专题10-2不等式选讲题型归类（讲练）-2023年高考数学二轮复习

专题102不等式选讲题型归类目录TOC\o"11"\h\u讲高考 1题型全归纳 6【题型一】绝对值不等式恒成立求参 6【题型二】绝对值三角不等式应用 9【题型三】绝对值不等式给解集求参数 11【题型四】绝对值不等式与均值不等式 13【题型五】柯西不等式型证明 15【题型六】柯西不等式求最值与参数 18【题型七】三元不等式证明 20【题型八】利用三元不等式求最值 23【题型九】分析法证明不等式 25【题型十】综合法证明不等式 27专题训练 30讲高考1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且，证明：(1)；(2)；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【详解】（1）证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．（2）证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等号．2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以.[方法二]：基本不等式由，，，，当且仅当时，取等号，所以.（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．3．已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.[方法二]【最优解】：零点分段求解法

当时，．当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上，的解集为．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当时，则，此时，无解．当时，则，此时，由得，．综上，a的取值范围为．[方法四]：函数图象法解不等式

由方法一求得后，构造两个函数和，即和，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，由图易知，则．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.题型全归纳【题型一】绝对值不等式恒成立求参【讲题型】例题1.已知函数,．（Ⅰ）当时,求不等式的解集；（Ⅱ）设,且当时，都有,求的取值范围．【答案】（1）（2）试题解析：（I）当时，，故不等式可化为：或或解得：所求解集为：.（II）当时，由有：不等式可变形为：故对恒成立，即，解得而，故.的取值范围是：例题2.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）当时，.由，解得.所以，不等式的解集为.（Ⅱ）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或.所以，实数的取值范围为.【讲技巧】【练题型】1.已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对于任意非零实数以及任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）.（2）.试题解析：（1）当时，所以的解集为.（2）由，知，即，而，所以，即，故实数的取值范围为.2.2.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)试题解析：（1）当时，，∴，故；当时，，∴，故；当时，，∴，故；综上可知：的解集为.（2）由（1）知：，【解法一】如图所示：作出函数的图象，由图象知，当时，，解得：，∴实数的取值范围为.【解法二】当时，恒成立，∴，当时，恒成立，∴，当时，恒成立，∴，综上，实数的取值范围为.【题型二】绝对值三角不等式应用【讲题型】例题1.已知函数．(1)若，求的解集；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三种情况求解即可，（2）问题转化为，令，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，使，从而可求出实数a的取值范围.（1）由题知，即．当时，．当时，，解得，；当时，，恒成立，；当时，，解得，，的解集为．（2）由，即．令，，当且仅当时等号成立，，，∴，解得或，实数a的取值范围为．例题2.．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分，，不同范围讨论，分别求解即可得到结果；（2）根据题意转化为求，即可得到，求解不等式即可得到结果.【详解】（1）由，得，当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得，综上所述，不等式的解集为（2）不等式，即为，而，所以，解得或，所以的取值范围是【讲技巧】绝对值三角不等式||a||b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b【练题型】1.已知函数．(1)若，求的解集；(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2).【分析】（1）将函数去绝对值，转为分段函数，即可求解.（2）不等式，即转化为，利用绝对值三角不等式化简，求得函数的最小值即可求解.(1)解：当时，，当时，由，解得，当时，由，解得.故的解集为.(2)解：当时，恒成立，故，又，即，故，所以的取值范围为.2.已知．(1)当时，求的解集；(2)若的解集包含，求a的取值范围．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）通过讨论的范围解不等式.（2）结合的解集包含来化简不等式，进而解出不等式，再利用解集包含求出a的取值范围.【详解】（1）当时，当时，不等式为，解得，故；当时，不等式为，解得，无解；当时，不等式为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．故答案为：.（2）的解集包含，即在上成立，即的解集包含，

