2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE课时分层作业十九两条直线的交点一、选择题(每小题5分，共30分)1.若直线(a+1)x-y+1-2a=0与(a2-1)x+(a-1)y-15=0没有交点，则实数a的值等于 ()A.1或-1 B.1 C.-1 D.不存在【解析】选C.由已知，两直线没有交点，则它们平行，明显两直线斜率存在，所以a+1=-QUOTE，解得a=±1，经检验，当a=1时两直线不平行，舍去，所以a=-1.2.点M(1，2)与直线l：2x-4y+3=0的位置关系是 ()A.M∈l B.M∉lC.重合 D.不确定【解析】选B.将点M的坐标代入直线方程，即1×2-4×2+3≠0，所以点M不在直线l上.3.在下列直线中，与直线x+3y-4=0相交的直线为 ()A.x+3y=0 B.y=-QUOTEx-12C.QUOTE+QUOTE=1 D.y=-QUOTEx+4【解析】选C.QUOTE+QUOTE=1可化为3x+2y-6=0.4.直线l1：x+y+1=0与直线l2：x-y-1=0的交点个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.多数个【解析】选B.由已知，两直线不平行，也不重合，所以相交，有一个交点.5.若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值为()A.-2 B.-QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选B.由QUOTE得QUOTE代入x+ky=0得k=-QUOTE.6.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是 ()A.x+2y+3=0 B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0 D.x-2y-1=0【解析】选D.y=2x+1与y=x交点为(-1，-1)，又取入射光线上一点(0，1)，该点关于y=x的对称点为(1，0)，反射光线过点(-1，-1)和(1，0)，直线方程为y=QUOTE(x-1)，即x-2y-1=0.二、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·南川高二检测)直线x+y-2=0与x-y=0的交点坐标为_________.

【解析】联立x+y-2=0与x-y=0，解得x=1，y=1，所以交点坐标为(1，1).答案：(1，1)8.直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，则a的值为.

【解析】首先联立QUOTE得交点坐标为(4，-2)，代入方程ax+2y+8=0得a=-1.答案：-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2024·北京高二检测)已知两条直线l1：3x+4y-2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：(1)过点P且过原点的直线方程.(2)过点P且垂直于直线l3：x+2y-1=0的直线l的方程.【解析】(1)由QUOTE解得QUOTE所以P(-2，2)，过点P且过原点的直线斜率为-1，方程为y=-x，即x+y=0.(2)直线l3：x+2y-1=0的斜率为-QUOTE，所以垂直于直线l3：x+2y-1=0的直线l的斜率k=2，所以直线l的方程为y-2=2(x+2)，即2x-y+6=0.10.求经过直线l1：3x+2y-1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x-5y+6=0的直线l的方程.【解析】解方程组QUOTE得l1，l2的交点坐标为(-1，2)，再由l3的斜率为QUOTE求出l的斜率为-QUOTE，于是由直线的点斜式方程求出l：y-2=-QUOTE(x+1)，即5x+3y-1=0.【一题多解1】由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1，l2的交点(-1，2)，故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.【一题多解2】由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率-QUOTE=-QUOTE，解得λ=QUOTE，代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2024·南昌高二检测)若{(x，y)|ax+2y-1=0}∩{(x，y)|x+(a-1)y+1=0}=⌀，则a等于 ()A.QUOTE B.2 C.-1 D.2或-1【解题指南】两集合交集为空集，转化为两直线没有交点，转化为两直线平行.【解析】选B.由已知，两直线ax+2y-1=0和x+(a-1)y+1=0平行，所以-QUOTE=-QUOTE，所以a=-1或2.若a=-1，直线重合，不符合题意.所以a=2.2.两条直线l1：2x+y-1=0和l2：x-2y+4=0的交点为 ()A.QUOTE，QUOTE B.-QUOTE，QUOTEC.QUOTE，-QUOTE D.-QUOTE，-QUOTE【解析】选B.解方程组QUOTE得QUOTE所以两直线的交点为-QUOTE，QUOTE.【补偿训练】已知直线l1：2x+y-10=0，l2⊥l1，且l2过(-10，0)，则l1与l2的交点坐标为 ()A.(6，2) B.(2，-6)C.(-6，2) D.(2，6)【解析】选D.因为QUOTE=-2，l2⊥l1，所以QUOTE=QUOTE.又l2过(-10，0)，所以l2：x-2y+10=0.由QUOTE得QUOTE3.(2024·佛山高二检测)直线2x-3y+2=0关于x轴对称的直线方程为()A.2x+3y+2=0 B.2x+3y-2=0C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0【解析】选A.直线2x-3y+2=0与x轴即y=0交点为(-1，0)，直线2x-3y+2=0斜率为QUOTE，所以所求直线斜率为-QUOTE，又过点(-1，0)，所以所求直线方程为y=-QUOTE(x+1)，即2x+3y+2=0.4.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 ()A.-6<k<-2 B.-5<k<-3C.k<-6 D.k>-2【解析】选A.解方程组QUOTE得QUOTE由直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，得k+6>0且k+2<0，解得-6<k<-2.【补偿训练】若直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于M、N两点，且MN的中点是P(1，-1)，则直线l的斜率等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设l与y=1交于点M(m，1)，与x-y-7=0交于点N(n+7，n).由中点坐标公式得QUOTE即M(-2，1)，又P(1，-1)所以kPM=kl=-QUOTE.5.若直线l：y=kx-QUOTE与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ()A.QUOTE，QUOTE B.QUOTE，QUOTE C.QUOTE，QUOTE D.QUOTE，QUOTE【解题指南】可先分析直线l：y=kx-QUOTE过哪个定点，再利用直线l：y=kx-QUOTE与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限这一条件求出直线l的斜率的取值范围.【解析】选B.因为直线l：y=kx-QUOTE过定点(0，-QUOTE)，直线2x+3y-6=0与坐标轴的交点为A(3，0)，B(0，2)，若l与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则k>QUOTE=QUOTE，因此，直线的倾斜角的取值范围为QUOTE<α<QUOTE.【补偿训练】(2014·锦州模拟)当0<k<QUOTE时，直线l1：kx-y=k-1与直线l2：ky-x=2k的交点在第象限.

