2024-2025学年高中数学 第1章 计数原理 1.3 1.3.1 二项式定理（教师用书）教案 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.31.3.1二项式定理（教师用书）教案新人教A版选修2-3科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.31.3.1二项式定理（教师用书）教案新人教A版选修2-3课程基本信息1.课程名称：高中数学——二项式定理

2.教学年级和班级：高中二年级（1班）

3.授课时间：2024年10月10日

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标本节课旨在通过二项式定理的学习，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。学生将能够运用所学的二项式定理解决实际问题，提升数学应用能力。同时，通过小组讨论和问题探究，培养学生的合作交流能力和批判性思维。最终，使学生在理解数学概念的同时，提高解决复杂问题的能力，培养学生的数学素养。学情分析本节课的授课对象为高中二年级（1班）的学生，他们已经学习了函数、方程、不等式等基础知识，对数学概念和逻辑推理有一定的理解。在学习过程中，大部分学生能够积极参与课堂讨论，提出问题并尝试解决。然而，部分学生在数学学习中存在恐惧心理，对复杂问题缺乏解决信心。

在知识方面，学生对平方差公式和完全平方公式的掌握程度参差不齐，这对二项式定理的学习产生了一定的影响。能力方面，学生的数学运算能力和逻辑推理能力有待提高，特别是在解决实际问题时，难以将所学知识运用到具体情境中。素质方面，学生普遍缺乏数学思维的培养，对数学美的感悟不足。

行为习惯方面，部分学生课堂纪律良好，能够认真听讲、做好笔记；但也有部分学生课堂注意力不集中，容易走神。此外，部分学生在课后不愿花费时间进行数学练习，导致知识掌握不扎实。

针对以上学情分析，本节课的教学应注重巩固基础知识，提高学生的逻辑推理能力和数学建模能力。在教学过程中，教师应关注学生的心理素质，鼓励他们积极参与课堂讨论，培养良好的学习习惯。同时，通过设计具有针对性的课堂活动和练习题，激发学生的学习兴趣，提高他们对数学美的感悟。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、教案笔记本、学生作业本等。

2.课程平台：学校内部教学管理系统，用于发布课程资料、作业和测试。

3.信息化资源：教学软件、数学题库、在线教学视频、数学相关的图片和图表等。

4.教学手段：讲授课、案例分析、小组讨论、互动提问、练习题、课后作业等。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生兴趣，引出本节课的主题。

过程：教师通过一个有趣的数学问题引出二项式定理的概念，激发学生的求知欲。

2.知识讲解（10分钟）

目标：让学生理解二项式定理的定义和应用。

过程：教师详细讲解二项式定理的定义，并通过示例让学生了解其应用范围和方法。

3.案例分析（20分钟）

目标：培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力。

过程：教师给出一个实际问题，引导学生运用二项式定理进行分析和解决，学生独立完成并展示解题过程。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作交流能力和批判性思维。

过程：教师给出一个开放性问题，学生分组讨论并给出解答，各小组展示讨论结果，其他学生进行评价和提问。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：提升学生的表达能力和理解能力。

过程：学生展示自己的解答和思考过程，教师对学生的解答进行点评和指导，指出优点和不足之处。

6.课堂小结（5分钟）

目标：帮助学生巩固本节课的知识点。

过程：教师对本节课的主要内容进行总结，提醒学生注意二项式定理的使用条件和范围，并鼓励学生在课后进行进一步的学习和探索。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学杂志和期刊：如《数学学报》、《高中数学教与学》等，这些杂志和期刊中有很多关于二项式定理的研究文章和教学案例，可以帮助教师和学生深入了解二项式定理的内涵和外延。

（2）网络学术资源：如中国知网（CNKI）、万方数据等，这些学术资源库中收录了大量的数学学术论文，教师可以从中查找与二项式定理相关的研究成果，以丰富自己的教学内容和提高教学水平。

（3）在线教育平台：如MOOC、网易云课堂等，这些平台上有很多优秀的数学课程和教学视频，教师可以借鉴其中的教学方法和策略，提高自己的教学效果。

（4）数学竞赛资料：如全国高中数学联赛、美国数学竞赛等，这些竞赛资料中蕴含着丰富的数学知识和解题技巧，学生可以通过练习这些竞赛题目，提高自己的数学能力和解题水平。

