第四讲-导数的极值-2022-2023高二下学期人教A版2

第四讲 导数极值问题层级图目标层级图

课前检测（15mins）1.求函数极值;【答案】极小值【解析】令,即解得。当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以函数在处取得极小值,无极大值。2.已知函数(,为自然对数的底数).求函数的极值.【答案】当时,函数无极小值.当,在处取得极小值,无极大值.【解析】,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值

3.已知函数,，若在处取得极值,求的值;【答案】【解析】定义域为,因为函数在处取得极值，所以有,解得经检验当在处取得极小值，符合题意。课中讲解极值的几何意义LV.3例1:函数的极值点_________【答案】【解析】（两个）（一个）例2:已知是定义域为的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】（两个）（一个）又因为是偶函数，所以，所以也是一个极值点。

过关检测（10mins）1.在上定义运算（、为实常数）.记令.如果在处有极值试确定、的值。【答案】【解析】依题意得或若，递减，无极值。若，直接讨论知，在处极大值，所以求不含参数的函数的极值LV.4适用于不含参数的函数.的极值.【答案】极大值为，极小值为【解析】定义域令（0，1）1（1，2）2+00+极大值极小值极大值，极小值例2:求函数的极值.【答案】极小值为，无极大值【解析】，或在递减，在递增。所以极小值为无极大值例3：已知函数，求函数的极大值.【答案】极大值【解析】令得或（舍）随的变化情况如下表：0极大值所以当时，取得极大值例4：已知函数.求证：1是函数的极值点.【答案】1是函数的极值点.【解析】的定义域为由得当时，，，,故在上单调递增；当时，，，，故在上单调递减；所以1是函数的极值点.过关检测（15mins）1.求函数的极值【答案】有极大值，无极小值.【解析】.令,得因为,所以与在区间上的变化情况如下:所以的单调递增区间为,单调递减区间为.有极大值，无极小值.2.求函数的极值.【答案】极小值,无极大值.【解析】函数定义域为求导，得令,解得.当变化时，与的变化情况如下表所示:极小值所以函数的单调增区间为,单调减区间为所以函数有极小值,无极大值.3.已知函数.设,求函数的极值.【答案】的极小值为,无极大值.【解析】,函数定义域为:,极小值故的极小值为,无极大值.

