数学学案：第一章分层抽样与系统抽样

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2分层抽样与系统抽样1．理解分层抽样与系统抽样的概念．2．通过对实例的分析，了解分层抽样与系统抽样的方法．1．分层抽样(1）定义：将总体按其________分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照________随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．（2）分层抽样的步骤：①分层：按某种________将总体分成若干部分(层)．②按________确定每层抽取个体的个数．③各层分别按简单随机抽样或其他的抽样方法抽取样本．④综合每层抽样，组成样本．应用分层抽样应遵循以下要求:(1）分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构的一致性．(2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与该层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等．（3)当总体个体差异明显时，采用分层抽样．【做一做1－1】某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本,应采用的抽样方法是(）．A．简单随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．分类抽样【做一做1－2】当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（)．A．40B．30C．20D．362．系统抽样（1）定义:将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中，按照__________抽取第一个样本，然后按________(称为抽样距）抽取其他样本．这种抽样方法称为系统抽样，有时也叫等距抽样或机械抽样．（2）注意:编号时要随机编号，否则抽取的样本代表性差．(3)系统抽样的步骤：①采用随机抽样的方法将总体中的N个个体________．②确定分段间隔k（k∈N），将整体按编号进行分段（组）．③在第______段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(l∈N,0≤l≤k)．④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l______上间隔k得到第2个个体编号l＋k,再加上k得到第3个个体编号l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本．系统抽样的特征：（1）当总体中个体无差异且个体数目较大时，采用系统抽样．(2)将总体分成均衡的若干部分指的是,将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为k＝eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(N,n）))eq\b\lc\(\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(N,n））))）表示不超过eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（N，n）的最大整数)）.(3）预先制定的规则指的是，在第一段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．【做一做2－1】下列抽样试验中,最适宜用系统抽样法的是（）．A．某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样【做一做2－2】一个总体中有1000个个体，现用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则编号后，按从小到大的编号顺序平均分成__________组，每组有__________个个体．1．系统抽样中如何对总体中的每个个体进行合理分段？剖析：系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取1个个体,得到所需样本．由于抽样的间隔相等,因此系统抽样又称为等距抽样(或叫机械抽样），所以系统抽样中必须对总体中的每个个体进行合理（即等距)分段．若从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用系统抽样时,应先将总体中的各个个体编号，再确定分段间隔k，以便对总体进行分段．当eq\f（N，n）是整数时，取k＝eq\f(N,n)为分段间隔即可，如N＝100，n＝20，则分段间隔k＝eq\f(100,20)＝5,也就是将100个个体平均每5个分为一段(组）．当eq\f（N,n)不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N′能被n整除，这时分段间隔k＝eq\f(N′,n),如N＝101，n＝20，则应先用简单随机抽样从总体中剔除1个个体，使剩余的总体容量（即100)能被20整除,从而得出分段间隔k＝eq\f(100,20)＝5，也就是说,只需将100个个体平均分为20段(组）．一般地,用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体，其个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数．上述过程中,总体中的每个个体被取出（或被剔除)的可能性相等，也就是每个个体不被选取(或不被剔除)的可能性也相等，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然都相等，这说明使用系统抽样法抽取样本的过程是公平的．2．分层抽样中各层入样的个体数应如何确定?剖析：当总体由差异明显的几部分组成时，应将总体分成互不交叉的几部分，其中所分成的每一部分叫层，然后按照各部分所占的比例，从各部分中独立抽取一定数量的个体，再将各部分抽出的个体合在一起作为样本，这就是分层抽样．由于层与层之间有明显的区别，而层内个体间差异不明显，为了使样本更能充分地反映总体的情况,抽取样本时，必须照顾到各个层的个体．所以每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取,也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量）.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．在实际操作时，应先计算出抽样比k＝eq\f（样本容量，总体容量），再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝eq\f(样本容量，总体容量）×该层个体数目．题型一分层抽样中的计算问题【例题1】某校共有师生1600人，其中教师有100人,现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取的学生数为__________．