即，解得，由已知可得解得，所以的取值范围为．故答案为：．【题型三】绝对值不等式给解集求参数【讲题型】例题1.已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式对恒成立，求实数a的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，即可解得；（2）利用分离参数法得到对恒成立，即可求解.【详解】（1）由已知.当时，，此时无解；当时，，此时取；当时，，此时取.综上可得不等式的解集为.（2）由题意可得对恒成立，即对恒成立，所以当时，，故.例题2.已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分段讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，解不等式组，求得答案;（2）将化为，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，即可求得答案.（1）当时，不等式，即，所以或,即得或,解得或,所以不等式的解集是.（2）因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，即，故只要且对任意的恒成立即可.因为，，当且仅当时，即时等号成立，所以.令，则在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围是.【讲技巧】解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．【练题型】1.．(1)时，解不等式；(2)若区间是不等式的解集的子集，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分类讨论去掉绝对值符号后解不等式；（2）注意到上可以脱去一个绝对值符号，此后分离参数转化为恒成立问题来做.（1）当时，当时，不等式，解得：当时，不等式，解得：当时，不等式，解得：综上：不等式的解集为：.（2）由题意得，不等式在区间上成立等价于：，也等价于在区间上恒成立当时，，解得：当时，，解得：当时，，解得：综上：的取值范围为：2.已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若，使得不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三种情况讨论，去绝对值符号，再解不等式即可；（2）令，，使得不等式成立，只需要即可，分和两种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：若，，当时，恒成立，当时，无解，当时，，解得，综上所述不等式的解集为；（2）解：，使得不等式成立，即，使得不等式成立，令，则只要即可，当时，，则，所以，解得，当时，，则，所以，解得，综上所述实数a的取值范围为.【题型四】绝对值不等式与均值不等式【讲题型】例题1.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数的最大值为2，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【分析】（1）时不等式即，两边平方并化简得到，再解一元二次不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求得的最大值，即得，再利用“1”的妙用拼凑，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】解：（1）当时，即，两边平方得即，解得故不等式的解集为；（2）函数所以，即，当且仅当时等号成立，即时，最大值为，又因为函数的最大值为2，，即，，当且仅当即，取等号，的最小值为.例题2.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，（），求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】试题分析：（1）当时，不等式等价于，两边平方即可求得解集；（2）对分类讨论，去掉绝对值符号得函数的解析式，可得函数的最小值为，再结合基本不等式即可求出的最小值.试题解析：（1）当时，不等式为两边平方得，解得或∴的解集为（2）当时，，可得，∴∴，当且仅当，即，时取等号.【讲技巧】利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用，求和的最小值；（2）和定，利用，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.【练题型】1.关于的不等式的解集为，其中．(1)求实数，的值；(2)若正数，满足，求的最小值．【答案】(1)，；(2)4.【分析】(1)把不等式化成一元二次不等式，再借助一元二次方程列式计算作答.(2)利用(1)的结论结合“1”的妙用计算作答.(1)依题意，不等式化为：，而，则是方程的二根，且，因此，且，解得或，当时，，符合题意，当时，不符合题意，所以，.(2)由(1)知，，，而，则有，当且仅当时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值4.2.已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数的最小值为M，若正数a，b，c满足，证明．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据的取值分类讨论，分段求解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求得，再根据基本不等式即可证明.【详解】（1）当时，即，解得，不等式解集为；当时，即，不等式解集为空集；当时，即，解得，不等式解集为；综上所述，的解集为.（2），当且仅当，即时取得等号，故；则，又，则，又，当且仅当时取得等号；，当且仅当时取得等号；，当且仅当时取得等号；故，当且仅当，且，即时取得等号.故，时取得等号.【题型五】柯西不等式型证明【讲题型】例题1.设、、为正实数，且.(1)证明：；(2)证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得出，结合基本不等式可证得；（2）利用柯西不等式可得出，即可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为、、为正实数，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故.（2）证明：由柯西不等式可得，所以，，当且仅当时，即当，，时，等号成立，故.例题2.已知正数a，b，c，d满足，证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由基本不等式证明；（2）由柯西不等式证明.（1）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又正数a，b，c，d满足，所以.