三．会讨论含参函数的极值LV.4例1:设函数.求的极值.【答案】在处取得极小值.【解析】由所以的定义域为令解得与在区间上的情况如下:所以,的单调减区间为,单调增区间为.在处取得极小值.过关检测（15mins）已知函数.求的极值；【答案】【解析】当时，令恒成立，所以函数无极值当时，令=0，解得+02.已知函数（）求证:1是的唯一极小值点;【解析】（）设,则故在是单调递增函数,又,故方程只有唯一实根当变化时,,的变化情况如下:1极小值故在时取得极小值,即1是的唯一极小值点.四．会已知极值求参数LV.4例1:已知函数,.若在处取得极小值,求的值;【答案】【解析】由在处取得极小值,得所以(经检验适合题意)例2：已知函数,其中实数.判断是否为函数的极值点,并说明理由.【答案】是函数的极值点，且为极小值点.【解析】解：（I）由可得函数的定义域为令可得因为，所以①当时，，所以，随的变化如下：极小值②当时，，，随的变化如下：极大值极小值综上，是函数的极值点，且为极小值点.例3：设函数.若在处取得极小值,求的取值范围.【答案】【解析】（i）当时,令,0极大值所以,当时,取极大值,不符合题意.（ii）当时,令极小值极大值所以,当时,取极大值,不符合题意.（iii）当时（1）当时,即时极大值极小值所以,当时,取极小值,符合题意.（2）当时,即时,,单调递增,所以无极值,不符合题意.（3）当时,即时.极大值极小值所以,当时,取极大值,不符合题意.综上所述:例4：已知函数.设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围. 【解析】（1）当时,由,函数在上为减函数,所以不存在极值点;（2）当时,此时.令,解得或,但,所以当,,时,函数为减函数,在上为增函数,在上为减函数.若函数在区间上存在极值点,则,解得或,所以.综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.例5已知函数.设函数,求证:当时,在上存在极小值.【解析】由及题设得,由可得,由(Ⅱ)可知函数在上递增,所以,取,显然,,所以存在满足,即存在满足,所以在区间上的情况如下:0极小值所以当时,在上存在极小值.例6：已知函数,其中，记的导函数为．当时,证明:存在极小值点,且．【答案】存在极小值点,且．【解析】．则所以．因为,所以与同号．设,则．所以对任意,有,故在单调递增．因为,所以,,故存在,使得．过关检测（15mins）1.已知函数。求的极值;【解析】.令,得.=1\*GB3①当时,与符号相同,当变化时,,的变化情况如下表:极小=2\*GB3②当时,与符号相反,当变化时,,的变化情况如下表:极小综上,在处取得极小值2.已知函数.若函数在上有极值,求的取值范围.【解析】（ⅰ）当时,对于任意,都有所以函数在上为增函数,没有极值,不合题意（ⅱ）当时,令,则.所以在上单调递增,即在上单调递增,所以函数在上有极值,等价于所以所以.所以的取值范围是课后练习补救练习（6mins）1.已知函数,其中为实数,若在处取得极值,则.【答案】【解析】本题考查导数的意义由又则2.已知函数，若函数在区间上仅有一个极值点，求实数的取值范围；【解析】因为，所以，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，没有极值点，不符合题意；当时，令得，当变化时，与的变化情况如下表所示：(∞,)(,)(,+∞)+00+↗极大值↘极小值↗因为函数在区间，仅有一个极值点，所以所以.巩固练习（30mins）1.已知函数(),.（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）当时,若函数在区间内存在唯一的极值点,【解析】（Ⅰ）由已知得,.（ⅰ）当时,恒成立,则函数在为增函数;（ⅱ）当时,由,得;由,得;所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.……4分（Ⅱ）因为,则.由（Ⅰ）可知,函数在上单调递增,在上单调递减.又因为,,所以在上有且只有一个零点.在上,单调递减;在上,单调递增.所以为极值点,此时.又,,所以在上有且只有一个零点.在上,单调递增;在上,单调递减.所以为极值点,此时.综上所述,或.2.求函数的极值．【答案】若,没有极值点.若,函数有极小值为【解析】,（1）若,则在区间上,单调递增.所以当时,的单调递增区间为,没有极值点.（2）若,令,即,解得,因为函数在区间是递增函数,所以在区间内,单调递减;在区间内,单调递增.所以当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为所以当时,函数有极小值为3.已知函数，设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.【解析】,因为所以令,只需设,若在区间上有两个极值点,则在区间上有两个零点要使在区间上有两个零点,的唯一根必须在区间所以令,得,且解得:4.已知函数,.若函数在区间上无极值,求的取值范围.[来【解析】因为,所以.若,则.此时在上单调递减,满足条件.若,令得.(ⅰ)若,即,则在上恒成立.此时在上单调递减,满足条件.(ⅱ)若,即时,由得;由得:.此时在上为增函数,在上为减,不满足条件.(ⅲ)若,即.则在上恒成立.此时在上单调递减,满足条件.综上,.拔高练习（30mins）1.已知函数，其中．若存在极小值和极大值，证明：的极小值大于极大值．【解析】．=1\*GB3①当时，恒成立，函数在区间和上单调递增，无极值，不合题意．=2\*GB3②当时，令，整理得．由，所以，上述方程必有两个不相等的实数解，，不妨设．由得．，的变化情况如下表： ↗极大值↘↘极小值↗所以，存在极大值，极小值．．因为，且，所以，，所以．所以的极小值大于极大值．2.已知函数.证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0.【解析】因为,所以在区间上是单调递增函数.因为,,所以,使得.所以,;,,故在上单调递减,在上单调递增,所以有极小值.因为,所以.设,,则,所以,即在上单调递减,所以,即,所以函数的极小值大于0.3.已知函数.若在内有极值,试求的取值范围.【解析】若在内有极值,则在内有解.解法一：令.令(1)当时，恒成立，则递增。所以在无零点，不符合题意。(2)当时，当时，在单增。根据（1）得，不符合题意当时，即,在区间递减。要使在上有零点则所以当时，即在区间单调递减，在单调递增。要使在上有零点则即矛盾舍去。综上所述解法二：令.设,,所以, 当时,恒成立,所以单调递减.又因为,又当时,,即在上的值域为,所以当时,有解.设,则,,所以在单调递减.因为,,所以在有唯一解.所以有:00极小值所以当时,在内有极值且唯一.当时,当时,恒成立,单调递增,不成立.综上,的取值范围为.4.已知函数（为自然对数的底数）.已知函数在处取得极小值,不等式的解集为,若,且,求实数的取值范围.【解析】由题意知,得,经检验此时在处取得极小值,∵,∴在上有解,即,使成立,即使成立,∴,令,,∴在上单调递减,在上单调递增,,∴,5.已知函数． 当时，设在处取到极值，记．，，，判断直线、、与函数的图象各有几个交点（直接写出答案）.【解析】直线与的图象的交点个数是个；直线与的图象的交点个数是个；直线与的图象的交点个数是个．6.对于函数,若存在实数满足,则称为函数的一个不动点.已知函数,其中.（Ⅰ）当时,（i）若存在既是的极值点,又是的不动点,求的值;（Ⅱ）若有两个相异的极值点,,试问:是否存在,,使得,均为的不动点？证明你的结论.【解析】（Ⅰ）的定义域为,且.当时,.（ⅰ）①当时,显然在上单调递增,无极值点.②当时,令,解得.和的变化情况如下表：↗↘↗所以,是的极大值点;是的极小值点.（ⅱ）若是的极值点,则有;若是的不动点,则有.从上述两式中消去,整理得.设.所以,在上单调递增.又,所以函数有且仅有一个零点,即方程的根为,所以.（Ⅱ）因为有两个相异的极值点,,所以方程有两个不等实根,,所以,即.假设存在实数,,使得,均为的不动点,则,是方程的两个实根,显然,.对于实根,有