高等数学（第二版）课件：二重积分的定义与性质

高等数学（第二版）一、二重积分的定义二、二重积分的性质二重积分的定义与性质重积分1．曲顶柱体的体积一、二重积分的定义以xOy平面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线L为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面，以D为定义域且取正值的连续函数

表示的是以连续曲面为顶所围的几何体，称为曲顶柱体。下面考虑曲顶柱体的体积V的计算问题。我们知道平顶柱体的底面上各处的高是相同的，所以其体积为高乘以底面积。曲顶柱体的顶是曲面，它在点

处得高度

随点

的位置不同而变化，上面求平顶柱体的体积公式显然不适用。于是我们可以借鉴求曲边梯形面积的方法来计算曲顶柱体的体积。(1)分割

用一组曲线网将区域D分割成n个小闭区域

小区域

的面积记为

。以

的边界曲线为准线，作母线平行于

轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体

，其体积也记作(2)近似(3)求和由于

是连续的，当分割相当细时，曲顶柱体

的高度

变化很小，这时小曲顶柱体可以近似看作平顶柱体。我们在每个小区域

上任取一点

，以

为高而底为

的平顶柱体近似地代替细曲顶柱体，则有把n个平顶柱体体积累加起来，所得之和作为曲顶柱体V的近似值(4)取极限

令n个小区域的直径中的最大值

趋于零，取上述和式的极限，所得的极限即为所求曲顶柱体的体积2．平面薄片的质量设一平面薄片所占

平面上的闭区域为D，它在点

处的面密度

是D上连续的正值函数，现在计算该薄片的质量M。由于密度

是连续变化的，若把薄片分成许多小块后，则在每一小块上的面密度可以近似地看作常数。这样，我们又可用上述方法计算此薄片的质量。用网线将平面区域D划分成n个子闭区域

其面积记作

，在每一子闭区域上任取一点

，以

代替

上各点处的密度，则

这块薄片的质量近似为

，薄片D的质量近似为上面两个例子可以发现，虽然它们的实际背景不同，但是解决问题的方法却是完全一致的，所求的量都归纳为同一形式的和式极限。这样，就抽象出二重积分的定义。3．二重积分的定义定义

设函数

是定义在有界闭区域D上的有界函数。将闭区域任意分成n个小闭区域其中

表示第i个小区域及其面积。在每个小区域

上任取一点

，求和

。如果各小闭区域的直径中的最大值

趋于零时，该和式的极限存在，则称此极限为函数

在闭区域D上的二重积分。记作

，即其中

称为被积函数，

称为被积表达式，

称为面积元素，

称为积分变量（二重积分的值与积分变量用什么字母无关），D称为积分区域，

称为积分和。二重积分的定义中对区域D的划分方式是任意的。在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网划分D，那么除了包含边界点的一些不规则小区域外，其余的都是小矩形闭区域

，边长分别记为

及

，则

。因此，在直角坐标系中有时把面积元素

记作

，故把二重积分

写为

。其中

称作直角

坐标中的面积元素。一般地，若

，则该积分在几何意义就是以区域D为底，以曲面

为顶的曲顶柱体体积。如果

在D的若干部分区域上是正的，我们可以把在

面上方的柱体体积取成正，在

面下方的柱体体积取成负。当

时，柱体在

面的下方，二重积分的值是负的，它的绝对值仍等于柱体的体积。于是，

在D上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。下面的定理给出二重积分存在的一个充分条件。定理

设函数

在有界闭区域上有定义，且连续，则

在该区域上的二重积分一定存在。二、二重积分的性质性质1

（线性性）设

为常数，则性质2

（区域可加性）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域

和

，则性质3

如果在D上，

，

为D的面积，则这就是说，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质4

如果在D上，

，则有特殊地，由于

，则有性质5（估值不等式）

设M，m分别是