2.拓展建议：

（1）鼓励学生阅读数学杂志和期刊，了解二项式定理的最新研究成果和发展动态，提高自己的学术素养。

（2）引导学生利用网络学术资源自主学习，查找与二项式定理相关的论文，学会筛选和分析学术资料，提高自己的独立研究能力。

（3）建议学生参加在线数学课程和讲座，学习优秀教师的授课技巧，提高自己的数学素养。

（4）鼓励学生参加数学竞赛，通过竞赛锻炼自己的数学能力和解题技巧，为将来的数学学习打下坚实的基础。

（5）教师可以组织或引导学生参加数学社团、研究小组等活动，促进学生在数学学习中的交流与合作，共同探讨二项式定理的深度和广度。

（6）推荐学生阅读数学经典著作，如《数学史》、《数学思想方法》等，了解数学的发展历程和思想方法，培养学生的数学审美和逻辑思维能力。

（7）教师可以结合本节课的教学内容，设计一些富有挑战性的课后作业和项目任务，让学生在实践中运用所学知识，提高自己的数学应用能力。典型例题讲解七、典型例题讲解

例1：已知二项式$(x+y)^n$的展开式中，$x^2y^{n-2}$的系数为$20$，求$n$的值。

解：根据二项式定理，$(x+y)^n$的展开式中，$x^2y^{n-2}$的系数为$\binom{n}{2}$。所以，我们有$\binom{n}{2}=20$。解这个方程，我们得到$n=6$。

例2：已知二项式$(a-b)^5$的展开式中，$a^3b^2$的系数为$-60$，求$a$和$b$的关系。

解：根据二项式定理，$(a-b)^5$的展开式中，$a^3b^2$的系数为$\binom{5}{2}a^3b^2$。所以，我们有$\binom{5}{2}a^3b^2=-60$。简化这个方程，我们得到$a^3b^2=-6$。由此，我们可以得到$a$和$b$的关系为$a=-2b$。

例3：已知二项式$(x+2y)^6$的展开式中，$x^4y^2$的系数为$210$，求$x$和$y$的关系。

解：根据二项式定理，$(x+2y)^6$的展开式中，$x^4y^2$的系数为$\binom{6}{2}x^4(2y)^2$。所以，我们有$\binom{6}{2}x^4(2y)^2=210$。简化这个方程，我们得到$x^4y^2=52.5$。由此，我们可以得到$x$和$y$的关系为$x=±\sqrt{2}y$。

例4：已知二项式$(3x-2y)^4$的展开式中，$x^3y$的系数为$-240$，求$x$和$y$的关系。

解：根据二项式定理，$(3x-2y)^4$的展开式中，$x^3y$的系数为$\binom{4}{1}(3x)^3(-2y)$。所以，我们有$\binom{4}{1}(3x)^3(-2y)=-240$。简化这个方程，我们得到$x^3y=8$。由此，我们可以得到$x$和$y$的关系为$x=±\frac{2}{3}y$。

例5：已知二项式$(2x+3y)^5$的展开式中，$x^2y^3$的系数为$210$，求$x$和$y$的关系。

解：根据二项式定理，$(2x+3y)^5$的展开式中，$x^2y^3$的系数为$\binom{5}{2}(2x)^2(3y)^3$。所以，我们有$\binom{5}{2}(2x)^2(3y)^3=210$。简化这个方程，我们得到$x^2y^3=\frac{7}{3}$。由此，我们可以得到$x$和$y$的关系为$x=±\sqrt[3]{\frac{7}{27}}y$。

这些例题都是关于二项式定理的应用，通过解决这些问题，学生可以加深对二项式定理的理解，并提高自己的解题能力。在讲解这些例题时，可以引导学生注意二项式定理的系数计算和组合数的性质。同时，可以鼓励学生自主探究这些例题的解题思路和方法，培养他们的独立思考和解决问题的能力。板书设计1.知识点突出

①二项式定理的定义：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

②二项式系数的计算：$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

③二项式定理的应用：解决实际问题，如组合问题、概率问题等。

2.词句简洁明了

①$(a+b)^n$的展开式中，$a^kb^{n-k}$的系数为$\binom{n}{k}$。

②组合数的性质：$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$，$\binom{n}{k}=\frac{\binom{n}{k-1}\times(n-k+1)}{\binom{k}{k-1}}$。

③二项式定理的证明：通过数学归纳法证明$(a+b)^n$的展开式中，各项系数和为$2^n$。

3.艺术性和趣味性

①使用图示或动画展示二项式定理的展开过程，让学生直观理解。

②以故事或生活实例引入二项式定理，增加学习兴趣。

③设计有趣的练习题或游戏，让学生在实践中运用二项式定理。教学反思与改进今天上的这节课，我感到有些地方做得不错，但也有需要改进的地方。首先，我感到高兴的是，学生在课堂上的参与度很高，他们积极回答问题，参与讨论，这表明他们对二项式定理的知识有了很好的理解。

然而，我也发现了一些问题。例如，一些学生在解决实际问题