新人教数学 9年级下：同步测控优化训练（26.2用函数观点看一元二次方程）

26.2用函数观点看一元二次方程5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.二次函数y=-x2+4x-3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为()A．6B．4C．3D．1解析：解方程-x2+4x-3=0,得A、B为（1，0）、（3，0），当x=0时，y=-3，所以C为（0，-3），所以△ABC的面积为×3(3-1)=3.答案：C2．当a＞0，Δ=b2-4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a__________0，Δ=b2-4ac__________0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负．解析：当a＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，若与x轴无交点，则其值恒为正；当a<0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与x轴无交点，则其值恒为负．答案：<<<3．已知一抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=-1，mn=-12，则此抛物线关系式是__________．解析：由题意，得m、n为方程x2+x-12=0的两根，∴解得m=-4，n=3或m=3，n=-4．又∵(1，n)在第四象限，∴n<0．∴m=3，n=-4，即B(3,0)，C（1，-4）．设抛物线的关系式为y=a(x-3)(x+1)．把（1，-4）代入上式，得[来源:]-4＝a（1-3）（1+1），∴-4a＝-4.∴a＝1．∴y＝（x-3）(x+1)=x2-2x-3．答案：y=x2-2x-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）和直线y=kx+d（k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．解析：图象有无交点或有几个交点，取决于两个方程组的解的情况．答案：（b-k）2-4a(c-d)>0（b-k）2-4a(c-d)=0（b-k）2-4a(c-d)<02．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1<x2，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为__________，不等式ax2+bx+c<0的解集为__________．解析：抛物线在x轴上方的范围是y>0，抛物线在x轴下方的范围是y<0，抛物线上的点在x轴上时y=0，对应的x的范围分别为x>x2或x<x1；x1<x<x2．答案：x>x2或x<x1x1<x<x23．利用图象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x-10=0;(2)2x2-3x+1=0．解析：作图象要尽量精确一些，与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值．解：略．4．(2010上海抽考)已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O．（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数的解析式．解:(1)∵抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过原点，∴n+1=0．∴n=-1．得y=x2-4x，即y=x2-4x=(x-2)2-4．∴抛物线的顶点P的坐标为（2，-4）．（2）根据题意，得点A的坐标为（4，0）．设所求的一次函数解析式为y=kx+b．根据题意，得解得[来源:学.科.网Z.X.X.K]∴所求的一次函数解析式为y=2x-8．5．已知抛物线y=x2-mx+与抛物线y=x2+mx-m2在平面直角坐标系中的位置如图26-2-1,其中一条与x轴交于A、B两点．图26-2-1（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式．解析：(1)经过A、B两点的抛物线的Δ＞：（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解.解法一：（1）y=x2-mx+,中Δ1=m2-2m2=-m2．∵抛物线不过原点，∴m≠0.∴-m2<0.∴Δ1<0．[来源:]∴抛物线y=x2-mx+与x轴无交点．∴y=x2+mx-m2经过A、B两点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，∴OA=-x1，OB=x2．又∵,∴，即3（x1+x2）=2x1x2．又∵x1、x2是方程x2+mx-m2=0的两根，∴x1+x2=-m，x1x2=-m2．∴-3m=m2．∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2．∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x-3．解法二：（1）∵两条抛物线都不过原点，∴m≠0．抛物线y=x2-mx+与y轴交于(0，)．∵>0，∴抛物线y=x2-mx+不经过A、B点．抛物线y＝x2+mx-m2与y轴交于（0，-m2），-m2<0，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴抛物线y=x2+mx-m2经过A、B两点．（2）同解法一中的（2）．30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1．二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是()[来源:]A．y=2(x-4)(x+2)B．y=2(x+4)(x-1)C．y=2(x-4)(x-1)D．y=2(x-4)(x+1)[来源:]解析：由二次函数两点式y=a(x-x1)(x-x2)，a=2,x1=1,x2=4即得.[来源:]答案：C2．已知抛物线的顶点到x轴的距离为3，且与x轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．解析：已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(x-x1)(x-x2)或一般式求其解析式．∵抛物线与x轴交于（4，0），（2，0），∴设y=a(x-4)(x-2)=a(x2-6x+8)=ax2-6ax+8a．顶点到x轴距离为3，即顶点纵坐标为3或-3，∴=3或=-3.解得a=-3或a=3．