2014届高考数学一轮复习方案第49讲圆锥曲线的热点问题课时作业新人教B版

PAGEPAGE7课时作业(四十九)[第49讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2012·宁德质检]已知方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,3－k)＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是()A．k<1或k>3B．1<k<3C．k>1D．k<32．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0，2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，4)3．到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝eq\f(\r(3),3)xC．x2－3y2＝1D．x2－3y2＝04．[2012·德化一中模拟]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞)B．(eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3))D．(1，eq\r(5))eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b)＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1，4)B．[1，＋∞)C．[1，4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)6．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率是()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)7．过点P(－1，1)作直线与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为P，则AB所在直线的方程是()A．x＋2y＋3＝0B．x＋2y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝08．已知椭圆C1：eq\f(x2,m＋2)＋eq\f(y2,n)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为()A.eq\f(\r(2),2)，1B．0，eq\f(\r(2),2)C．(0，1)D．0，eq\f(1,2)[中国教育出版网zzstep.com]9．[2012·武昌调研]已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.eq\f(5\r(2),2)＋2B.eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2D.eq\f(5\r(2),2)－110．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1，A2，一个虚轴端点为B，若它的焦距为4，则△A1A2B面积的最大值为________．11．抛物线y2＝4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．12．[2012·江西六校联考]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，离心率为e，则eq\f(a2＋e,b)的最小值为________．13．[2012·咸阳三模]设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O，F，G，且直线x＝eq\f(a2,c)与x轴相交于点H，则eq\f(|FG|,|OH|)最大时椭圆的离心率为________．14．(10分)[2012·金华模拟]已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是eq\f(1,2)时，eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．15．(13分)[2012·东北四校联考]过抛物线x2＝4y上不同两点A，B分别作抛物线的切线，两切线相交于点P(x0，y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0.(1)求y0；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)设(2)中直线AB恒过的定点为F，若eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋λeq\o(FP,\s\up6(→))2＝0恒成立，求λ的值．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)[中_国教_育出_版网]16．(12分)[2012·衡水中学调研]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋eq\r(6)＝0相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.

课时作业(四十九)【基础热身】1．B[解析]充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋1>0，,3－k>0，,k＋1>3－k，))解得1<k<3.2．B[解析]x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2，0)．3．D[解析]设点的坐标为(x，y)，则eq\r(x2＋y2)＝2|y|，整理得x2－3y2＝0.4．D[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由于点(1，2)在上区域，故2>eq\f(b,a)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))<eq\r(5)，又e>1.所以所求的范围是(1，eq\r(5))．【能力提升】5．C[解析]直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.6．C[解析]设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′＝2x0，依题意有eq\f(y0,x0)＝2x0.又y0＝xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝±1，所以eq\f(b,a)＝2x0＝2，b＝2a，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5).故选C.7．C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，①,xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，②))①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.当x1＝x2时，不合题意；当x1≠x2时，得eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,（x1＋x2）（x1－x2）)＝－eq\f(1,2)，③由已知x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝kAB，所以kAB＝eq\f(1,2)，所以所求直线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋3＝0.8．A[解析]根据已知只能m>0，n>0，且m＋2－n＝m＋n，即n＝1，所以椭圆的离心率为e＝eq\f(\r(m＋1),\r(m＋2))＝eq\r(1－\f(1,m＋2))，由于m>0，所以1>1－eq\f(1,m＋2)>eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(2),2)<e<1.9．D[解析]由抛物线的定义，|PF|＝d1＋1，d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，显然当PF垂直于直线x－y＋4＝0时，d1＋d2最小．此时d2＋|PF|为F到直线x－y＋4＝0的距离，为eq\f(|1－0＋4|,\r(12＋12))＝eq\f(5,2)eq\r(2)，∴d1＋d2的最小值为eq\f(5,2)eq\r(2)－1.10．2[解析]依题意，S△A1A2B＝ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(c2,2)＝2，所以△A1A2B面积的最大值为2.11．y2＝2(x－1)[解析]抛物线焦点为F(1，0)，设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x，y)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)①.将y1＋y2＝2y，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y,x－1)代入①式，得2y·eq\f(y,x－1)＝4，即y2＝2(x－1)．12.eq\f(2\r(6),3)[解析]已知eq\f(b,a)＝eq\r(3)，此时b＝eq\r(3)a且双曲线的离心率为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝2，所以eq\f(a2＋e,b)＝eq\f(a2＋2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(2\r(6),3)，等号当且仅当a＝eq\r(2)时成立．13.eq\f(1,2)[解析]根据已知O(0，0)，F(c，0)，G(a，0)，Heq\f(a2,c)，0，所以eq\f(|FG|,|OH|)＝eq\f(a－c,\f(a2,c))＝eq\f(ac－c2,a2)＝e－e2＝－e－eq\f(1,2)2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，所以当eq\f(|FG|,|OH|)最大时e＝eq\f(1,2).14．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是eq\f(1,2)时，l的方程为y＝eq\f(1,2)(x＋4)，即x＝2y－4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,x＝2y－4，))得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2＝4①，,y1＋y2＝\f(8＋p,2)②，))又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→))，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝k（x＋4），))得x2－4kx－16k＝0，④∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－eq\f(1,k)(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．15．解：(1)设Ax1，eq\f(xeq\o\al(2,1),4)，Bx2，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)(x1≠x2)．由x2＝4y得，y′＝eq\f(x,2)，所以kPA＝eq\f(x1,2)，kPB＝eq\f(x2,2)，因为eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以kPA·kPB＝eq\f(x1,2)·eq\f(x2,2)＝－1，即x1x2＝－4.直线PA的方程为y－eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq\f(x1x,2)－eq\f(xeq\o\al(2,1),4)，①同理直线PB的方程为y＝eq\f(x2x,2)－eq\f(xeq\o\al(2,2),4)，②由①②消去x得y0＝eq\f(x1x2,4)＝－1(x1，x2∈R)．(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.由韦达定理得x1x2＝－4b，由(1)知x1x2＝－4，所以b＝1，所以直线AB的方程为y＝kx＋1，不论k取何值，该直线恒过点(0，1)．(3)由(1)得eq\o(FA,\s\up6(→))＝x1，eq\f(xeq\o\al(2,1),4)－1，eq\o(FB,\s\up6(→))＝x2，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)－1，Peq\f(x1＋x2,2)，－1，eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\f(x1＋x2,2)，－2，x1x2＝－4.eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝x1x2＋eq\f(xeq\o\al(2,1),4)－1eq\f(xeq\o\al(2,2),4)－1＝－2－eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),4)，eq\o(FP,\s\up6(→))2＝eq\f(（x1＋x2）2,4)＋4＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),4)＋2.