2019-2020学年高考数学大一轮复习-3.4导数的综合应用试题-理-苏教版

2019-2020学年高考数学大一轮复习3.4导数的综合应用试题理苏教版一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．答案9万件2．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析因为函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－eq\f(1,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))3．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥eq\f(4,3)，则p是q的________条件．解析∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥eq\f(4,3).故为充分必要条件．答案充分必要4．若函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．解析令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0.∴g(x)＞0⇒x＞－1.答案(－1，＋∞)5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1<a<0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案(－1,0)6．有一长为16m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析设矩形的长为xm，则宽为：eq\f(16－2x,2)＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案167．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米解析S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案304058．挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)， 如果截面积为20m2，当宽为________时，使截面周长最小．解析：如图所示，设半圆的半径为r，矩形的高为h，则截面积S＝2rh＋eq\f(πr2,2)＝20，截面周长C＝2r＋2h＋πr＝2r＋eq\f(20－\f(πr2,2),r)＋πr＝2r＋eq\f(20,r)－eq\f(πr,2)＋πr＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r).设C′(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))－eq\f(20,r2)，令C′(r)＝0，解得r＝2eq\r(\f(10,4＋π)).故当r＝2eq\r(\f(10,4＋π))时，周长C最小，即宽为4eq\r(\f(10,4＋π))时，截面周长最小．答案：4eq\r(\f(10,4＋π))9．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则s的最小值是________．解析如图所示，设AD＝xm(0＜x＜1)，则DE＝AD＝xm，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2(m2)，∴梯形的面积为eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),4)x2(m2)，∴s＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0＜x＜1)，∴s′＝eq\f(－8\r(3),3)×eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令s′＝0得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，s′＜0，s递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))时，s′＞0，s递增．故当x＝eq\f(1,3)时，s的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案eq\f(32\r(3),3)10．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).设g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，则g′(x)＝eq\f(31－2x,x4)，所以g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，因此g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，从而a≥4.当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3).g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案4二、解答题11．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800.所以当x＝15cm时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值，此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器为V，则由题意，得V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3.又V＝eq\f(80π,3)，故l＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4,3)r＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r)).由于l≥2r，所以0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))×3＋4πr2c.因此y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r3－\f(20,c－2)))，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0，故当r3－eq\f(20,c－2)＝0，即r＝eq\r(3,\f(20,c－2))时．令eq\r(3,\f(20,c－2))＝m，则m>0，所以y′＝eq\f(8πc－2,r2)(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>eq\f(9,2)时，若r∈(0，m)，则y′<0；若r∈(m,2)，则y′>0所以当r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤eq\f(9,2)时，若r∈(0,2)时，y′<0，函数单调减，所以当r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤eq\f(9,2)时，建造费用最小时r＝2；当c>eq\f(9,2)时，建造费用最小时r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).13．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f′x＋\f(m,2)))在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解(1)根据题意知，f′(x)＝eq\f(a1－x,x)(x＞0)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)∵f′(2)＝－eq\f(a,2)＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3.∴g(x)＝x3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋2))x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′t＜0，,g′3＞0.))由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′1＜0，,g′2＜0，,g′3＞0，))∴－eq\f(37,3)＜m＜－9.14．设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于k<eq\f(x＋1,ex－1)＋x(x>0)①令g(x)＝eq\f(x＋1,ex－1)＋x，则g′(x)＝eq\f(－