2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案含解析新人教A版选修2-31

PAGE2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率自主预习·探新知情景引入在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题．那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的状况下你及格的概率又是多少？新知导学1．条件概率一般地，设A、B为两个事务，且P(A)>0，称P(B|A)＝__eq\f(PA∩B,PA)__为在事务A发生的条件下事务B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作__A发生的条件下B发生的概率__．假如事务A发生与否，会影响到事务B的发生，明显知道了A的发生，探讨事务B时，基本领件发生改变，从而B发生的概率也相应的发生改变，这就是__条件概率__要探讨的问题．2．条件概率的性质性质1：0≤P(B|A)≤1；性质2：假如B和C是两个互斥事务，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．预习自测1．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)为(B)A．eq\f(9,50) B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10) D．eq\f(1,4)[解析]由公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)得P(B|A)＝eq\f(1,2)．2．(2024·武汉高二检测)据某地区气象台统计，在某季节该地区下雨的概率是eq\f(4,15)，刮四级以上风的概率为eq\f(2,15)，既刮四级以上风又下雨的概率为eq\f(1,10)，设事务A为下雨，事务B为刮四级以上的风，那么P(B|A)＝__eq\f(3,8)__．[解析]由题意P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(A∩B)＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,8)．故答案为eq\f(3,8)．3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，其次次再次取到不合格品的概率为__eq\f(4,99)__．[解析]解法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故其次次再次取到不合格产品的概率为eq\f(4,99)．解法二：第一次取到不合格品的概率为P1＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，两次都取到不合格产品的概率为P2＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))＝eq\f(1,495)，∴所求概率P＝eq\f(P2,P1)＝eq\f(\f(1,495),\f(1,20))＝eq\f(4,99)．4．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球视察颜色，不放回，再任取一球，则(1)在第一次取到红球条件下，其次次取到红球的概率为多少？(2)在第一次取到蓝球的条件下，其次次取到红球的概率为多少？(3)在第一次取到蓝球的条件下，其次次取到蓝球的概率为多少？[解析]解法一：(1)第一次取到红球不放回，此时口袋里有2个红球，5个蓝球，故其次次取到红球的概率为P1＝eq\f(2,7)．(2)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到红球的概率为eq\f(3,7)．(3)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为P3＝eq\f(4,7)．解法二：(1)记事务A为“第一次取到红球”，事务B为“其次次取到红球”，∵P(A∩B)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A)＝eq\f(3,8)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(3,28),\f(3,8))＝eq\f(2,7)．(2)设C＝“第一次取到蓝球”，B＝“其次次取到红球”，则P(CB)＝eq\f(A\o\al(1,5)A\o\al(1,3),A\o\al(2,8))＝eq\f(15,56)，P(C)＝eq\f(5,8)，∴P(B|C)＝eq\f(\f(15,56),\f(5,8))＝eq\f(3,7)．(3)记C＝“第一次取到蓝球”，D＝“其次次取到蓝球”，则P(CD)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(C)＝eq\f(5,8)，∴P(D|C)＝eq\f(PCD,PC)＝eq\f(4,7)．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶利用条件概率公式求条件概率典例1盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？[思路分析]通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是E型玻璃球的概率．[解析](1)令事务A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色E型玻璃球}．解法一：∵P(A)＝eq\f(11,16)，P(A∩B)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq\f(4,11)．解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，∴P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(4,11)．『规律总结』(1)在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率．(2)条件概率的两种计算方法①在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)计算求得P(B|A)；②若事务为古典概型，可利用公式P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)，即在缩小后的样本空间中计算事务B发生的概率．┃┃跟踪练习1__■(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45(2)分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中随意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是__eq\f(4,7)__．[解析](1)本题考查条件概率的求法．设A＝“某一天的空气质量为优良”，B＝“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8，故选A．(2)设“取出的两个元素中有一个是12”为事务A，“取出的两个元素构成可约分数”为事务B，则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(4,7)．命题方向❷有关几何概型的条件概率典例2一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事务记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事务记为B，求P(AB)、P(A|B)．[解析]如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，n(AB)＝1，∴P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(1,4)．『规律总结』本题是面积型的几何概型，和小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)．┃┃跟踪练习2__■如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事务“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事务“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝__eq\f(2,π)__；(2)P(B|A)＝__eq\f(1,4)__．[解析](1)由题意可得，事务A发生的概率P(A)＝eq\f(S正方形EFGH,S圆O)＝eq\f(\r(2)×\r(2),π×12)＝eq\f(2,π)．(2)事务AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝eq\f(S△EOH,S圆O)＝eq\f(\f(1,2)×12,π×12)＝eq\f(1,2π).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,2π),\f(2,π))＝eq\f(1,4)．命题方向❸缩小基本领件范围求概率典例3两台机床加工同一种机械零件如表：合格品次品总计甲机床加工的零件数35540乙机床加工的零件数501060总计8515100从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是__0.875__．