已经掌握的长方形、正方形、平行四边形等基本图形面积的计算公式，依托图形、数字、思维导图及其组合的教学案例，有效渗入对学生发散性思维、化归性思维、综合性思维等的培养。一、依托图形与图形的组合，促进发散性思维训练发散性思维又称扩散性思维，是对一道问题产生多种分析方法和解决方法，具有创造性思维特点，通常表现为思维角度多样性和思维视野开阔性，其思维目标分散，思维方向向四面八方扩散。借助发散性思维，学生能从给定的信息中找出新的信息，收获新的发现，最终更好地解决问题。根据教育心理学的一般定义，发散性思维可以从流畅性、变通性、独立性三个方面进行表征。具体而言，流畅性是指心智活动灵敏、迅捷，能在短时间内表达更多的内容；变通性是指思维活动能够随机应变，触类旁通，不受某种固定思维模式的局限；独立性是指以前所未有的新角度观察事物、分析问题，思维方法新颖独特，能够提出新的见解。上述理论研究充分说明，发散性思维训练在数学思维培养体系中，应当发挥基础作用，因为在数学学习中，很多题型呈现出“一题多解”的方式。而且，培养学生的发散性思维，有助于学生更好地理解概念定理，攻克数学学习中的重点、难点。以人教版五年级上册“组合图形面积计算”教学为例，每个组合图形，往往都是由之前学过的各种具体图形所组成的。在解题过程中，涉及的计算公式也都是固定的。但是，从不同角度观察每个组合图形，其基本构成并不完全一样。这样看，发散性思维训练就在其中发挥着基础的作用。如图1、图2所示，这是典型的组合图形面积计算题。通常情况下，教师会引导学生将房子侧面图转化为“一个三角形+一个正方形”来进行计算。考虑到学生之前已经学过三角形和正方形面积计算公式，所以，他们会很轻松地用“5×5+5×2÷2=30平方米”将房子侧面面积计算出来。这样的解题方法属于基本解题方法，教师一般要求学生独立完成这一解题过程，有助于培养广大学生仔细认真、独立思考的学习习惯。然而，有些教师并不会仅限于以上解题方法的引导，还会组织广大学生以小组为单位，从不同角度观察并提问：上述图2中还有其他哪些具体图形构成？有的学生回答：“两个直角梯形。”有的学生会说：“三个三角形。”有的学生认为：“两个三角形+一个直角梯形。”通过学生的分组发言，最终形成了如图3所示的八种解题方法：通过上述“一题八解”的思考过程，学生的思维角度呈现一定的多样性，思维视野呈现一定的开阔性，这就是发散性思维训练在思维培养中的有效体现。更为重要的是，这样的解题方法具有一定的难度，教师安排学生分组观察与协作，有助于培养他们合作交流的意识与能力。二、依托图形与数字的结合，促进化归性思维训练化归性思维是采用科学方法，根据客观规律，将问题由疑难转变为简易、由繁杂转变为简便的一种有效的思维方式。具体到数学学科的学习中，化归性思维就是将陌生的化为熟悉的、将复杂的化为简单的、将一般的化为特殊的、将高阶的化为低阶的、将高次的化为低次的思维方式。换言之，在数学学习中运用化归性思维，就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A。根据这样的理论定义，说明化归性思维训练在数学思维培养体系中，应当发挥不可替代的作用。因为学生在数学问题解答过程中，必然会遇到一些疑难繁杂的题型。作为教师，应引导广大学生采用合理的解题技巧，将这些疑难繁杂的题型，转化为简易、简便的题型，最终成功解答问题。如图4、图5所示，在每一种题型的解析过程中，对图形组合的不同部位进行辨别，只是第一个环节。随后，学生在教师引导下，需要对不同的长度、宽度、高度、上底、下底进行观察，并运用相关图形面积公式，计算出涂颜色部分的面积。在图4左侧图形涂颜色的部分中，学生基本上都能认出，它是由“一个长方形+一个三角形”构成的，所以这个图形涂颜色部分面积很容易就能计算出来。对于图4中间的图形，要想计算出涂颜色部分面积，对一些学生来说，确实存在着一定的难度，因为他们往往难以理解：为什么两个涂颜色的小三角形面积之和是“5×2÷2”？作为教师，应当引导他们明白这样一个道理：“5×2÷2”既是小长方形面积一半，也是涂颜色的两个小三角形面积之和（见图5）。可见，只有将这个道理领悟透彻，才算真正把这道疑难繁杂的题型，转化为简易、简便的题型，才是促进化归性思维的训练。而在图4右侧的图形中，据调查，20%学生都解答不了涂颜色部分面积，大部分学生想到的转化方法均不能解答这个题型。为此，在图6中，教师应组织学生采取独立思考与分组讨论相结合的方式，对这个问题进行解析，教学片段摘录如下：学生A：我觉得，①号部分与涂颜色部分的面积相同。（其他学生表示不理解）学生A继续分析：因为①号+空白部分=梯形，涂颜色部分+空白=梯形，所以①号部分与涂颜色部分的面积相同。然后，我们把①号梯形分成长方形和三角形，长方形（图中②号）的长是8，宽是5，面积=8×5。这个三角形（图中③号）的底是2，高等于长方形的宽，也就是5，面积=5×2÷2，将两部分合起来，列出算式8×5+5×2÷2，算出最后的结果。教师（在此基础上）补充：由于两个直角梯形是相同的，所以①面积+空白部分面积=空白部分面积+涂颜色部分面积，就可以推导出①面积就是所要求的涂颜色部分面积，涂颜色部分面积就是（8+10）×5÷2=45。另一种解题方式是，涂颜色部分面积是由②面积和③面积组成的，②是一个长方形，长度为8，宽度为5，所以②面积为8×5=40，③是一个三角形，底为2，高度为5，所以③面积为2×5÷2=5。最后，涂颜色部分面积就是8×5+2×5÷2=45。以上两种方式都能解答涂颜色部分的面积，其中运用到了“等积变换”。因此，让学生在此项习题中顺利掌握“等积变换”的方式方法，就是为了更好地体现化归性思维的训练。三、依托思维导图的展示，促进综合性思维训练综合有两种含义：一是与分析相对，把分析过的对象或现象的各个部分、各个属性联合成一个统一的整体；二是不同种类、不同性质的事物组合在一起。综合性思维是把分析过的对象中的各个部分、各个属性联合成一个统一整体。可以说，综合性思维是多角度、多途径的想象组合，是超越时空、大范围、大跨度的想象组合，是思维水平的跃阶。在小学高年级的数学学习中，学生所要培养和锻炼的数学思维其实也是综合性的，包括前述的发散性思维、化归性思维，以及几何思维、抽象思维等，综合性思维就像一支乐队的指挥一样，协调统一着学生已掌握的各种不同的思维模式。基于这样的理论定义，综合性思维训练在数学思维培养体系中应当发挥支撑作用。因为数学中很多公式，是可以相互转化的。作为教师，在具体的教学实践中，需要依托思维导图，积极引导学生通过对图形与图形转换现象的观察，将分析过的、零散的计算公式知识点串联起来，形成一个完整的计算公式知识体系。例如，在图7思维导图教学案例中，可以引导学生思考：“组合图形面积计算方法与推导出的平面图形计算方法一样吗？并说出其中原因。”通过认真分析，学生意识到：平面图形与平面图形之间是可以相互转化的，没学过的图形可以转化为学过的图形，陌生的图形可以转化为熟悉的图形；不同图形的平移、旋转、轴对称等知识点具有一定的共通性。以此，将不同的具体图形整合成统一的图形，最终发展学生的综合