数学达标训练第二讲一曲线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1已知某条曲线的参数方程为（其中a是参数)，则该曲线是（)A.线段B。圆C。双曲线的一部分D.圆的一部分思路解析：将两式平方相减，得x2-y2=1。并且由｜x｜=|a+|≥1，x≥1或x≤-1，从而易知结果.答案:C2已知某条曲线的参数方程为(0≤t≤5），则该曲线是（)A。线段B.圆弧C.双曲线的一支D.射线思路解析:由参数方程（0≤t≤5），消去参数t,得x-3y=5。又0≤t≤5，故1≤y≤26.故题中所给曲线是线段。答案：A3曲线C的方程为（t∈R)，则曲线C的图象在（）A。第一象限B。第二象限C.第三象限D。第四象限思路解析：本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状，故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可。x=（t+1）2+2≥2，y=(t+2）2+1≥1，从而易知该曲线位于第一象限。答案：A4与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程(t为参数）为（）A.B.C.D.思路解析：所谓与方程x2+y-1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程,形式一致,且x，y的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证.A.化为普通方程为x2+y-1=0，x∈［-1,1]，y∈[0,1]。B。化为普通方程为x2+y-1=0，x∈R，y∈(-∞，1］。C。化为普通方程为x2+y—1=0，x∈［0，+∞）,y∈(—∞，1］.D。化为普通方程为x2+y—1=0,x∈[—1，1］，y∈［0,1］.答案:B5将下列参数方程化为普通方程并说明它们分别表示怎样的曲线.(1)(t为参数）；(2)x=(t为参数);(3)（t为参数).思路分析：本题所给的题目中所体现的方法都是常见的一些将曲线的参数方程化为普通方程的方法,对于具体的将参数方程转化为普通方程的题目要视具体题目而去选择消去参数的方式。解：（1）由x=cos2t=1—sin2t=1-y2,知y2=-（x-1).由x=cos2t,可知0≤x≤1。故其普通方程为y2=-（x-1)(0≤x≤1),它表示的是以点（1,0)为顶点、开口向左的一条抛物线上的一段.（2）将两式平方相加，得x2+y2=1。由x=，得x≠-1。故其普通方程为x2+y2=1（x≠—1),它表示以原点为圆心、1为半径的圆（除去与x轴相交的左交点）.（3)将两式相减,得t=（y—x-2）.代入第二个方程，整理得x2-2xy+y2+4x-8y+12=0。6已知点Q是圆x2+y2=4上的动点，定点P(4,0)，若点M分所成的比为1∶2,求点M的轨迹.思路分析：本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化，要求的是动点的轨迹,可以先求出其轨迹方程,然后根据方程得知其轨迹。解：设点Q（2cosθ，2sinθ)，M（x,y)，则由题意得两式平方相加，得点M的轨迹方程为(-2）2+(）2=4,即(x-)2+y2=。故其轨迹为以点（,0)为圆心、为半径的圆。7已知实数x、y满足（x+1）2+(y-2)2=16，求3x+4y的最值.思路分析：这样的题目可考虑利用数形结合，把满足方程的x，y视为圆(x+1)2+(y—2)2=16上的动点,可考虑利用圆的参数方程来求解，也可引入向量来求解.解：由题意，设代入3x+4y=3(-1+4cosθ）+4（2+4sinθ）=20cos（θ+α)+5。于是3x+4y的最大、最小值分别为25、15.综合·应用8如图2-1—3，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2｜=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点)，使得PM=PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。图2-1-3思路分析:本题是一道很综合的题目。由题意建立坐标系,写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=PN,即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO12—1=2(PO22—1)。设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得。解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0）.设P(x，y），则PM2=PO12-MO12=（x+2)2+y2-1。同理,PN2=（x-2)2+y2—1.∵PM=PN,∴(x+2)2+y2—1=2［(x-2）2+y2-1]，即x2-12x+y2+3=0,即（x—6）2+y2=33.这就是动点P的轨迹方程.9如图2—1-4，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0)。当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？图2—1-4思路分析：由于点M为点P和点A的中点，点A的坐标已知，点P在已知圆上，故点P的坐标可以用参数θ来表示,所以点M的坐标便可以表示了,由此便可以求出线段PA的中点M的轨迹方程，进而知道其轨迹。解：设点M的坐标是（x，y）。因而圆x2+y2=16的参数方程为所以可设点P的坐标为(4cosθ,sinθ)。由线段中点坐标公式,得点M的轨迹参数方程为所以线段PA的中点的轨迹是以点(6,0）为圆心、2为半径的圆.10在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10,cosA∶cosB=b∶a=4∶3，P为△ABC的内切圆上的动点,求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值.思路分析：本题与三角函数有一定的联系，题目出现在这里,也是对于前面所学知识的复习,也和曲线的参数方程联系起来了,由此也可以看出数学知识间的联系,具有一定程度的综合性。解：由cosA∶cosB=b∶a,得，sin2A=sin2B.因为a≠b，A≠B,所以2A=π-2B,即A+B=。由此可知△ABC为直角三角形,又c=10,b∶a=4∶3，a2+b2=c2，所以a=6，b=8。故其内切圆半径为r==2.以顶点C为原点，CA所在直线为x轴(其中点A处于其正半轴上，点B位于纵轴的正半轴上），则相应内切圆的参数方程为故该圆上的动点P的坐标为（2+2cosθ,2+2sinθ）.PA2+PB2+PC2=(2cosθ—6）2+(2+2sinθ)2+（2+2cosθ）2+（2sinθ—4)2+（2+2sinθ)2=80-8cosθ,故所求的最大值与最小值分别为88,72。11在不考虑空气阻力、风向等因素的条件下，炮弹的飞行轨道是一条抛物线，现测得我炮位A与目标B的水平距离为6000米，而当射程为6000米时，炮弹最大高度为1200米，在A、B之间距炮位点A500米处有一个高度为350米的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物而击中目标?思路分析：本题与实际生活密切联系，并且与物理学有一定联系。由题意知道炮弹的飞行轨迹是一条抛物线,容易写出其参数方程，从而将问题解决。解：以A为原点、AB所在直线为x轴，建立坐标系，确定出弹道抛物线方程是y=（x—3000)2+1200,将x=500代入方程,求得y=≈367＞350。故炮弹可越过障碍物而击中目标12设有半径为3千米的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东、B向北前进。A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为1∶3,问A、B两人在何处相遇？思路分析:注意到村落为圆形,且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为原点，以开始时A、B的前进方向为x轴、y轴建立直角坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件.解:由题意可设A、B两人的速度分别为3vkm/h,vkm/h。再设A出发x0小时后，在点P处改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别为（3vx0,0）,(0,v（x0+y0)).由于A从P到Q行走的时间是y0小时,于是由勾股定理知OP2+OQ2=PQ2,即（3vx0)2+［v(x0+y0）］2=(3vy0)2。化简整理得