[思路分析]所求概率样本空间包含的基本领件个数是40而不是100．[解析]记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事务A，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事务B．则P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(35,40)＝0.875．『规律总结』利用缩小基本领件范围计算条件概率的方法将原来的基本领件全体Ω缩小为已知的条件事务A，原来的事务B缩小为AB．而A中仅包含有限个基本领件，每个基本领件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本领件范围的．┃┃跟踪练习3__■集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解析]将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)．条件概率的性质典例4外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；其次个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在其次个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若其次次取出的是红球，则称试验胜利，求试验胜利的概率．[思路分析]本题考查条件概率，先设出基本领件，求相应事务的概率，再将试验胜利分解成两个互斥事务的和．[解析]设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{其次次取出的球是红球}，W＝{其次次取出的球是白球}，易得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，事务“试验胜利”表示为RA∪RB，又事务RA与事务RB互斥，故由概率的加法公式得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝0.59．『规律总结』若事务B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较困难事务的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简洁事务之和，求出这些简洁事务的概率，再利用概率加法公式求得所求的困难事务的概率．┃┃跟踪练习4__■抛掷红、蓝两颗骰子，记事务A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事务B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事务A发生的条件下事务B发生的概率；(2)事务B发生的条件下事务A发生的概率．[解析]抛掷红、蓝两颗骰子，事务总数为6×6＝36，事务A的基本领件数为6×2＝12，则P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)．∵3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，∴事务B的基本领件总数为4＋3＋2＋1＝10．∴P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)．又4＋5>8,4＋6>8，6＋3>8,6＋4>8，6＋5>8，6＋6>8，∴事务AB的基本领件数为6．故P(AB)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)．由条件概率公式，得(1)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,3))＝eq\f(1,2)．(2)P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,18))＝eq\f(3,5)．学科核心素养条件概率公式的推广的应用(1)条件概率定义的推广P(Ak|A1A2…Ak－1)＝eq\f(PA1A2…Ak,PA1A2…Ak－1)，其中k＝1,2,3，…，P(A1A2…Ak－1)≠0．(2)乘法公式的推广．若P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)．(3)全概率公式．完备事务组：若事务A1，A2，…，An互斥，又一次试验中事务A1，A2，…，An必发生其中之一，即A1∪A2∪…∪An＝Ω，又AiAj＝∅(i≠j)，则称A1，A2，…，An为完备事务．全概率公式：若事务B1，B2，…，Bn为完备事务组，且P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则对任一事务A，有P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)．典例5某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18).现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中随意取出一个产品．(1)求取得的一个产品是次品的概率；(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是多少？(精确到0.001)[解析](1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．明显B1，B2，B3是导致A发生的一组缘由，这组缘由是完备事务组(即一个划分)，A能且只能与B1，B2，B3之一同时发生．三个厂的次品率分别为eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18)，∴P(A|B1)＝eq\f(1,10)，P(A|B2)＝eq\f(1,14)，P(A|B3)＝eq\f(1,18)．12箱产品中，甲占eq\f(6,12)，乙占eq\f(4,12)，丙占eq\f(2,12)，由全概率公式得P(A)＝eq\i\su(k＝1,3,P)(A|Bk)P(Bk)＝eq\f(6,12)×eq\f(1,10)＋eq\f(4,12)×eq\f(1,14)＋eq\f(2,12)×eq\f(1,18)≈0.083．(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时我们用贝叶斯公式：P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)≈eq\f(\f(4,12)×\f(1,14),0.083)≈0.287．『规律总结』贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝eq\f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)的综合应用．易混易错警示因把基本领件空间找错而致错典例6一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？[辨析]解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).其次种为P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)，其中找对基本领件空间是关键．[正解]方法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，其次名是女孩}，{第一名是女孩，其次名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事务是等可能的，设基本领件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事务A，“其中一名是男孩”为事务B，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．∴P(AB)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(3,4).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3)．方法二：由方法一可知n(A)＝3，n(AB)＝2.∴P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(2,3)．[误区警示]1.条件概率易出错点之一就是把基本领件空间找错了．2．弄不清一个事务对另一事务的影响致错．课堂达标·固基础1．已知P(AB)＝eq\f(3,13)，P(A)＝eq\f(3,7)，则P(B|A)等于(B)A．eq\f(9,91) B．eq\f(7,13)C．eq\f(9,13) D．eq\f(7,91)[解析]P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,13),\f(3,7))＝eq\f(7,13)．2．(2024·新余二模)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事务A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“其次次取到的是奇数”，则P(B|A)＝(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[解析]由题意，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,18