（2）因为正数a，b，c，d满足，所以由柯西不等式，可得，当且仅当，时，等号成立，故.【讲技巧】柯西不等式，可以通过观察凑配法来准确构造：位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配具体可以用下边推论来待定系数配凑【练题型】1.已知，且.（1）求的最大值；（2）若，证明：．【答案】（1）.（2）证明见解析【分析】（1）对作平方,可得,进而利用均值不等式求解即可；（2）利用柯西不等式可得,由,可得,,则,进而求解即可.【详解】（1）解:,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为.（2）证明:因为,,所以,,,当且仅当时等号成立,则有,即,故.2.已知，，，，，都是实数，且，.(1)证明：；(2)若，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由绝对值的性质有，再每个式子用基本不等式放大可得；（2）由已知，利用柯西不等式可得结论．（1）证明：因为，又，，所以，当且仅当时取等号，即.（2）证明：因为，，所以，当且仅当时取等号.所以.【题型六】柯西不等式求最值与参数【讲题型】例题1.对，的最小值为.（1）若三个正数、、满足，证明：；（2）若三个实数、、满足，且恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得，再由基本不等式和累加法，即可得证；（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．【详解】（1）由，，当且仅当时取得等号，可得，又，，同理可得，，三式相加可得，，当且仅当时，取得等号，则；（2）恒成立，等价为，由，当且仅当可取得等号．则，即，解得或，即的取值范围是．例题2.．（1）已知x，y为正实数．证明：．（2）对任意的正实数x，y，均有成立，求k的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由，应用基本不等式求范围，即可证结论；（2）应用柯西不等式有，结合恒成立，即可求范围.【详解】（1）由x，y为正实数，，当且仅当，即等号成立，所以得证.（2）由柯西不等式有，则，当且仅当时等号成立，又x，y为正实数，所以，而恒成立，所以.【练题型】1.柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.具体表述如下：对任意实数和，（，），都.（1）证明时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明见解析，当且仅当时等号成立（2）【分析】（1）构造函数，利用判别式证明即可；（2）利用柯西不等式求出，即可求实数的取值范围．【详解】（1）构造函数．注意到，所以△，即．（其中等号成立当且仅当，即．（2）解：由（1）可得，，对任意，不等式恒成立，．2.已知，且．（1）求的最小值；（2）若成立，求的取值范围．【答案】(1)最小值为．(2)【分析】（1）利用柯西不等式即可求解；（2）利用柯西不等式即可求解.【详解】（1）由柯西不等式，得：即：，，当且仅当时等号成立，故：的最小值为．（2）由柯西不等式，得：．即：，当且仅当时取等号，只需，解得：．故：的取值范围为：【题型七】三元不等式证明【讲题型】例题1.已知a，b，c都是正数，且1.证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用三元均值不等式推理作答.（2）利用均值不等式，结合不等式的性质推理作答.【详解】（1）因为a，b，c都是正数，则有，当且仅当时取等号，所以.（2）因为c都是正数，于是，当且仅当时取等号，因此，当且仅当时取等号，同理，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号，所以.例题2.已知正数满足．(1)求证：(2)若正数满足，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先根据题意得到，，，再利用不等式的性质即可证明.（2）首先根据三个正数均值不等式得到，再根据证明即可.【详解】（1）因为为正数，所以（当且仅当时，取等号）．同理可得（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）．因为正数满足，所以（当且仅当时取等号）（2）因为正数满足．所以因为正数满足，所以=（当且仅当时取等号）．【讲技巧】三元形式不等式较难，具有明显的“对称特性”特征，可用均值，柯西不等式来证明，较复杂的，可以因式分解，恒等变形，用分析法综合法，构造均值来证明【练题型】1.已知，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式即可得证.（2）利用基本不等式推得，，，再相加即可得证．【详解】（1）因为，所以，即，当且仅当且，即时，等号成立，所以，即，故.（2）因为，因为，当且仅当，即取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，上面三式相加可得，即，当且仅当，，且，即时，等号成立，因为，所以，所以.2.设、、为正数，且.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出，利用反比例函数在上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出，，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为、、为正数，由可得，所以，，因为函数在上为增函数，故.（2）证明：由基本不等式可得，，，由不等式的基本性质可得，当且仅当时，等号成立，故.【题型八】利用三元不等式求最值【讲题型】例题1.已知的最小值为.(1)求的值；(2)正实数，，满足，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）将绝对值函数写成分段函数性质，结合各分段上的函数单调性及定义域求最小值，即可确定m值.（2）由（1）有，又，结合三元基本不等式可得，即可求目标式最值，注意等号成立条件.(1)由题设，，则，即.(2)由（1）知：，所以，而，则，∴，当且仅当时取等号，所以.例题2.已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足关系式，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得恒成立，令，去绝对值得出分段函数解析式，求出即可求解.（2）由题意可得，等式化为，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意可知恒成立，令，去绝对值可得：，由解析式可知在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为；

