数学（文科）总复习演练提升同步测评二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练（时间：25分钟)1．直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x≥0，，y≥0，，x－y≥－2，，4x＋3y≤20)）表示的平面区域的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解析】由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A（5，0），且其斜率k＝－2＜kAB＝－eq\f(4，3)，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0)．【答案】B2．（2015·天津）设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＋2≥0，，x－y＋3≥0，,2x＋y－3≤0,）)则目标函数z＝x＋6y的最大值为（)A．3B．4C．18D．40【解析】画出约束条件的可行域如图阴影部分，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值,易得A(0，3),所以zmax＝0＋6×3＝18，选C.【答案】C3．（2017·湖北荆州二模)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(y≤x，，x＋y≤1,，y≥－1，))则z＝2x＋y的最大值为（)A．3B．－3C．1D.eq\f(3，2）【解析】作出可行域,如图所示的阴影部分,当直线z＝2x＋y过点A（2，－1)时，z最大,是3，故选A.【答案】A4．（2016·河南洛阳期中)若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，，x－my＋1≥0，))且x＋y的最大值为9,则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2【解析】先根据约束条件画出可行域，如图．设z＝x＋y,则y＝－x＋z,将z转化为直线y＝－x＋z在y轴上的截距．当直线z＝x＋y经过直线x－my＋1＝0与直线2x－y－3＝0的交点A时,z最大．由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＋y＝9,,2x－y－3＝0))得A(4，5），将点A的坐标代入x－my＋1＝0得m＝1，故选C。【答案】C5．（2016·北京丰台模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨,B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x,y的可行域用阴影部分表示正确的是（)【解析】由题可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋y≥2，,3x＋y≤10，，2x＋3y≤9，，x≥0，,y≥0,）)故选A。【答案】A6．(2016·株洲模拟)已知a＞0,x，y满足约束条件eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x≥1，，x＋y≤3，,y≥a（x－3）,)）若z＝2x＋y的最小值为1,则a＝(）A.eq\f(1,2)B。eq\f(1,3)C．1D．2【解析】如图所示,目标函数z＝2x＋y在点(1，－2a)处取得最小值，2×1－2a＝1,解得a＝eq\f(1，2）.【答案】A7．（2016·枣庄模拟)已知实数x,y满足约束条件eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＞0，,4x＋3y≤4，，y≥0,）),则ω＝eq\f(y＋1,x）的最小值是()A．－2B．2C．－1D．1【解析】作出不等式组对应的平面区域如图,ω＝eq\f(y＋1，x）的几何意义是区域内的点P（x，y)与定点A（0，－1）所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D（1，0）时，直线AP的斜率最小，此时ω＝eq\f(y＋1，x)的最小值为eq\f(－1－0,0－1)＝1。故选D.【答案】D8．(2016·贵阳模拟）已知实数x,y满足eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＜2，，x＋y－1≥0，)）则z＝2x－2y－1的取值范围是（)A。eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5，3），5）)B．［0，5]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5，3)，5）)D.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（5，3)，5))【解析】画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,可知2×eq\f(1，3）－2×eq\f(2,3）－1≤z＜2×2－2×（－1）－1，即z的取值范围是eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（5,3)，5）).【答案】D9．（2016·山西质检)若变量x，y满足eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（｜x|＋｜y｜≤1，，xy≥0，)）则2x＋y的取值范围为________．【解析】作出满足不等式组的平面区域,如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点（1，0）时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2,经过点（－1，0)时,2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2,所以2x＋y的取值范围为［－2，2]．【答案】[－2，2］10．（2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【解析】（1)由已知，x，y满足的数学关系式为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，，8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0。)）该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．（2）设利润为z万元,则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y,将它变形为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f（z，3）,这是斜率为－eq\f（2，3），随z变化的一族平行直线.eq\f（z,3）为直线在y轴上的截距，当eq\f（z,3)取最大值时，z的值最大．又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时,截距eq\f(z，3）最大，即z最大．解方程组eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，，3x＋10y＝300，)）得点M的坐标为（20，24）．所以zmax＝2×20＋3×24＝112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．B组专项能力提升（时间：15分钟）11．(2016·黑龙江哈六中月考)设z＝x＋y，其中实数x，y满足eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，））若z的最大值为6，则z的最小值为（)A．－3B．－2C．－1D．0【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图所示．由z＝x＋y，得y＝－x＋z.平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时,直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大为6，即x＋y＝6。当直线y＝－x＋z经过点B时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最小，此时z最小．由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,x－y＝0))得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝3，,y＝3，））即A（3，3）．∵直线y＝k过点A，∴k＝3。由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（y＝3，，x＋2y＝0）)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝－6，,y＝3，)）即B(－6，3）．此时z的最小值为－6＋3＝－3，故选A.【答案】A12．（2016·河北衡水中学四调)设x,y满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋y－6≤0，，2x－y－1≤0，，3x－y－2≥0，）)若z＝ax＋y的最大值为2a＋4，最小值为a＋1，则实数a的取值范围为（)A．[－1，2]B．[－2，1]C．[－3，－2]D．［－3，1］【解析】由z＝ax＋y得y＝－ax＋z,直线y＝－ax＋z是斜率为－a，在y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域，如图，则A(1，1),B（2，4)．∵z＝ax＋y的最大值为2a＋4,最小值为a＋1，∴直线z＝ax＋y过点B时,z取得最大值2a＋4,过点A时取得最小值a＋1。若a＝0,则y＝z，此时满足条件．若a＞0,则目标函数线的斜率k＝－a＜0,要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a≥kBC＝－1，即0＜a≤1。若a＜0，则目标函数线的斜率k＝－a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a≤kAC＝2,即－2≤a＜0。综上，－2≤a≤1,故选B.【答案】B13．(2016·郑州第一次质量预测）已知点P(x,y）的坐标满足条件eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x≥1，，y≥x－1，,x＋3y－5≤0，））那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为(）A.eq\f（11，5)B．2C。eq\f（9，5）D．1【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x－4y－13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x－4y－13＝0的距离最近的点是(1,0)．又点(1，0）到直线3x－4y－13＝0的距离等于eq\f(|3×1－4×0－13|,5)＝2，即点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为2.【答案】B14．(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，，x－3≤0，）)则z＝x－2y的最小值为________．【解析】通性通法作出可行域,如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝eq\f（1,2)x－eq\f(1，2）z，作直线y＝eq\f（1，2)x并平移,观察可知，当直线经过点A(3，4)时,zmin＝3－2×4＝－5.光速解法因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得,易求得边界点分别为(3，4)，（1，2），(3,0），依次代入目标函数可求得zmin＝－5.【答案】－515．(2016·江苏)已知实数x，y满足eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，，2x＋y－2≥0，，3x－y－3≤0,）)则x2＋y2的取值范围是________．【解析】画出不等式组eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,2x＋y－2≥0，,3x－y－3≤0，)）表示的可行域如图：由x－2y＋4＝0及3x－y－3＝0得A(2,3），由x2＋y2表示可行域内的点(x，y)与点(0，0)的距离的平方可得（x2＋y2）max＝22＋32＝13,(x2＋y2)min＝d2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，\r(5)）)）eq\s\up12(2）＝eq\f(4，5),其中d表示点(0，0）到直线2x＋y－2＝0的距离，所以x2＋y2的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4，5）,13））.【答案】eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(4,5)，13)）16．(2016·山东淄博模拟）电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中,连续剧甲每次播放时间为80min，广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min,广告时间为1min，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320min。问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【解析】设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z.则目标函数为z＝60x＋20y，约束条件