第二章（综合培优）直线与圆的方程B卷-2021-2022学年高二数学单元AB卷（人教A版2019选择性）

第二章直线与圆的方程（B卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，直线经过，，则直线的斜率，又由，则，则有，又由，则；故选：．2．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线即，故，设点关于的对称点坐标为．则解得．点关于的对称点坐标为．故选：A．3．过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设与直线垂直的直线为，直线过点，则，解得：，所以直线方程是.故选：B4．若平面上两点，，则过点的直线上满足的点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．与直线的斜率有关【答案】C【解析】解：由，则，可得，即，可得点轨迹为圆，设，则，整理可得方程为：，故点的个数即为与圆的交点个数.由于直线过定点，且在圆内，所以直线与圆有两个交点，故选：C．5．圆心为的圆与直线交于､两点，为坐标原点，且满足，则圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为圆心为，所以设圆的方程为：，将直线方程代入圆的方程，得到，设，则有，因为，所以，所以，整理得，即，求得，所以圆的方程为：，故选：C.6．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直线，，可得，，所以当的面积，令，所以，所以当，即时，取得最小值．故选：C7．已知圆，为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，则点到原点的距离的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆，化为标准方程为：圆是以为圆心，1为半径的圆为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，当且仅当为圆的切线时，取等号此时，，故选：．8．在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是（）A． B． C．， D．，【答案】C【解析】由题意，直线可化为，令，解得，所以直线经过定点，由是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，所以的圆心为，点的坐标分别为，上存在点，使，则点在以原点为圆心，为半径的圆上，若两圆外切，则，解得；若两圆内切，则，解得，所以，即正数的取值范围是故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是（）A．曲线W与x轴围成的面积等于；B．曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C．所在圆的方程为：；D．与的公切线方程为：.【答案】BCD【解析】如图所示：连接，过点作轴于，轴于.则面积，故错误；曲线W上有5个整点，故正确；所在圆圆心为，半径为，故圆的方程为：，正确；设与的公切线方程为：，根据图像知，则，解得，，即，正确；故选：.10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（）A．圆M上点到直线的最小距离为2B．圆M上点到直线的最大距离为3C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是【答案】ACD【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，所以线段BC的垂直平分线的斜率，所以线段BC的垂直平分线的方程为即，又圆M：的圆心为，半径为，所以点到直线的距离为，所以圆M：，对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.故选：ACD.11．下列说法错误的是A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD【解析】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误，对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确，对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误，对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，故选：ACD．12．若将直线向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线与圆相切，则c的值为（）A．14 B．14 C．6 D．6【答案】AD【解析】将直线即向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，平移后的直线方程为，即.由直线与圆相切，得，即，所以或.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若光线由点射到x轴上，反射后过点，则反射光线所在直线方程是______.【答案】【解析】解：关于x轴的对称点在反射光线上，所以，整理得，，故答案为:.14．已知P是直线l:上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.【答案】2【解析】由题意得：圆的方程为：∴圆心为，半径为2，又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：215．对任意的实数，直线被圆截得的最短弦长为____________【答案】【解析】由直线可得，故直线过定点，由圆C：，可得：，圆心，半径,由圆的性质知，当直线与垂直时，直线所截得弦长最短，设圆心到直线的距离为，弦长为，因为，所以，解得，故答案为：16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．【答案】【解析】设点，如图连接交于，由矩形可知为的中点，，连接，在直角中，，则即，整理得，所以顶点的轨迹方程是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；（2）求过点M的圆O1的切线方程.【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.【解析】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2，若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=，又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，则有d=，解得；（2）根据题意，分2种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.18．已知直线：和：的交点为.（1）若直线经过点且与直线：平行，求直线的方程；（2）若直线经过点且与轴，轴分别交于，两点，为线段的中点，求的面积（其中为坐标原点）.【答案】（1）；（2）.【解析】1）由，求得，可得直线：和：的交点为.由于直线的斜率为，故过点且与直线平行的直线的方程为，即.（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，由于直线与轴，轴分别交于，两点，且为线段的中点，故，，且点的坐标满足直线的方程，∴，且，求得.则故的面积为.19．已知圆C过点，圆心在直线上.（1）若圆C被直线截得的弦长为，求圆C的方程；（2）当圆C面积最小时，求圆C的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵圆心在直线上，∴，即圆心.又圆C过点，故它的半径为,且圆心C到直线的距离为.若圆C被直线截得的弦长为，则，求得，故圆心、半径，故圆C的方程为.（2）由于圆C的半径为，故当半径最小时，圆的面积最小，故当时，圆的面积最小.此时，圆心，半径为，圆的方程为.20．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．（1）若，求点坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）或；（2）或；（3）【解析】试题分析：解：（Ⅰ）由条件可知，设，则解得或，所以或(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，则，解得或所以直线的方程为或（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，其方程为整理得与相减得即由得所以两圆的公共弦过定点21．在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，.边分别在轴.轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使点落在线段上。（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；（2）当时，求折痕长的最大值；（3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1)①当时,此时点与点重合,折痕所在的直线方程②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为折痕所在的直线方程，即由①②得折痕所在的直线方程为：（2）当时，折痕的长为2;当时，折痕直线交于点，交轴于∵∴折痕长度的最大值为。而,故折痕长度的最大值为（3）当时，折痕直线