∴y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24．答案：y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.3．求下列二次函数与x轴的交点：(1)y=x2+4x-5;(2)y=-x2+x+2;(3)y=x2-3x;(4)y=x2-6x+10.解析：令y=0,求解关于x的一元二次方程．答案：（1）（1，-5）;（2）（-1，2）;（3）（0，3）;（4）不存在.注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况．4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围.解:（1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入解析式中,得所以，解析式为y=x2-x+m(m≠-1)．（2）二次函数与x轴有两个相异的交点，即Δ=b2-4ac=()2-4m()>0，解得m≠1.又m≠-1,得m≠±1.5．如图26-2-2，抛物线y=(x+1)2-2，图26-2-2（1）设此抛物线与x轴交点为A、B（A在B的左边），请你利用图象求出A、B两点的坐标；（2）有一条直线y=x-1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；（3）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使S△ABP=2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标．解析：（1）读图易得;（2）画图精确度要高一点;（3）设P点坐标为（a，b）,则△ABP中AB边上的高为b，而|b|=1,代入抛物线解析式可求得P点坐标．[来源:]解：（1）A（－3,0），B（1,0）．（2）交点坐标为（1,0）和（－1，－2）．（3）设P点坐标为（a，b）,则△ABP中，AB边上的高为｜b｜，又S△ABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=-1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为P(-1,1);P(-1,1);P(-1,-1);P(-1,-1)．6．已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5．（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点，且点P的横坐标为，试用含a的代数式表示点P的纵坐标；(3)设A,B两点的距离d=·｜x1-x2｜,试用含a的代数式表示d.解：（1）将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2-ax-5=0,∵Δ=(-a)2-4×2×(-5)=a2+40>0，∴方程有两个不相等的实数根．∴不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点．（2）∵x1、x2是方程2x2-ax-5=0的两个根,∴x1+x2=,x1x2=．点P的纵坐标为(x1+x2)+5=·+5=+5．（3）∵x1+x2=,x1x2=．∴｜x1-x2｜=.∴d==.7．画出函数y=x2-4x-3的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）方程x2-4x-3=0的解是什么？（3）不等式x2-4x-3>0，x2-4x-3<0的解是什么？解：图象如图所示．（1）x1≈4.6，x2≈-0.65，∴抛物线与x轴交点坐标为（4.6，0），（-0.65，0）．（2）x1≈4.6，x2≈-0.65．（3）不等式x2-4x-3>0的解为x<-0.65或x>4.6；不等式x2-4x-3<0的解为-0.65<x<4.6．8．某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10-3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）解：（1）由题意得，函数图象经过（0，0），（2，6），（3，7.5），将它们代入y=ax2+bx+c,得解之,得所以y=-x2+4x．（2）y=-x2+4xy=-（x-4）2+8，所以x=4时，y最大=8．（3）当y=0时,x1=8,x2=0（舍去）．答案：（1）y=-x2+4x;（2）服药4小时后含药量最大，此时最大含药量为每毫升血液中8微克;（3）8小时．9．(福建三明模拟)已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图26-2-3)，可得出表中第2行的相关数据．图26-2-3y=x2+px+qpqΔx1x2dy=x2-5x+6-561231y=x2-x[来源:]y=x2+x-2-2-23(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2-4q>0)证明你的猜想.解：(1)第二行q=0,x1=0；d=；第三行p=1,△=9，x2=1；(2)猜想：d2=Δ.例如：y=x2-x-2中,p=-1,q=-2,Δ=9;由x2-x-2=0得x1=2，x2=-1,d=3,d2=9,∴d2=Δ．(3)证明:令y=0，得x2+px+q=0，∵Δ>0，设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=-p,x1·x2=q．d2=(｜x1-x2｜)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-p)2-4q=p2-4q=Δ.[来源:]10．(2010重庆模拟，27)已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()〕(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为23的两部分，请求出P点的坐标．图26-2-4解:（1）解方程x2-6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=-x2+bx+c,得解这个方程组得所以，抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.（2）由y=-x2-4x+5，令y=0，得-x2-4x+5=0，解这个方程得x1=-5,x2=1,所以C点的坐标为（-5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（-2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5-2)=，S梯形MDBO=×2×(