数学学案：第一章第节回归分析（第3课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3可线性化的回归分析1．进一步了解回归分析的基本思想，明确建立回归模型的基本步骤．2．了解回归模型与函数模型的区别，体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决问题中寻找更好的模型的方法．1．在具体问题中，我们首先应该作出原始数据(x,y）的________，从______中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合．2．对于非线性回归模型一般可转化为______________，从而得到相应的回归方程．3．几种常见模型（1)幂函数曲线y＝axb。其散点图在如下图所示曲线附近．设__________________，则转化为线性关系：u＝c＋bv.（2）指数曲线y＝aebx。其散点图在如下图所示曲线附近．设______________，则转化为线性关系:u＝c＋bx.（3）倒指数曲线。其散点图在如下图所示曲线附近．设____________，则转化为线性关系：u＝c＋bv。（4)对数曲线y＝a＋blnx。其散点图在如下图所示曲线附近．设________,则转化为线性关系：y＝a＋bv.【做一做1】如图中曲线所表示的函数最有可能是（）．A．y＝lnx B．y＝exC． D．【做一做2】若一函数模型为y＝2＋3log2x，则作变换u＝__________，才能转化为y是u的线性回归方程．答案：1．散点图散点图2．线性回归模型3．（1)u＝lny，v＝lnx，c＝lna(2)u＝lny，c＝lna（3）u＝lny，c＝lna，v＝eq\f(1，x）(4）v＝lnx【做一做1】D【做一做2】log2x1．实际问题中非线性相关的函数模型的选取剖析：（1)要先作散点图；（2）选取所有符合的可能类型；（3)将非线性关系转变为线性关系后，可再作线性相关的散点图来进一步辨别，也可通过计算线性相关系数作比较．2．常见的几种模型在转化为线性关系时应注意的问题剖析：常见的几种函数模型的解析式在转变为线性相关关系时，要根据函数式的特点，灵活地换元转变为线性函数关系．常见的几种模型在使用时要注意散点图的形状符合哪一种类型曲线的形状，有时不太容易辨别，可采用多种模型拟合，并转变为线性回归关系．利用线性相关系数来判断检验用哪一种拟合效果较好,就用哪一种模型．3．利用线性回归拟合曲线的一般步骤剖析:(1）绘制散点图．一般根据数据性质结合专业知识便可确定数据的曲线类型．不能确定时，可在方格坐标纸上绘制散点图,根据散点的分布，选择接近的、合适的曲线类型．(2）进行变量替换．令y′＝f(y)，x′＝g(x)，使变换后的两个变量呈线性相关关系．（3）按最小二乘法原理求线性回归方程并进行检验．(4）将线性回归方程转换为关于原始变量x，y的回归方程．题型一已知模拟函数类型确定解析式【例题1】我国1950~1959年人口数据资料如下表所示：年份t/年1950195119521953195419551956195719581959人口y/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207若y与t之间满足y＝aeb（t－1950）的关系,求函数解析式．若按此增长趋势,问我国2012年人口将达到多少亿？分析:本题中已知函数模型的类型,可通过变形转化为线性关系，从而求出．反思：本题中已知函数模型，可通过恰当的变换将函数转化为线性函数关系u＝c＋bt′，然后通过变换公式计算出相应的u与t′之间的数据关系表，根据求线性回归直线的公式计算出u与t′之间的函数关系,并将u与t′之间的关系再转回到y与t之间的函数关系．题型二通过数据探寻函数关系模型【例题2】某种书每册的成本费y(元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下表所示：x123510203050100200y10。155.524。082。852.111.621。411.301.211。15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数eq\f（1,x)之间是否具有线性相关关系，如有,求出y对x的回归方程．分析：本题中y与x不具有线性相关关系，而y与eq\f(1，x）可能具有线性相关关系，故先把x转化为eq\f(1,x），不妨设u＝eq\f（1，x），建立y与u的回归分析即可，最后转化为y与x的关系．反思:在拿不准y与eq\f（1，x）之间是否具有线性相关关系时，可以通过变换u＝eq\f(1，x)找y与u之间的关系,并通过画散点图或计算线性相关系数来进一步判断y与u之间是否具有线性相关关系,从而进一步完成运算．答案:【例题1】解:设u＝lny，c＝lna，t′＝t－1950，则u＝c＋bt′。u与t′之间的关系数据如下表：t′0123456789u10。918610。938410.959210.981811.006511。026111.048211。075411.097311.1155由此可得：eq\i\su（i＝1,10，t)i′2＝285，eq\i\su(i＝1，10，t）i′ui＝497.5936，eq\x\to（t′）＝4.5，eq\x\to（u)＝11。0167，进而可以得b＝＝eq\f(497。5936－10×4。5×11。0167,285－10×4.52）≈0.0223，∴c＝eq\x\to（u）－beq\x\to(t′)＝11.0167－0。0223×4.5≈10。9164.∴u＝10。9164＋0。0223t′。∴y＝e10。9164＋0.0223(t－1950)＝e10。9164·e0.0223（t－1950）．当t＝2012时，u＝10.9164＋0。0223×(2012－1950)＝12。299，∴y＝e12.299≈219476。40（万人），即如果按此增长趋势,到2012年将达到21.947640亿人．【例题2】解：设u＝eq\f（1,x）,则y与u的数据关系如下表:u10.50。330。20。10。050。0330.020.010。005y10。155.524。082.852.111。621.411.301。211.15由此可得：eq\i\su(i＝1，10，u）eq\o\al(2，i）＝1。412989,eq\i\su(i＝1,10,y）eq\o\al（2,i)＝171.803，eq\i\su（i＝1,10,u)iyi＝15.20878，eq\x\to（u)＝0。2248，eq\x\to(y）＝3。14,则线性相关系数r＝eq\f(\i\su（i＝1,10,u)iyi－10\x\to（u)\x\to(y）,\r(\i\su（i＝1，10,u)\o\al(2,i）－10\x\to(u）2）\r(\i\su（i＝1,10,y）\o\al(2,i）－10\x\to（y）2）)＝eq\f(15。20878－10×0.2248×3.14,\r(1。412989－10×0。22482)×\r(171。803－10×3。142）)≈0。9998。这表明u与y之间有较强的线性相关关系，从而求y与u的线性回归方程是有意义的．∵b＝eq\f（\i\su（i＝1，10,u)iyi－10\x\to(u）\x\to(y）,\i\su(i＝1，10,u)\o\al(2,i)－10\x\to(u)2)≈8。98,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（u）＝3.14－8。98×0。2248≈1.12，∴y＝1。12＋8。98u。∴x与y之间的回归方程为y＝1.12＋eq\f(8.98,x)。1幂函数曲线y＝xb，当b＞1时的图像为(）．答案：A当b＞1时，图像为选项A；当0＜b＜1时,图像为选项B；当b＜0时，图像为选项C；当b＝1时,图像为选项D.2倒指数曲线,当a＞0，b＞0时的图像为(）．答案：A3某市居民2005~2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11。512.11313.315支出Y6.88。89。81012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________万元,家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．答案：13正根据中位数的定义，居民家庭年平均收入的中位数是13,家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系．4x，y满足如下表的关系:x0.20。61。01.21。41。61.82。02.2y0。040.3611。41.92.53。23。984。82则x，y之间符合的函数模型为__________．答案：y＝x2通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y之间的函数模型为y＝x2.5某地今年上半年患某种传染病的人数y（人)与月份x（月）之间满足函数关系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式．月份x/月123456人数y/人526168747883分析：函数模型为指数