《1.4 绝对值的三角不等式》导学案

《1.4绝对值的三角不等式》导学案一、学习目标1、理解绝对值的三角不等式的含义，能准确表述其内容。2、会证明绝对值的三角不等式，掌握证明的思路和方法。3、能够运用绝对值的三角不等式解决一些简单的不等式问题。二、知识预习（一）回顾绝对值的定义和性质1、绝对值的定义：对于实数\（a\），＼（＼verta\vert=＼begin{cases}a,＆a\geq0＼＼a,＆a\lt0\end{cases}＼）。例如，＼（＼vert3\vert＝3\），＼（＼vert5\vert=5\）。2、绝对值的性质：＼（＼vertab\vert=＼verta\vert\vertb\vert\），比如\（＼vert2\times(－3)＼vert=＼vert2\vert\vert3\vert＝6\）。＼（＼vert\frac{a}｛b}＼vert=＼frac{＼verta\vert}｛＼vertb\vert}（b\neq0)＼），像\（＼vert\frac{6}｛2}＼vert=＼frac{＼vert6\vert}｛＼vert2\vert}＝3\）。（二）探究绝对值的三角不等式1、思考：对于任意的实数\（a\）和\（b\），＼（＼verta＋b\vert\）与\（＼verta\vert+＼vertb\vert\）之间有什么关系呢？我们可以通过一些具体的数值来感受一下。当\（a＝1\），＼（b＝2\）时，＼（＼verta＋b\vert=＼vert1＋2\vert=＼vert3\vert＝3\），＼（＼verta\vert+＼vertb\vert=＼vert1\vert+＼vert2\vert＝1＋2＝3\），此时\（＼verta＋b\vert=＼verta\vert+＼vertb\vert\）。当\（a＝1\），＼（b=－2\）时，＼（＼verta＋b\vert=＼vert1+（－2)＼vert=＼vert1\vert＝1\），＼（＼verta\vert+＼vertb\vert=＼vert1\vert+＼vert2\vert＝1＋2＝3\），此时\（＼verta＋b\vert\lt\verta\vert+＼vertb\vert\）。2、绝对值的三角不等式的内容：＼（＼vert\verta\vert\vertb\vert\vert\leqslant\verta＋b\vert\leqslant\verta\vert+＼vertb\vert\）。三、学习活动（一）小组讨论1、分组讨论绝对值的三角不等式的证明方法。提示：可以从绝对值的定义出发，分情况讨论\（a\）、＼（b\）的正负性。例如，当\（a\geqslant0\），＼（b\geqslant0\）时，＼（a＋b\geqslant0\），＼（＼verta＋b\vert=a＋b\），＼（＼verta\vert+＼vertb\vert=a＋b\），此时\（＼verta＋b\vert=＼verta\vert+＼vertb\vert\）。大家在小组里讨论其他情况，看看能不能把这个不等式证明出来。（二）案例分析1、例1：已知\（＼verta\vert＝3\），＼（＼vertb\vert＝4\），求\（＼verta＋b\vert\）的取值范围。解：根据绝对值的三角不等式\（＼vert\verta\vert\vertb\vert\vert\leqslant\verta＋b\vert\leqslant\verta\vert+＼vertb\vert\）。这里\（＼verta\vert＝3\），＼（＼vertb\vert＝4\），所以\（＼vert34\vert\leqslant\verta＋b\vert\leqslant3＋4\），即\（1\leqslant\verta＋b\vert\leqslant7\）。四、自我检测（一）填空题1、若\（＼verta\vert＝2\），＼（＼vertb\vert＝5\），则\（＼verta＋b\vert\）的取值范围是____________。2、已知\（＼vertx3\vert+＼vertx＋1\vert\），根据绝对值的三角不等式，它的最小值是____________。（二）解答题1、证明：＼（＼vertab\vert\leqslant\verta\vert+＼vertb\vert\）。五、答案（一）填空题1、答案：＼（3\leqslant\verta＋b\vert\leqslant7\）。解析：根据\（＼vert\verta\vert\vertb\vert\vert\leqslant\verta＋b\vert\leqslant\verta\vert+＼vertb\vert\），＼（＼verta\vert＝2\），＼（＼vertb\vert＝5\），则\（＼vert52\vert\leqslant\verta＋b\vert\leqslant2＋5\），即\（3\leqslant\verta＋b\vert\leqslant7\）。2、答案：＼（4\）。解析：根据绝对值的三角不等式\（＼vert\vertx3\vert\vertx＋1\vert\vert\leqslant\vert(x3)（x＋1)＼vert=＼vert4\vert＝4\），当且仅当\（（x3)（x＋1)＼leqslant0\）时取等号，所以\（＼vertx3\vert+＼vertx＋1\vert\）的最小值是\（4\）。（二）解答题1、证明：因为\（＼vertab\vert=＼verta+（b)＼vert\），根据绝对值的三角不等式\（＼vert\verta\vert\vertb\vert\vert\leqslant\vert