2024-2025学年新教材高中数学第11章解三角形11.2正弦定理课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价十六正弦定理(20分钟35分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=105°,B=45°,b=2QUOTE,则c= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.2【解析】选D.由三角形内角和定理得:C=180°-(A+B)=180°-(105°+45°)=30°.由正弦定理得c=QUOTE=QUOTE=2.2.在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cosC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得sinC=QUOTE.因为AB<AC,所以C<B,所以cosC=QUOTE=QUOTE.3.已知在△ABC中,b=4QUOTE,c=2,C=30°,那么解此三角形可得 ()A.一解 B.两解C.无解 D.解的个数不确定【解析】选C.由正弦定理得sinB=QUOTE·sinC=QUOTE×QUOTE=QUOTE>1,故三角形无解.4.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于________.

【解析】由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为0°<C<180°,所以C=60°或120°,所以A=90°或30°,所以S△ABC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE5.(2024·北京高一检测)△ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,BD=2QUOTE,则CD=________;sin∠ABD=________.

【解析】如图所示,在等边△ABC中,AD=3CD,所以AC=2CD.又BD=2QUOTE,所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即(2QUOTE)2=(2CD)2+CD2-2·2CD·CD·cos120°,解得CD=2(负值舍去),所以AD=6,由QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,解得sin∠ABD=QUOTE.答案:2QUOTE6.(2024·合肥高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满意QUOTE=-QUOTE.(1)求角A的大小;(2)若a=4QUOTE,b=4,求△ABC的面积.【解析】(1)由正弦定理的边化角公式可得QUOTE=-QUOTE,因为B∈(0,π),所以sinB≠0,即2cosA=-1,cosA=-QUOTE,因为A∈(0,π),所以A=QUOTE.(2)由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为B∈QUOTE,所以B=QUOTE,即C=π-QUOTE=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×4QUOTE×4×QUOTE=4QUOTE.【补偿训练】(2024·南京高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,a),n=(1,sinB).(1)当m·n=2sinA时,求b的值;(2)当m∥n且cosC=QUOTEa时,求tanA·tanB的值.【解析】(1)由题意得m·n=sinA+asinB=2sinA,即QUOTE=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,由以上两式可知b=1.(2)由平行条件得a=sinA·sinB,cosC=-cosQUOTE=sinAsinB-cosAcosB=QUOTEa,则可得到cosAcosB=QUOTEa,所以tanAtanB=QUOTE=2.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·辽源高一检测)在△ABC中a=2QUOTE,b=2QUOTE,B=45°,则A等于 ()A.30°或150° B.60°C.60°或120° D.30°【解析】选C.依据正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE.故可得A为60°或120°;又a>b,则A>B,明显两个结果都满意题意.2.在△ABC中,若3b=2QUOTEasinB,cosA=cosC,则△ABC的形态为 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理知b=2R·sinB,a=2R·sinA,则3b=2QUOTEa·sinB可化为:3sinB=2QUOTEsinA·sinB.因为0°<B<180°,所以sinB≠0,所以sinA=QUOTE,所以A=60°或120°,又cosA=cosC,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的状况是 ()A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定【解析】选C.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE>1,因此该三角形无解.【补偿训练】有分别满意下列条件的两个三角形:①B=30°,a=14,b=7;②B=60°,a=10,b=9,那么下列推断正确的是 ()A.①②都只有一解 B.①②都有两解C.①两解,②一解 D.①一解,②两解【解析】选D.①因为B=30°,a=14,b=7,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinA=QUOTE=1,所以A=90°,可得三角形只有一解;②因为B=60°,a=10,b=9,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE.因为B=60°,a>b,A∈(0°,180°),所以角A有两个值满意sinA=QUOTE,一个是锐角,另一个是钝角,并且这两个值互补,因此三角形有两解.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(QUOTE,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小为 ()A.QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE D.QUOTE,QUOTE【解析】选C.因为m⊥n,所以QUOTEcosA-sinA=0,所以tanA=QUOTE,则A=QUOTE.由正弦定理得:sinAcosB+sinBcosA=sin2C所以sin(A+B)=sin2C,所以sinC=sin2因为0<C<π,sinC≠0,所以sinC=1,所以C=QUOTE,所以B=QUOTE.【误区警示】留意两个向量垂直时的条件,不要与两向量平行混淆.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,下列说法正确的有 ()A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中,若A>B,则sinA>sinBC.在△ABC中,若QUOTE=QUOTE,且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则A=120°D.在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2【解析】选ABD.对于A,由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,所以A正确;对于B,当A>B时,a>b,由正弦定理得sinA>sinB,所以B正确;对于C,由(b+c+a)(b+c-a)=3bc得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以A=60°,故C错误;对于D,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA结合正弦定理得,sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,所以D6.(2024·石家庄高一检测)在三角形ABC中,下列说法正确的有 ()A.若A=30°,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0<tanA·tanB<1,则△ABC肯定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC肯定是等边三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,则△ABC的形态是等腰或直角三角形【解析】选BCD.因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,因为b<a,所以B只有一个解,故A错误.由0<tanA·tanB<1,得0<QUOTE<1,所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<QUOTE,所以C=π-A-B>QUOTE,故△ABC肯定是钝角三角形,故B正确.因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确.因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=QUOTE或A=B,所以△ABC的形态是等腰或直角三角形.【光速解题】A选项,因为b<a,所以A=30°>B,有唯一解,故错误;B选项,tanA·tanB=1时有A+B=QUOTE,0<tanA·tanB<1时有A+B<QUOTE,故正确;C选项,因为三角形的内角A肯定满意-1<cosA<1,故三式相乘等于1说明各项均为1,故正确;D选项代入验证成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·沈阳高一检测)在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=QUOTE,则三角形外接圆的半径为________.

