高等数学（第二版）课件：导数与微分

高等数学（第二版）一、变速直线运动的速度二、曲线的切线问题第一节导数的概念导数与微分一、变速直线运动的速度设物体沿直线作变速运动，表示经过单位时间后物体所经过的路程。我们研究物体在时的运动速度。当时间由到时，物体在这一段时间内所经过的距离为所以，在时间内的平均速度对于变速运动的物体，尽管在整体上速度时变化的，但对局部而言，速度的变化是很小的。也就是说，当的绝对值很小时，速度在整体上的“变”可以转化为局部的相对的“不变”。且当愈小，近似程度就愈好。当时，平均速度就转化为瞬时速度，即物体运动的速度。表示为（1） 球在时间到这段时间内的平均速度；（2） 球在时间时的速度。解：例1

球在悬崖的顶端往下坠落，在时刻所经过的路程，其中时间的单位为，距离的单位为。求：（1）球在时间间隔内的位移为所以平均速度（2）球在时间间隔内的位移为所以球在时间时的速度为二、曲线的切线问题设曲线的图形（如图所示）。点为曲线上一点，当自变量由变到时，曲线上的点，过点及作曲线的割线，则割线的斜率为当时，点沿曲线无限地趋向定点，从而割线

也随之变动而趋向于极限位置。我们定义直线为曲线在点处的切线，相应地割线的倾角趋向于切线的倾角。即我们舍弃上述两个例子中的物理意义和几何意义，从数学上总结这一求解过程，把它们最终归结为求因变量增量与自变量增量之比的极限，即变化率，这种变化率就叫做函数的导数。一、导数的定义二、可导与连续之间的关系第二节导数导数与微分三、导数的几何意义四、左导数与右导数五、用导数定义求导数六、导数的实际意义一、导数的定义定义1设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有增量时，相应地函数也有增量，如果当时，的极限存在，即存在，则称在可导，且称此极限值为函数在的导数。记作。即也可记为，或。如果上述极限不存在，就称在处的导数不存在，或者说在不可导。如果令，则，且当时，，于是，定义1可变成导数的另一个形式例1求函数在处的导数。解：当时，。当时，，故因此，所以由导数定义，引例中（1）瞬时速度是路程对时间的导数，即如果函数在区间内的每一点都可导，则称在内可导。其导数值是一随的变化而变化的函数，称作的导函数。记作，，或。（2）曲线在点处的切线的斜率是对的导数，即其中是切线的倾角存在。由函数极限与无穷小的关系可知二、可导与连续之间的关系设在点处可导，则极限其中，等式两边同乘以得当时，，所以函数在处连续。定理1如果函数在可导，则它在点处连续。此定理之逆未必成立。例2试证函数在连续（如图），但不可导。证：由于左、右极限不相等，所以极限

不存在，故函数在点处不可导。因为所以，函数在点处连续。又因为解：因为，所以在处连续。由于不存在，例3讨论函数在点处的连续性与可导性。连续是函数可导的必要条件，而不是充分条件。也就是说：如果我们已经判断出函数在某点处不连续，则可知函数在该点处不可导。反之，如果函数在某点处连续，则不能就此判定函数在某点处可导。所以在处不可导。函数在处的导数，其几何意义就是函数

在点处的切线的斜率如果，则函数曲线在相应点处的切线倾角是锐角，且在点附近曲线是上升的。三、导数的几何意义如果，则函数曲线在相应点处的切线倾角是钝角，且在点附近曲线是下降的。由导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线

在点处的切线方程及法线方程解：得曲线在点处的切线方程例4求曲线在点处的切线方程和法线方程。即其法线方程为即定义2设函数在点的某邻域内有定义，（1）如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作；（2）如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作。四、左导数与右导数显然，当且仅当在点处的左、右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的。左右导数常常用于讨论分段函数在分段点处的可导性。另外，如果在开区间内处处可导，且及均存在，则称在闭区间上可导。因为所以所以不存在，即在处不连续。故在处不可导。例5函数在点处可导否？解：连续性：解：因为从而例6讨论函数在处的连续性与可导性。又，故所以在连续。在处的右导数为可导性：又因为在处的左导数为所以在的左右导数存在但不相等，于是在处不可导。五、用导数定义求导数由导数定义可将求导数的方法概括为以下几个步骤：（1）求出对应于自变量改变量的函数改变量（2）作出比值（3）求当时，的极限，即例7常函数的导数。设，求。解：即例8幂函数的导数。设（为正整数），求。解：记，即

特别地，若，则。若，则。例9指数函数的导数。设，求。解：记，则所以即特别，若令，则，当时，。例10对数函数的导数。设，求。解：记，则即：特别：若则。例11正弦函数的导数。设，求。解：记则即同理可证六、导数的实际意义（1）瞬时速度是路程函数对时间的导数，即。加速度是速度函数对时间的导数，即。（2）曲线在点处的切线的斜率是对的导数，即或，其中为切线的倾角。（3）某产品的产量函数为，则产量函数对资本的导数称为资本的边际产出。（4）某产品的总成本，为产品产量，则成本函数对产量的导数称为边际成本。例12

