解密09立体几何初步（分层训练）

解密09立体几何初步A组基础练A组基础练一、单选题1．（2021·湖南·长郡中学二模）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．故选：C．2．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意结合柱体的体积公式可知高没变，底面积变为一半，而底面是等腰直角三角形，从而可求出边长间的关系，进而可求得答案【详解】水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，所以水面高度占AB的，故选：C.3．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三视图还原几何体，并判断其几何构成，结合圆柱体的体积公式求几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，几何体为一个高度为4的圆柱体去掉高度为1的左上角部分，如下图示：∴几何体的体积为：.故选：C4．（2022·新疆·一模（理））如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】取的中点，连接，，由异面直线NO与AM所成角即为与AM所成角求解.【详解】如图所示：取的中点，连接，，易知，所以异面直线NO与AM所成角就为与AM所成角，因为，M分别是正方形的边AD，的中点，所以由正方形知识可知，所以异面直线NO与AM所成角的大小为90°．故选：D5．（2021·云南·模拟预测（文））已知是两个不同平面，是两条不同直线，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数为（）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】B【分析】利用面面垂直的判定判断命题①；举特例说明并判断命题②，③；由线面垂直、线面平行的性质判断④即可作答.【详解】对于①，若，由面面垂直的判定知，①是真命题；对于②，因，令，在平面存在一直线与直线平行，令此直线为，显然满足，此时，，即不成立，②是假命题；对于③，当与相交时，令，若平面内直线满足，必有，如图，显然不成立，③是假命题；对于④，因，过直线的一平面与平面相交，令交线为，如图，则有，而，必有，于是得，④是真命题，所以，所给的4个命题中正确命题的个数是2.故选：B6．（2021·全国全国·模拟预测）若一个圆柱的内切球（与圆柱的两底面以及每条母线均相切）的表面积为，则这个圆柱的体积为（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据给定条件求出球半径，再由圆柱的内切球与圆柱的关系可得圆柱的底面圆半径和高，然后代入体积公式计算即得.【详解】设球的半径为r，则，解得，因半径为r的球是圆柱的内切球，则圆柱的高h等于其内切球直径2r，圆柱底面圆直径等于球的直径2r，于是得圆柱的底面圆半径为1，高h=2，则，所以这个圆柱的体积为.故选：C二、填空题7．（2021·江苏海安·模拟预测）某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.【答案】【分析】由圆台的表面积公式计算．【详解】由题意该圆台的表面积为．故答案为：．8．（2021·河南·模拟预测（文））如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①②④【分析】由线面垂直判定以及性质判断①；由勾股定理以及面面垂直的性质判断②；取的中点，连接，，由余弦定理以及面面角的定义证明平面与平面不垂直；由体积公式得出；由，判断⑤.【详解】因为正方形的对角线互相垂直，所以，且，由线面垂直的判定可知平面，所以，即①正确；因为正方形的边长是，所以，又平面平面，所以平面，所以，即和都是等边三角形，②正确；如图，取的中点，连接，，得，，所以就是二面角的平面角，而，所以不是直角．即平面与平面不垂直，③错误；因为，所以④正确；因为，，所以三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和，不是和，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．故答案为：①②④三、解答题9．（2021·广东·模拟预测）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．（1）求证：AD∥平面PBC；（2）求证：AB⊥平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，进而证明AD∥平面PBC；（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性质定理证明．【详解】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.10．（2022·广西玉林·模拟预测（文））如图所示，在直三棱柱中，，设D为的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据平行线的性质，利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，又因为，D为的中点，所以，因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，以平面平面.（2）取的中点，连接，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，同理可证：平面，又，平面平面，又平面，平面．因此点到平面的距离等于点A到平面的距离，设该距离为h，则由，得，所以，由题意，，所以，所以为直角三角形，所以.11．（2021·黑龙江·模拟预测（理））如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形为等腰梯形，且，，，平面平面.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】(1)由面面垂直的性质定理可证明平面ABEF，可证，在等腰梯形ABEF中，可证，由线面垂直的判定定理和性质定理可证明.（2）等体积转化法可知，分别计算对应的面积和高即可求出体积.（1），平面平面，平面平面，平面ABEF，取EF中点G，链接BF四边形ABGF为平行四边形在中，，平面BCE，且交于点B平面BCE平面BCE（2）设到的距离，则在中可求，平面平面，平面平面平面，且，.12．（2021·云南大理·模拟预测（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，即求．（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由平面，所以，从而，设，，又，则，即，解得，所以．因为底面，底面是矩形，∴，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA即△PAB为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，∴，故四棱锥的表面积为．B组提升练B组提升练一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.故选：D2．（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.【详解】根据题意作图，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则有，.该圆锥的底面积与侧面积比值为.故选：C.3．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：.故选：C.4．（2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.5．（2016·全国·高考真题（文））在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.6．（2020·海南·高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.二、填空题7．（2020·上海闵行·一模）如图，在三棱锥DAEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥DAEF的体积为，则___________.【答案】【分析】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，则，，由此即可求出.【详解】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，由题意知：，，故答案为：.8．（2019·江苏·高考真题）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥EBCD的体积是_____.【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.三、解答题9．（2021·湖南·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：平面ACE；（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面.(2)由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.【详解】（1）连接交于点，连接.在中，因为，所以，因为平面，平面，则平面.（2）因为平面ABCD，所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，又，，所以，所以四棱锥的体积，所以四棱锥的体积为.10．（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）通过证明，来证得平面.（2）通过证明平面，来证得平面平面.【详解】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.11．（2020·全国·高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得,再通