【解题指南】三角形面积公式选用时通常以角为准,同时明确正弦定理应当完整记忆,即QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R.【解析】在△ABC中,因为b=2,A=120°,三角形的面积S=QUOTE=QUOTEbc·sinA=c·QUOTE,所以c=2=b,故B=C=QUOTE(180°-A)=30°,再由正弦定理可得QUOTE=2R=QUOTE=4,所以三角形外接圆的半径R=2.答案:2【补偿训练】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=QUOTE,b=(4+2QUOTE)acosB,且b=1,则B=________;△ABC的面积为________.

【解析】依题意A=QUOTE,b=(4+2QUOTE)acosB,由正弦定理得sinB=(4+2QUOTE)sinQUOTEcosB,解得tanB=2+QUOTE,而tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE,而B∈(0,π),所以B=QUOTE+QUOTE=QUOTEπ,则C=π-QUOTE-QUOTE=QUOTE=B,所以c=b=1,所以S=QUOTEcbsinA=QUOTE×1×1×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.(2024·北京高一检测)在△ABC中,AB=4QUOTE,∠B=QUOTE,点D在边BC上,∠ADC=QUOTE,CD=2,则AD=________;△ACD的面积为________.

【解析】因为∠ADC=QUOTE,所以∠ADB=QUOTE,在△ABD中由正弦定理得QUOTE=QUOTE,AD=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.在△ACD中S△ACD=QUOTEAD×DCsin∠CDA=QUOTE×4QUOTE×2×QUOTE=2QUOTE.答案:4QUOTE2QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.某海轮以30海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,求P,C间的距离.【解析】在△ABP中,AB=30×QUOTE=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得BP=20QUOTE.在△BPC中,BC=30×QUOTE=40,由题意知∠PBC=90°,所以PC=QUOTE=QUOTE=20QUOTE(海里).所以P,C间的距离为20QUOTE海里.10.(2024·江苏高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=QUOTE,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-QUOTE,求tan∠DAC的值.【解析】(1)由余弦定理,得cosB=cos45°=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因此b2=5,即b=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,因此sinC=QUOTE.(2)因为cos∠ADC=-QUOTE,所以sin∠ADC=QUOTE=QUOTE,因为∠ADC∈QUOTE,所以C∈QUOTE,所以cosC=QUOTE=QUOTE,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC=QUOTE,因为∠DAC∈QUOTE,所以cos∠DAC=QUOTE=QUOTE,故tan∠DAC=QUOTE=QUOTE.1.我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为________.若a2sinC=2sinA,(a+c)2=4+2QUOTE+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.

【解析】由余弦定理得cosB=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTEac·QUOTE=QUOTE.因为a2sinC=2sinA,所以a2c=2a又因为(