数学达标训练第二讲三直线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1下列可以作为直线2x－y+1=0的参数方程的是（)A。(t为参数)B。（t为参数)C。（t为参数）D。（t为参数）思路解析：根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中，A选项的斜率是1,B选项的斜率是-2,C选项的斜率是2,D选项的斜率是,所以只有C符合条件，这里C虽然不是标准式的参数方程，但是只有C能化成2x—y+1=0.答案：C2已知直线l的斜率为k=—1，经过点M0(2,—1）,点M在直线上，以 的数量t为参数,则直线l的参数方程为_____________。思路解析：∵直线的斜率k=-1,∴倾斜角α=.因此得cosα=,sinα=。代入参数方程的标准形式即可。答案：（t为参数)3直线l经过点M0(1,5),倾斜角为,且交直线x-y-2=0于M点,则｜MM0|=_________.思路解析：直线l的参数方程为（t为参数），代入方程x—y-2=0中得1+t—(5+t)-2=0t=6(-1)。根据t的几何意义即得|MM0｜=6(—1）。答案:6（-1）4已知直线l的参数方程是（t为参数)，其中实数α的范围是（，π），则直线l的倾斜角是___________。思路解析:首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角.答案:-α5已知圆x2+y2=r2及圆内一点A（a，b）（a、b不同时为零），求被A平分的弦所在的直线方程.思路分析：利用直线参数方程中参数t的性质.所以,首先设出直线的参数方程，代入圆的方程,可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的性质可知,方程两根的和为0。解：设所求直线的参数方程为（t为参数),①②代入圆的方程x2+y2=r2，整理得t2+2（acosθ+bsinθ）t+a2+b2-r2=0。设t1、t2为方程两根,∵A是中点，∴t1+t2=0,即acosθ+bsinθ=0。①×a+②×b，得ax+by＝a2+b2+t(acosθ+bsinθ）＝a2+b2,故所求直线方程是ax+by=a2+b2.6下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:参数t26横坐标x2-12—0纵坐标y5+65+7根据数据，可知直线的参数方程是_________,转化为普通方程是（一般式)_________,直线被圆(x—2）2+（y-5）2=8截得的弦长为_________。思路解析:这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的一个综合问题。充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先，根据统计的基本知识，观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程（t为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y—7=0，而由参数方程可知直线一定过点(2,5）,恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截得的弦长恰好是圆的直径，易知直径长为.答案：（t为参数)x+y—7=07已知点A（3,0），点B在单位圆x2+y2=1上移动时,求∠AOB的平分线与AB的交点的轨迹。思路分析:本题综合了圆和直线的参数方程两者的应用，要注意的是当点O\,A\，B共线这种特殊情况的讨论.解：点B在单位圆上，则可设B(cosθ，sinθ),∠AOB的平分线与AB的交点为P(x,y）,则分=3,又点P在AB上,由直线的参数方程得∴()2+（）2=1。整理得(x-）2+y2=.特别地,如果点B的坐标为（1，0)，则∠AOB的平分线与AB交于线段AB上任一点,P点轨迹为线段BA；如果点B的坐标为（-1,0)，则∠AOB的平分线与AB交于点O。∴当点B的坐标为（1，0）时，所求轨迹为线段BA;当点B的坐标为(—1,0）时,所求轨迹为点O；当点B为单位圆上其他点时,所求轨迹为以(，0)为圆心,以为半径的圆.综合·应用8给出两条直线l1和l2,斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数,且在y轴上的截距相等，那么直线l1和l2叫做“孪生直线”。（1)现在给出4条直线的参数方程如下:l1:（t为参数)；l2:(t为参数）;l3：(t为参数）;l4:（t为参数）.其中构成“孪生直线”的是__________________.