第02讲用样本估计总体（分层精练）

第02讲用样本估计总体A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·四川成都·高二校考阶段练习）国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：4，5，5，6，7，7，7，9，9，10.则这组数据第70百分位数为（

）A．7 B．8 C．8.5 D．9【答案】B【详解】将10次成绩按照从小到的顺序排列为：4，5，5，6，7，7，7，9，9，10.又因为，所以这组数据第70百分位数为：.故选：B.2．（2023秋·云南红河·高一校考开学考试）空气质量指数简称，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为，这一时段整点空气质量指数的众数是（

）A．69 B．70 C．71 D．72【答案】B【详解】将数据按由小到大排序得：，显然数据70出现次数最多，所以空气质量指数的众数是70.故选：B.3．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）样本中共有5个个体，其值分别为.若该样本的平均数为3，则的平均数为（

）A．1 B．3 C．9 D．10【答案】D【详解】由题意得，故，则.故选：D4．（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知样本、、、的平均数是，则值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】依题意可得，解得.故选：C5．（2023秋·湖北·高二荆州中学校考阶段练习）一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则该组数据的方差是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【详解】由题意该组数据共7个数，，故第60百分位数为从小到大第5个数，又众数为4，故，故该组数据的平均数为，故该组数据的方差是.故选：B6．（2023秋·云南昆明·高三统考期中）已知甲、乙两个班的学生人数分别为45人和55人，在某次考试中，甲、乙两个班的数学平均分分别为110分和90分，则这两个班全体学生的平均分为（

）A．98分 B．99分 C．100分 D．101分【答案】B【详解】甲班有45人，平均分为110分，乙班55人，平均分为90分．所以这两个班全体学生的平均分为分，故选：B.7．（2023秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（

）次数123456甲同学成绩/分135104108136136116乙同学成绩/分116124123120121132A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度【答案】C【详解】对于选项A，甲同学成绩的极差为，乙同学成绩的极差为，所以甲同学成绩的极差高于乙同学成绩的极差，所以A错误；对于选项B，甲同学的平均成绩为，乙同学的平均成绩为，所以甲同学的平均成绩低于乙同学的平均成绩，所以B错误；对于选项C，甲同学成绩的众数为，乙同学成绩的中位数为，所以C正确；对于选项D，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以D错误．故选：C．8．（2023秋·安徽六安·高二六安市裕安区新安中学校考阶段练习）2023年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：年级抽查人数平均时间方差高一40504高二60406则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（

）A．52 B．29.2 C．10 D．6.4【答案】B【详解】由题意估计高一高二日阅读时间的平均数为，方差为.故选：B．二、多选题9．（2023秋·黑龙江大庆·高二大庆中学校考阶段练习）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（

）A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是9 D．极差是3【答案】CD【详解】的平均数是，中位数是，方差是，极差是．故选：CD10．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一．在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示．则（

）

A．2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增B．2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201C．这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828D．这10年的人均国内生产总值的平均数不小于59592【答案】ABD【详解】由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确．2013年至2022年人均国内生产总值的极差为，B正确．因为，所以这10年的人均国内生产总值的分位数是，C不正确．由图中数据分析可知，这10年的人均国内生产总值的平均数为，D正确．故选：ABD.三、填空题11．（2023秋·四川成都·高二校考阶段练习）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为．【答案】【详解】解：由题意，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，∴众数为.故答案为：.12．（2023秋·高一单元测试）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：甲47109568688乙7868678759试问10次射靶的情况较稳定的是．【答案】乙【详解】；.，乙较稳定．故答案为：乙.四、解答题13．（2023秋·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的值；(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．【答案】(1)(2)，【详解】（1）由题意知：，即．（2）由频率分布直方图可知：平均数为：前3组的频率为，所以中位数为．14．（2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求出的值；(2)求出这200人年龄的众数和样本平均数；(3)现从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取24人，则每组抽到的人数分别是多少？【答案】(1)(2)众数为，平均数为(3)抽取4人，抽取人，抽取人.【详解】（1）由直方图可得，解得.（2）由直方图可得众数为，平均数为.（3）由题意从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取的比例为，即，故第1组抽取人，第2组，抽取人，第3组，抽取人.B能力提升1．（2023秋·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标.如图是某地8月1日至日的日均值（单位：）变化的折线图，下列关于日均值说法正确的是（

）

A．这天日均值的百分位数为B．前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差C．前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差D．这天的日均值的中位数为【答案】B【详解】解：对于A，将天中的日均值按从小到大排列为，，，，，，，，，，根据百分位数的定义可得，这天中日均值的百分位数是，故选A错误；对于B，前4天的日均值的极差为，后4天的日均值的极差为，故选项B正确；对于C，由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日均值的方差，故选项C错误；对于D，这天中日均值的中位数为，故选项D错误.故选：B.2．（2023秋·湖北恩施·高二校联考阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变C．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60D．数据的方差为，则数据的方差为【答案】C【详解】对于A，直方图大体如下图：

由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，故A选线错误；对于B，设这组数据为，则平均数为，方差为，则减后，平均数为，方差为，所以是平均数改变，方差不变，故B选项错误；对于C，由题意，可知平均数为，所以总和，故C选项正确；对于D，设数据的平均数为，则有，方差为，设数据的平均数为，则，方差为，故D选项错误.故选：C.3．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）现有一组数据：，共项，（是这一组数据的第项），有以下结论：①这组数据的极差为；②这组数据的中位数为；③这组数据的平均数为；④.其中正确结论的个数为.（参考公式：）【答案】【详解】设，其中，则，其中数列的项数为，因为，所以，这组数据的最大数为，最小数为，在这组数据中，共有个，个，个，，个，个，对于①，这组数据的极差为，①对；对于②，因为，，则，所以，这组数据的中位数为，②对；对于③，这组数据平均数为，③错；对于④，，④对.故①②④对，③错，即正确命题的个数为.故答案为：.4．（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）为了解某市家庭用电量情况，统计人员调查了100户居民过去一年的月均用电量，发现月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．

(1)求的值，并估计该市居民用电量的平均值；（同一组中数据用该组区间的中点值作为代表）(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档．请确定各档的范围（结果四舍五人取整数）．【答案】(1)，平均值为(2)第一档的范围是，第二