【解析】l1与l2的直线方程联立得QUOTE解方程得QUOTE又因为0<k<QUOTE，所以x=QUOTE<0，y=QUOTE>0，故l1与l2的交点在其次象限.答案：二二、填空题(每小题5分，共20分)6.(2024·上海高二检测)若关于x，y的方程组QUOTE无解，则a=_________.

【解析】两个方程相减得(a-1)x=-1，由于方程组无解，所以a-1=0，即a=1.答案：17.直线kx-y+1=3k，当k改变时，全部直线都通过定点.

【解析】由题意可知k(x-3)-y+1=0由QUOTE得QUOTE故全部直线都通过定点(3，1).答案：(3，1)【补偿训练】不论m取什么实数，直线mx+y-m=0都过定点.

【解析】由题意可知m(x-1)+y=0.由QUOTE可知QUOTE故不论m取什么实数，直线mx+y-m=0都过定点(1，0).答案：(1，0)8.若直线y=kx+3与直线y=QUOTEx-5的交点在直线y=x上，则k的值为_________.

【解题指南】首先解方程，再用k表示出两条直线的交点坐标，然后依据此点在直线y=x上列方程组求出k的值.【解析】由QUOTE得x=y=QUOTE.将点QUOTE代入y=kx+3，得QUOTE=QUOTE+3，解得k=QUOTE.答案：QUOTE9.(2024·常熟高二检测)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程为__________________.

【解析】由QUOTE得交点A(1，1).方法一：x-2y+1=0与x轴交点B(-1，0)，则B关于x=1的对称点B′的坐标为(3，0)，由两点A，B′得：QUOTE=QUOTE，即x+2y-3=0.方法二：由x-2y+1=0的斜率QUOTE，得对称直线的斜率为-QUOTE.由点斜式得y-1=-QUOTE(x-1)，即x+2y-3=0.答案：x+2y-3=0三、解答题(每小题10分，共30分)10.直线l被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1，2)，求直线l的方程.【解析】设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(-2-x0，4-y0)，并且满意QUOTE即QUOTE解得QUOTE因此直线l的方程为QUOTE=QUOTE，即3x+y+1=0.【一题多解】设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.由QUOTE得x=QUOTE.由QUOTE得x=QUOTE.则QUOTE+QUOTE=-2，解得k=-3.因此直线l的方程为y-2=-3(x+1)，即3x+y+1=0.11.(2024·重庆高二检测)已知两直线l1：x+y-2=0和l2：2x-y+5=0的交点为P.(1)求经过点P和点Q(3，2)的直线的方程.(2)求经过点P且与l2垂直的直线的方程.【解析】(1)由QUOTE得P(-1，3)，kPQ=QUOTE=-QUOTE，y-2=-QUOTE(x-3)，x+4y-11=0，(2)由垂直条件知斜率k=-QUOTE，y-3=-QUOTE(x+1)，直线方程为x+2y-5=0.12.已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(-2，-3)，E(3，1)，F(-1，2).先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标.【解析】如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C.由已知得，直线DE的斜率kDE=QUOTE=QUOTE，所以kAB=QUOTE.因为直线AB过点F，所以直线AB的方程为y-2=QUOTE(x+1)，即4x-5y+14=0.①同理由于直线AC经过点E(3，1)，且平行于DF，可得直线AC的方程5x-y-14=0.②联立①②，解得点A的坐标是(4，6).同样，可以求得点B，C的坐标分别是(-6，-2)，(2，-4).因此，△ABC的三个顶点是A(4，6)，B(-6，-2)，C(2，-4).【拓展训练】求经过两条直线l1：2x+y-8=0和l2：x-2y+1=0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为QUOTE的直线l的方程.【解题指南】可先求出直线l1和l2的交点坐标，然后设出直线l的截距式方程或点斜式方程求解；也可以不求交点，设出过直线l1和l2的直线系方程求解.【解析】由QUOTE得交点M(3，2)，由题意可知直线在x轴、y轴上的截距存在且全不为零，故可设直线l的方程为QUOTE+QUOTE=1(ab≠0).由题意，得QUOTE所以QUOTE(无解，舍去)或QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以直线l的方程为QUOTE+QUOTE=1或QUOTE+QUOTE=1，即x-y-1=