反思：一个总体中有m个个体，用分层抽样方法从中抽取一个容量为n（n＜m)的样本，某层中含有x（x＜m）个个体，在该层中抽取的个体数目为y，则有eq\f(nx,m)＝y，该等式中含有四个量，已知其中任意三个量,就能求出第四个量．题型二分层抽样的应用【例题2】某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？分析：eq\x(人数多，差异大)→eq\x（分层抽样）→eq\x（确定每层抽取比例）→eq\x（在各层中分别抽取)→eq\x(合在一起得样本）反思：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比．题型三eq\f（N，n)为整数的系统抽样问题【例题3】为了了解某地区今年高一学生期末考试的数学成绩，打算从参加考试的15000名学生的数学成绩中用系统抽样的方法抽取容量为150的样本，请写出抽取过程．分析:按照系统抽样的步骤进行．反思：当总体容量n能被样本容量N整除时，分段间隔k＝eq\f(N，n);当用系统抽样抽取样本时,通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号s＋k,再加k得到第3个个体编号s＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．题型四eq\f（N，n）不是整数的系统抽样问题【例题4】从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．分析：eq\x（总体特点，采用系统抽样）eq\o（→,\s\up7(间隔不为整数））eq\x（剔除2个个体）→eq\x（系统抽样)→eq\x（样本)反思:当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体,但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样方法抽取样本．题型五易错辨析【例题5】要从某学校的10013名学生中抽取100名进行健康检查，采用何种抽样方法较好，并写出过程．错解：由于总体个数为10013，数量较大，而且都是学生,差别不大，因而应该采用系统抽样,具体过程如下：由系统抽样的步骤先分为100段，其中前87段每段100人，后13段每段101人,再在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号l；最后将l＋100，l＋200，…,l＋9913分别抽出得第2,3，…，100组中的编号，从而获得整个样本．错因分析：上面的解法违背了系统抽样的等距均分原理，抽出的个体不都是处在每段的同一位置上,前87段与后13段各自处的位置不一样,导致抽样的不公平性，所以解法是错误的，必须先要随机地剔除13人．1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（)．A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有300户家庭，其中高收入的家庭75户，中等收入的家庭180户，低收入的家庭45户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为50户的样本C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量2(2011西安市一中月考，1)我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是(）．A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样3(2012江苏高考，2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取__________名学生．4若总体中含有1645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本,则编号后确定编号分为__________段，分段间隔k＝__________,每段有__________个个体．5某学校有在编人员200人，其中行政人员20人，教师140人，后勤人员40人，教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽样,并写出抽样过程．答案：基础知识·梳理1．（1)属性特征所占比例(2）①特征②所占比例【做一做1－1】B【做一做1－2】A抽样比是eq\f(90，360＋270＋180)＝eq\f（1，9)，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×eq\f（1，9)＝40.2．（1)简单随机抽样分组的间隔(3）①编号③一④加【做一做2－1】C【做一做2－2】10010典型例题·领悟【例题1】75抽样比为eq\f(80，1600）＝eq\f（1，20）,该校有学生1600－100＝1500人,则抽取的学生数为1500×eq\f（1，20）＝75.【例题2】解:采用分层抽样的方法,抽样比为eq\f（60，12000)。“很喜爱”的有2435人,应抽取2435×eq\f（60,12000）≈12（人）；“喜爱”的有4567人，应抽取4567×eq\f（60，12000)≈23(人)；“一般”的有3926人,应抽取3926×eq\f（60,12000）≈20（人）；“不喜爱”的有1072人，应抽取1072×eq\f（60,12000)≈5(人)．因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱"、“一般”、“不喜爱”的人中分别抽取12人、23人、20人和5人．【例题3】解：（1）对全体学生的数学成绩进行编号：1，2，3,…，15000。(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100,所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包括100个个体．（3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码,比如是56。(4）以56作为起始数，再顺次抽取156，256，356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本．【例题4】解：由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异,因此采用系统抽样的方法,步骤如下：第一步先从802辆轿车中剔除2辆轿车（剔除方法可用随机数法)；第二步将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段,每段含k＝eq\f(800，80）＝10个个体；第三步从第1段即1，2,…,10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；第四步从5开始，再将编号为15，25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．【例题5】正解：由于总体个数为10013，数量较大，而且都是学生，差别不大，因而应采用系统抽样法，具体过程如下:由系统抽样的步骤可知编号分段时,10013÷100不为整数，先从总体中随机剔除