（2)给出由参数方程表示的直线l1:(t为参数）,直线l2：(t为参数），那么,根据定义,直线l1、直线l2构成“孪生直线”的条件是_______________。思路解析：根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0，互为相反数，且在y轴的截距相等，也就是在y轴上交于同一点.对于题（1),首先可以判断出其斜率分别为—1，1，-1,1，斜率互为相反数条件很明显，再判断在y轴上的截距。令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l1和直线l4在y轴上的截距相等，而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线"。对于题(2)首先写出相应斜率分别是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2,即tanα1+tanα2=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中，令x=x1+tcosα1=0,可得t=,代入得y=y1—x1tanα1.同理可得直线l2在y轴上的截距是y=y2-x2tanα2.由定义中的条件“截距相等”可得y1—x1tanα1=y2-x2tanα2，即y1—y2=x1tanα1-x2tanα2。如果把tanα1=-tanα2代入式子还可以进一步得到y1—y2=x1tanα1+x2tanα1，即y1-y2=（x1+x2)tanα1.答案：(1）直线l1和直线l4（2）tanα1+tanα2=0且y1—y2=x1tanα1-x2tanα2〔也可以写出y1—y2=(x1+x2）tanα1〕9已知抛物线方程：y=x2-2x+,过焦点F作直线交抛物线于A、B，且AF∶FB=1∶2。求(1)直线AB的方程;(2)弦AB中点到抛物线准线的距离.思路分析：由题目中的条件可知:利用直线的标准参数方程来求解,主要考虑从t的几何意义来入手解题.解:（1)由y=x2-2x+，得（x—1）2=y+，∴焦点F（1,0）。可设直线AB:代入y=x2—2x+，∴t2cos2α-tsinα-=0，由题意AF∶FB=1∶2，∴或=-2,即t1=—t2或t1=-2t2。∴∴（t1+t2）2=-t1t2或(t1+t2）2·(-2）=t1t2，解得tanα=±.∴AB:y=±(x-1).(2）设AB中点为M,AB：tm=（t1+t2)=·,∴准线l：y=—.∴d=ym-（-)=.10过点M（2,1）的直线l交椭圆C:=1于A、B两点，使点M是AB的一个三等分点，求直线方程.思路分析：本题为一直线与圆锥曲线的相交问题,由此类问题的一般求解方法：把直线的参数方程同椭圆的参数方程联立即可,考虑利用直线参数方程中参数的几何意义来解答.解：设AB方程为（t为参数)，A、B两点对应的参数为t1\，t2,则t1=-2t2.则由t1+t2=-t2,t1t2=-2t22t1t2=—2（t1+t2)2；联立C与l得（4sin2α+cos2α)t2+（18sinα+4cosα）t—8=0。故t1+t2=,t1t2=，∴tanα=—8±=k。∴l方程为y—1=(-8±）(x—2).11已知AB是半径为R的圆O的直径，CN为平行于AB的弦,M为CN的中点,求BM、ON交点P的轨迹方程.思路分析：求交点的轨迹方程问题，其一般方法是联立方程组求解即可.但入手的角度不同，选择的参数不一样，则解题思路及消参方法自然不同。解：建立直角坐标系：以AB所在直线为x轴,线段AB中垂线为y轴.(自行作图)则B(R,0）,设P（x，y）,∵CN∥AB，∴ym=yn。设M纵坐标为参数t,则M（0,t），t∈（—R，R),t≠0.则N（，t），由点斜式得lON:y=x,lBM:y=x+t.由于动点P是BM、ON的交点，故P的坐标同时满足以上两个直线方程，两者联立消去参数t得P的轨迹方程为y2=-2R（x—）（0〈x<，—R〈y〈R）.12给出一个参数方程（1）如果分别以t，α为参数，则所给的参数方程表示的图象分别是什么？请分别把它们转化为普通方程。(α为参数时,设t>0,t为参数时，设α≠)（2)求上述直线截上述曲线所得的弦长.（3)根据上述求解过程总结出一个结论,并用基本语句编写一个算法计算弦长。思路分析：本题综合考查参数方程，直线与曲线的位置关系以及算法等基本知识.首先根据参数方程的形式知：当t为参数时,参数方程表示直线，当α为参数表示圆,且直线恰好过圆的圆心,所以弦长就是圆的直径。根据所给的参数方程不难得到一般结论，用算法表示弦长只需根据数据求出圆的直径，所以只需使用顺序结构即可。解:(1）以t为参数时,所给参数方程表示的图形是过点（2，5）且斜率为tanα的直线，化为普通方程是y—5=tanα（x-2）;以t为参数时,参数方程表示以(2，5)为圆心,半径为t的圆，化为普通方程是(x-2)2+（y—5）2=t2.(2)上述直线恰好过圆的圆心,所以截圆所得弦长为