2025版高考数学一轮复习练案64第九章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件的概率含解析新人教版

第四讲随机事务的概率A组基础巩固一、单选题1．(2024·河南驻马店模拟)书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事务M表示“两本都是《红楼梦》”；事务N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事务P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”，下列结论正确的是(B)A．M与P是互斥事务 B．M与N是互斥事务C．N与P是对立事务 D．M，N，P两两互斥[解析]在A中，M与P是既不是对立也不是互斥事务，故A、D错误；在B中，M与N是互斥事务，故B正确；在C中，N与P是互斥事务，故C错误．故选B.2．(2024·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是(D)A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”[解析]A中的两个事务是包含关系，不是互斥事务；B中的两个事务是对立事务；C中的两个事务都包含“一个黑球一个红球”的事务，不是互斥关系；D中的两个事务是互斥而不对立的关系．3．(2024·新课标全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(D)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3[解析]解法一：从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，其中全是女生的有Ceq\o\al(2,3)＝3种，故选中的2人都是女同学的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.解法二：设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3，故选D.4．(2024·辽宁丹东模拟)一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是(B)A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.95[解析]依据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事务，故其概率P＝1－0.3－0.2＝0.5.故选B.5．(2024·山东滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝4下方的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)[解析]试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本领件．事务“点P(m，n)落在x＋y＝4下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本领件，故P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).6．(2024·新高考八省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．三人可能拿到的卡片结果为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，其中满意题意的结果有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3种，结合古典概型计算公式可得满意题意的概率值为：p＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故选C．7．(2024·重庆七中模拟)在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为(A)A．eq\f(3,10) B．eq\f(5,8)C．eq\f(7,10) D．eq\f(2,5)[解析]从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事务有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝eq\f(3,10).二、多选题8．若干个人站成排，其中不是互斥事务的是(BCD)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”[解析]排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不肯定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥，故选BCD.9．不透亮的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次随意取出2张卡片，则与事务“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事务是(ABD)A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色[解析]从6张卡片中一次取出2张卡片的全部状况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，在选项给出的四个事务中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事务有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张红色”包含事务“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事务．故选ABD.10．(原创)下列结论不正确的是(ABCD)A．随意事务A发生的概率P(A)满意0<P(A)<1B．概率为0的事务是不行能事务C．若A，B为互斥事务，则A的对立事务与B的对立事务肯定互斥D．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，则事务A、B互斥[解析]事务A发生的概率P(A)满意0≤P(A)≤1，A错；在半径为R的圆内任取一点，取到圆心的概率为0，但不是不行能事务，B错；记掷一只骰子出现1点为事务A，出现2点为事务B，明显A、B互斥，而eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))不互斥，C错；事务A：在实数集中任取x，x≥0，事务B：在实数集中任取y，y≤0，明显P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1＝P(A∪B)，而A、B不互斥，D错；故选ABCD.三、填空题11．(2024·江苏)将一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，则点数和为5的概率是eq\f(1,9).[解析]一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本领件的总数为6×6＝36种，而点数和为5的事务为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).故答案为eq\f(1,9).12．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为eq\f(11,15).[解析]记取出的两球颜色不同为事务A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝1－P\o(A,\s\up6(－))＝1－\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝\f(11,15))).13．(2024·浙江模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是eq\f(9,10).[解析]所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为eq\f(9,10).另解：记取出的3个球中至少有一个白球为事务A，则P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).14．(2024·陕西西安质检)甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.5.[解析]解法一：设甲、乙两人下成和棋的概率为P，甲获胜的概率为P(A)，则乙不输的概率为1－P(A)，∵甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，∴P(A)＋P＝0.8,1－P(A)＝0.7，∴1＋P＝1.5，解得P＝0.5.∴两人下成和棋的概率为0.5.解法二：设下成和棋的概率为P，则(0.8－P)＋(0.7－P)＋P＝1，∴P＝0.5.四、解答题15．(2024·湖南益阳、湘潭统测)为了了解某校学生课外时间的安排状况，拟采纳分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取5个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、6、6个班级．(1)求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；(2)若从抽取的5个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率．[解析](1)班级总数为18＋6＋6＝30，样本容量与总体中的个体数比为eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3,1,1.(2)从5个班级中随机抽取2个班级共有Ceq\o\al(2,5)＝10种抽法，抽取的两个班级中至少有一个班级来自高一年级的抽法有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝9种抽法．故所求概率P＝eq\f(9,10).B组实力提升1．(2024·北京春考)在“二十四节气入选非遗”宣扬活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的改变规律，那么甲同学被选中的概率为(D)A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]从甲、乙、丙三位同学中任选两人有以下三种状况：(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，其中含有甲的有两种，所以甲同学被选中的概率为eq\f(2,3)，故选D.2．(2024·广东湛江调研)从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任取2人在班内进行读后共享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为(D)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3[解析]P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).3．(2024·安徽模拟)若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)[解析]事务“甲或乙被录用”的对立事务是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本领件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种状况，依据古典概型和对立事务的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).4．(2024·新课标Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，很多志愿者踊跃报名参与配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预料其次天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少须要志愿者(B)A．10名 B．18名C．24名 D．32名[解析]其次天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少须要志愿者为eq\f(1600＋500－1200,50)＝18名，故选B.5．(2024·课标全国Ⅲ)某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．[解析](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(