（2）由（1）可知，所以，

，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.【练题型】1.已知a，b，c为正数．（1）证明；（2）求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．【详解】（1）证明a，b，c均为正数，以上三式相加，得即．（当且仅当时等号成立）（2）因为，，，，当且仅当，即时等号成立．所以原式的最小值为．2.已知都是正数，且，用表示的最大值，.（1）证明；（2）求M的最小值.【答案】(1)见解析；（2）.【分析】1由已知，利用“1的代换”结合基本不等式证明；2由题意，，，，把三个式子平方作和，再由均值不等式求最值．【详解】1证明：，，当且仅当时等号成立，故；2解：由题意，，，，，当且仅当时上式等号成立．，即M的最小值为．【题型九】分析法证明不等式【讲题型】例题1.已知a，b，c为正数，且满足．(1)证明：；(2)证明：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.【详解】（1）∵a，b，c为正数，要证，∵只需证，即证，即证，∵a，b，c为正数，∴，∴，∴∴，∴当且仅当时取等；（2）要证，只需证，即证，根据柯西不等式可，当且仅当取等号．从而.例题2.已知，，.(1)求的范围；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用基本不等式可求得的取值范围；（2）由已知可得出，令，将所证不等式等价转化为，通分、因式分解后判断符号，即可证得结论成立.（1）解：因为，，则，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，等号成立，故.（2）证明：因为，所以，，要证，即证，即证，令，即证，因为，故原不等式得证.【练题型】1.已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）由三个正数的基本不等式进行求解；（2）凑项后利用基本不等式进行证明.【详解】（1）由，当且仅当时，取得等号．又，所以．故当且仅当时，取得最大值1．（2）证明：要证，需证．因为，即，当且仅当时取得等号．故．2.设不等式||x+1||x1||<2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)令，去绝对值符号化函数为分段函数，解不等式即可作答.(2)根据给定条件利用分析法即可证得不等式成立.(1)由已知，令，则原不等式等价于，即，当时，，不等式无解，当时，，解得，则，当时，，不等式无解，综上得：.(2)要证>1，只需证，只需证，只需证，只需证，由a，b，c∈A，得，，于是得恒成立，而上述推理过程可逆，所以.【题型十】综合法证明不等式【讲题型】例题1.已知，函数的最小值为3．(1)求的值；(2)求证：．【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）利用绝对值不等式即可求出；（2）利用乘“1”法求出，则，则，移项即可.【详解】（1）因为,当且仅当时,等号成立,又,所以.（2）由（1）知,又,所以,当且仅当，联立，即时等号成立,所以,则即例题2.已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得出，然后分、、三种情况解不等式，即可得出实数的取值范围；（2）由可得出，分别证明出，，即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，则，由可得.①当时，则有，解得，此时；②当时，则有，解得，此时；③当时，则有，解得，此时.综上所述，当时，实数的取值范围是.（2）证明：要证，即证.当时，；当时，；当时，.综上所述，，，因为，其中为锐角，且，所以，，所以，恒成立，故.【练题型】1.已知实数，，满足，．(1)证明：．(2)用表示，，的最小值，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用综合法去证明；（2）利用均值定理构造不等式去证明(1)由，可知，，都不为，因为，所以，因为，所以，即．(2)不妨设，则，因为，，所以，，所以，，因为，所以，所以，，即．2.设函数．（1）求函数的最小值；（2）若函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）去绝对值写出分段函数，作出函数图象即可求解.（2）由（1）知，利用基本不等式即可证明.【详解】解：（1）作出的图象，如图：∴当时，取最小值；

（2）由（1）知，且a，b，c为正实数，∴，即，当且仅当时等号成立．1．已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，分、、三种情况讨论求解即可；（2）直接用绝对值的三角不等式可得答案.【详解】（1）当时，，所以当时，，由可得，，所以此时，当时，，由可得，，所以此时，当时，，由可得，，所以此时无解，综上：所以不等式的解集为，（2），当时等号成立，所以的最小值为.2．设均不为零，且．(1)证明：；(2)求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)3.【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答.（2）利用柯西不等式求解最小值作答.【详解】（1）依题意，，且均不为零，则，所以.（2）因为，当且仅当，即时取等号，因此，所以的最小值为3.3．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)当时，求证：.【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）分，三种情况解不等式即可求出答案；（2）（方法一）当时，要证即证，由均值不等式即可证明；（方法二）当时，要证即证，由二次函数的性质即可证明.【详解】（1）解：∵∴等价于下列不等式组①；或②；或③.①的解为；②无解；③的解为.∴不等式的解集为或.（2）证明：（方法一）当时，.∴要证即证，即证.∵.∴.当且仅当即时取等号.∴当时，.（方法二）当时，.∴要证即证，即证.∵恒成立.且时取等号.∴当时，.4．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)函数最小值为，求的最小值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）对x的值分类讨论开绝对值可得，作出函数的图形，结合图形即可求解；（2