山东省临沂市部分县区2024-2025学年高二上学期学科素养水平监测数学试卷

2023级普通高中学科素养水平监测试卷数学2024.11注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为A. B. C. D.2.椭圆的离心率为A. B. C. D.3.已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则A. B. C. D.4.若圆与圆有3条公切线，则A.5 B.4 C.3 D.25.空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为A. B. C.7 D.6.若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为A.1 B.2 C. D.47.若，两点到直线的距离相等，则A. B. C.2或 D.2或8.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则A.当时，的方程是B.当时，以为直径的圆与的公共弦长为C.当时，圆的圆心在线段的延长线上D.以为直径的圆始终与相交11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则A.椭圆的中心在直线上B.C.直线与椭圆所在平面所成的角为D.椭圆的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点是点在坐标平面内的射影，则________.13.若圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则的取值范围是________.14.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为________，异面直线与所成角的余弦值为________.（第1个空2分，第2个空3分）.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，.（1）试用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.16.（15分）已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点.（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程.17.（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，是与的交点.（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.18.（17分）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.）（1）求的方程；（2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点.19.（17分）已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义，若两点，，满足，称点，在曲线的同侧；，称点，在曲线的两侧.（1）若曲线，判断，两点在曲线的同侧还是两侧；（2）已知曲线，为坐标原点，求点集所构成图形的面积；（3）记到点与到轴的距离之和为4的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点，在曲线两侧，求曲线的方程和实数的取值范围.

2023级普通高中学科素养水平监测参考答案数学2024.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.A4.A5.D6.B7.C8.A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC10.ACD11.BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.14.2，（第1个空2分，第2个空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1） 1分 2分 3分 4分 5分（2） 6分 7分 8分 10分 13分16.（15分）解：（1）设经过圆与圆的交点的圆的方程为， 2分圆心为， 3分代入得，， 4分所以的方程为. 5分（2）由得， 6分所以直线经过与的交点， 7分由，得交点， 8分所以当时最短， 9分因为，所以， 10分解得，直线的方程为 11分由（1）得，半径， 12分设圆心关于直线的对称点，则， 13分解得， 14分所以关于对称的圆的方程为. 15分17.（15分）解（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立坐标系，则，，，，， 1分所以，，，， 2分设平面的法向量为则， 4分取，得平面的一个法向量为， 5分所以， 6分. 7分即点到平面的距离为. 8分（2）设，则， 10分所以，， 11分由（1）知平面的一个法向量为，由， 12分得， 13分此时平面， 14分所以存在点，当时，平面. 15分18.（17分）解：（1）设，，则， 1分所以，， 3分因为点在圆上，所以， 4分即的方程为； 5分（2）设过点的直线为，，， 6分由，得， 8分所以，解得， 9分所以，， 10分直线的方程为，令，解得， 11分直线的方程为，令，解得， 12分所以 15分因为，都在轴上，所以，中点的纵坐标为0， 16分所以线段的中点为定点. 17分19.（17分）解：（1）因为， 1分， 2分所以， 3分所以，两点在曲线的同侧； 4分（2）因为， 5分所以，点集为曲线内部， 6分曲线如图所示由此可得曲线