2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(15分钟35分)1.正方体的表面积为96,则正方体的体积是 ()A.48QUOTE B.64 C.16 D.96【解析】选B.设正方体棱长为a则6a2=96,a=4,V正方体=a3=64.2.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是 ()A.6QUOTE B.3QUOTE C.11 D.12【解析】选A.设长方体长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=6QUOTE.3.正四棱柱的底面积为P,过相对侧棱截面的面积为Q,则它的体积是 ()A.QUOTEQ B.QUOTEQ C.QUOTEQ D.QUOTEQ【解析】选D.设正四棱柱的底面边长、高分别为a、h,则P=a2,Q=QUOTEah.所以V=a2h=a·ah=QUOTE·QUOTE=QUOTEQ.4.已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为QUOTE,那么它的体积为 ()A.6QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2【解析】选B.因为正六棱锥的高h=QUOTE=2,所以V=QUOTESh=QUOTE×6×QUOTE×2=QUOTE.5.已知正四棱台两底面边长分别为4cm,8cm,侧棱长为8cm,则它的侧面积为.

【解析】作出正四棱台的一个侧面如图,设E,F分别为AD,BC的中点,过D作DG⊥BC于点G.由题知AD=4cm,BC=8cm,CD=8cm,得DE=2cm,FC=4cm,则GC=2cm,在Rt△DGC中,DG=QUOTE=2QUOTE(cm),即斜高为2QUOTEcm,所以所求侧面积为4×QUOTE×(4+8)×2QUOTE=48QUOTE(cm2).答案:48QUOTE6.如图,棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高.若VM=4cm,AB=4cm,VC=5cm,求锥体的体积.【解析】因为VM是棱锥的高,所以VM⊥MC.在Rt△VMC中,MC=QUOTE=QUOTE=3(cm),所以AC=2MC=6(cm).在Rt△ABC中,BC=QUOTE=QUOTE=2QUOTE(cm).S底=AB·BC=4×2QUOTE=8QUOTE(cm2),所以V锥=QUOTES底h=QUOTE×8QUOTE×4=QUOTE(cm3).所以棱锥的体积为QUOTEcm3.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共10分)1.(2024·淮安高一检测)已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为QUOTE,则该正四棱锥的全面积为 ()A.8 B.12 C.16 D.20【解析】选B.如图,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,高OP=QUOTE,底面边长AB=2.过O作OG⊥BC,垂足为G,连接PG,则斜高PG=QUOTE=2.所以正四棱锥的全面积是S=2×2+4×QUOTE×2×2=12.2.(2024·深圳高一检测)将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.将正方体ABCD-A′B′C′D′截去四个角后得到一个四面体BDA′C′,设正方体边长为a,则VB-B′A′C′=VA′-ABD=VD-A′C′D′=VC′-BCD=QUOTE×QUOTE×a×a×a=QUOTE.所以四面体BDA′C′的体积:V=V正方体-4VB-B′A′C′=a3-QUOTE=QUOTE.所以这个四面体的体积是原正方体体积的QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)3.(2024·武汉高一检测)三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的侧面绽开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积可能为 ()A.QUOTE B.4QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AB.因为正三棱柱的侧面绽开图是边长分别为6和4的矩形,所以有以下两种状况,①6是下底面的周长,4是三棱柱的高,此时,下底面的边长为2,面积为QUOTE×22=QUOTE,所以三棱柱的体积为4×QUOTE=4QUOTE.②4是下底面的周长,6是三棱柱的高,此时,下底面的边长为QUOTE.面积为QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以三棱柱的体积为QUOTE×6=QUOTE.4.如图,在透亮塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1A.有水的部分始终呈棱台状B.水面四边形EFGH的面积不变更C.有水的部分始终呈棱柱状D.当E∈AA1时,AE+BF是定值【解析】选CD.从棱柱的特征平面AA1B1B平行于平面CC1D1D即可推断A错误,C正确;在B中,水面四边形EFGH中的EF是可以变更的,EH是不变的,所以面积是变更的,故B不正确;在D中,当E在棱AA1上时,AE+BF是定值.水的体积是定值,高不变,所以底面面积不变,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.正四棱台的高是12cm,两底面边长相差10cm,全面积是512cm2,则上底面的边长是,下底面的边长是.

【解析】如图所示,设正四棱台的上底面边长为A1B1=acm,则AB=(a+10)cm,高OO1=12cm,所以斜高EE1=QUOTE=QUOTE=13cm.所以a2+(a+10)2+QUOTE×4×(2a+10)×13=512.解得a=2(负值舍去),所以下底面边长为a+10=12cm.答案:2cm12cm6.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.

【解析】因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S梯形EFCB×3=QUOTES△ABC×3=QUOTES△ABC.设甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=QUOTES△ABC,解得h=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题7.(10分)已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱柱的侧面积为120cm2.(1)求正三棱柱的高.(2)求棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比.【解析】(1)如图,设正三棱柱高为h,底面边长为x,则QUOTE