假设在生产8到30台空调的情况下，生产台空调的成本为（元）工厂目前每天生产10台空调，每天多生产一台空调的超值成本为多少，请估计每天售出11台空调的收入为多少？而售出台空调的收入为（元）解：在每天生产10台空调的情况下每天多生产一台的成本大约为：（元）（元）附加成本约为195元。边际收入为边际收入计算出多卖出一台空调的收入的增加数量。如果目前是每天售出10台的话，那么，如果每天销售增加到11台时，可以期望的收入增加约为一、导数的四则运算二、复合函数求导法则第三节导数的运算法则导数与微分三、反函数求导法则四、隐函数求导法则五、参数方程求导法则六、对数求导法则一、导数的四则运算定理1设函数与在点可导，则有（1）（3）（2）特别地，当时，（为常数）即常数因子可以移到导数符号外面。例1设，求。解：公式（1）与（2）可以推广到有限多个函数的情况，即解：例3

设，求。例2

设，求。解：例4

设，求。解：例5

设，求。解：同理可得，例6

设，求。解：同理可得，解：例7

设，求。定理2设函数在点处可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且设函数，则是的一个复合函数。或公式可推广到有限次复合的情况。二、复合函数求导法则或例如，设，则复合函数

对的导数是例8设，求。设，，则例9设，求。解：设，，则解：例10设，求。解：设，，则例11设，求。解：设函数在处有不等于零的导数，且其反函数在相应点处连续，则存在，且即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。在反函数导数存在的前提下，由于，两边对求导，则得即三、反函数求导法则解：例12设，求。而所以的反函数为即

同理可得解：例13设，求。的反函数为而，则即

同理可得

把隐函数化为显函数，称为隐函数的显化。例如从方程中解出。但有时隐函数的显化有困难，甚至有时变量不一定能用自变量直接表示。例如。所以不管隐函数能否显化，我们希望有一种方法直接由方程求出它所确定的隐函数的导数。定义1由方程所确定的与的函数关系称为隐函数。四、隐函数求导法则要求由方程所确定的隐函数的导数，只要将视为的函数，利用复合函数的求导法则，对方程两边关于求导，得到一关于的方程，解出就可以了。例14由方程确定是的函数，求。解：将方程两边对求导，得解出，得解：将方程两边对求导，得解出，得例15由方程确定是的函数，求。令。由知，故解：将方程两边对求导，得解出，得由，于是点处的切线方程是即

例16由方程确定是的函数，求其曲线上点处的切线方程。有时，我们常常会遇见因变量与自变量之间的关系通过一参变量来表示，即称为函数的参数方程。下面讨论求由参数方程确定的对的导数。五、参数方程求导法则设有连续的反函数，又与存在，且，则为复合函数利用反函数和复合函数求导法则，得或例17已知星形线的参数方程为，求。解：因为所以

例18

求曲线，在对应处的切线方程和法线方程。由于所以切线斜率

法线斜率

当时，。故切线方程为即

法线方程为

解：即

对一些特殊类型的函数，它既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数，我们利用对数求导法则来求导。定理3设，其中在处可导，则在处可导，且有六、对数求导法则例19求的导数。解：方法1将方程两边取对数所以

方法2.两边对求导得例20

设，求。解：如直接利用复合函数求导公式求这个函数的导数，将会很复杂，为此，先将方程两边取对数，得两边对求导，得于是得以上介绍了基本求导法则及各类初等函数的求导法则，为了便于记忆和使用，我们列出如下求导公式。基本求导公式（为常数）（为任意实数）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）导数运算的基本法则其中可导。第四节高阶导数导数与微分一般地，设在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则此极限值为在点处的二阶导数，记为类似地，有的阶导数。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。函数的各阶导数在处的数值记为或求的阶导数，只须对函数逐次求导，同时从低阶导数找规律，即得的阶导数。例1求的阶导数。

解：因为所以例2求的阶导数。解：因为从而推得特别地，若，则例3求的阶导数。解：因为从而推得同理可得例4设，求。解：切记，不要误认为就是，还要注意，。一、微分的定义二、微分的几何意义第五节微分导数与微分三、微分的运算四、微分的形式不变性五、微分的简单应用一、微分的定义设函数在点处可导，则这个式子可改写为其中（当时）是无穷小量。用乘上式两边，有这里函数的改变量由两部分组成：第二部分是

时的无穷小，所以第一部分是主要项，是的线性函数。因而称为函数改变量的线性主要部分。当很小时，可得。通常，把自变量的增量记作自变量的微分，则在点处的微分可表示为由此可知，函数可导也称函数可微，且函数的微分是函数增量的线性部分。定义

设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作前面我们曾用表示函数的导数，它是一个整体符号。现在引进微分概念后，不仅表示的导数，而且表示函数微分与自变量微分之商，所以我们又称导数为微商。由于求微分的问题可以归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法就称为微分法。例1求函数在时的增量与微分。解：函数的增量函数微分当时，得当时，得比较与，知较小。例2设，求。解：在曲线上取点。如图。过点作曲线的切线，设的倾角为，则的斜率为当自变量在点取得改变量时，得曲线上另一点

由图知二、微分的几何意义所以函数的微分就是曲线过点的切线的改变量。当很小时，换言之，“曲线”的改变量，可以用“直线”的改变量来近似代替。这就是局部上的“以直代曲”。三、微分的运算设在点处可微，则即求函数的微分，只要求出函数的导数，再乘以即可。于是，由导数的一些基本公式及法则，立即可得微分公式。（1）（2）（3）（4）（5）（6