2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.1.2离散型随机变量的分布列作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次章2.12.1.2【基础练习】1.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ia，i＝1,2,3，则a的值为()A.1B.eq\f(9,13)C.eq\f(11,13)D.eq\f(27,13)【答案】D2.(2024年赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为()【答案】C3．(2024年晋城期末)设离散型随机变量ξ的概率分布列为ξ－10123Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(2,5)则下列各式成立的是()A．P(ξ＜3)＝eq\f(2,5) B．P(ξ＞1)＝eq\f(4,5)C．P(2＜ξ＜4)＝eq\f(2,5) D．P(ξ＜0.5)＝0【答案】C4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，假如P(X<4)＝0.3，则n＝()A．9 B．10C．11 D．12【答案】B5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k＋1)，k＝0,1,2,3，则c＝________.【答案】eq\f(12,25)6．若将一枚质地匀称的骰子先后抛掷两次，记出现向上的点数之差的肯定值为ξ，则随机变量ξ的分布列为____________．【答案】ξ012345Peq\f(1,6)eq\f(5,18)eq\f(2,9)eq\f(1,6)eq\f(1,9)eq\f(1,18)7．(2024年襄阳期末)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量/件0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天起先营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为其次天起先营业时该商品的件数，求X的分布列．【解析】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由题意知X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PX＝3＝1－PX＝2＝1－\f(1,4)＝\f(3,4)))所以X的分布列为X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)8.(2024年辽宁期末)袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中随意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9).（1）求白球的个数；（2）从袋中随意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【解析】(1)设白球的个数为x，则黑球的个数为10-x.从10个球中随意摸出2个球的状况有C102=45种,其中，至少有1个白球的状况有C102-C10-x2=45-eq\f(1,2)(10-x)(9-x)种.所以至少得到1个白球的概率是eq\f(45-eq\f(1,2)(10-x)(9-x),45)=eq\f(7,9)，解得x=5，即白球有5个.(2)袋中有10个球(含5个白球)，从中随意摸出3个球，得到白球的个数为X,则X听从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=k)=eq\f(C5kC53-k,C103),k=0，1，2，3.则P(X=0)=eq\f(C50C53,C103)=eq\f(1,12)，P(X=1)=eq\f(C51C52,C103)=eq\f(5,12)，P(X=2)=eq\f(C52C51,C103)=eq\f(5,12)，P(X=3)=eq\f(C53C50,C103)=eq\f(1,12).于是X的分布列为X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)【实力提升】9．袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)等于()A.eq\f(3,35)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,35)D.eq\f(13,35)【答案】D【解析】P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).故选D.10．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)【答案】B【解析】由题意得P(ξ＞x2)＝β，P(ξ＜x1)＝α，P(x1≤ξ≤x2)＝1－[P(ξ＞x2)＋P(ξ＜x1)]＝1－(α＋β)．11．随机变量ξ的分布列为P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值为______．【答案】eq\f(5,6)【解析】∵P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,8)＋eq\f(5,24)＝eq\f(5,6).12.(2024年江苏节选)在平面直角坐标系xOy中，设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，Bn={(0,1),(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}，n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．当n=1时，求X的分布列.【解析】当n=1时，A1={(0,0),(1,0)},B1={(0,1),(1,1)},C1={(0,2),(1,2)}，则Mn中有6个点,从中任取两个不同的点，有C62=15种取法.如图所示，D0D1=E0E1=F0F1=D0E0=E0F0=D1E1=E1F1=1，D0E1=D1E0=E0F1=E1F0=eq\r(2)，D0F0=D1F1=2,D0F1=D1F0=eq\r(5)，所以X的全部可能取值为1,eq\r(2),2,eq\r(5)，P(X=1)=