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高等数学（第二版）一、自变量趋向于无穷大时函数的极限函数的极限极限与连续二、自变量趋向于有限值时函数的极限所谓自变量趋向于无穷大有下面三种情形：一、自变量趋向于无穷大时函数的极限（1）取正值且无限增大，记为；（2）取负值而无限增大，记为；（3）既可取正值，也可取负值而无限增大，记为。定义1若当的绝对值无限无限增大时，函数无限接近于一个确定常数，则称是当时函数的极限，记为或定义2设函数在上有定义，若对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正整数，使得适合不等式的所有，对应的函数值都满足则常数就称为当时的极限。上述定义的几何意义是：对于无论多么小的正数，总能找到正数，当或时，曲线介于两条水平直线和之间。

在的定义中，将换成可以得到

的定义；若将换成就可以得到的定义。例1用定义验证。证：当时，函数有定义。对于任意给定的正数，要使，只要，可取，当时，有成立，从而例2讨论当时,函数的极限。从图中，我们可以看到：解：所以,当时，函数值不趋向于一个确定的常数，故时，函数的极限不存在。二、自变量趋向于有限值时函数的极限我们先来观察当趋向于1时，函数的变化趋势。函数在点处没有定义，但当时，

。从的图形看出，当时，函数值无限接近于2。定义3设函数在的某去心邻域内有定义，若当无限接近于时，对应函数值无限接近于某个确定的常数，则称是当时函数的极限，记为或（当时）这里值得注意的是：当时，以为极限与

在处是否有定义无关。当无限接近于时，

无限接近于的意思是：当与充分靠近，即当充分小时，可以小于预先给定的任意正数（无论该正数多么小）。定义4设函数在的某去心邻域内有定义，若对于任意给定的正数，总存在正数，使得当

时，恒有不等式成立，则称是当时函数的极限。此定义的几何意义是：对于任意给定的正数，无论其多么小，总存在点的某个去心邻域，使得函数在这个去心邻域内的图形介于两条水平直线

和之间。如下图性质1性质2（其中为常数）。在的定义中，可以以任意方式趋向。有时，可以只考虑从的某一侧（左侧：；右侧：）趋于时的变化趋势。为明确起见，引进函数的左极限与右极限的概念，其定义如下：定义5设函数在的某个左（右）邻域内有定义，当小于（大于）而趋于时，对应的函数值无限接近于某一确定常数，则称常数是当时函数的左（右）极限：左极限记为：

右极限记为：或或根据时函数的极限定义、左极限和右极限的定义，可以得到下面的结论。定理1极限

的充分必要条件是因此，当及都存在，但不相等，或者

与中至少一个不存在时，就可断言

在处极限不存在。先分别求当时的左、右极限：例4设，试判断是否存在。由于左、右极限存在但不相等，所以极限不存在。解：例5判断极限

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