五年级数学下册 期末复习专题讲义（知识点归纳 典例讲解 同步测试）-2.长方体（一） （北师大版）

北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义-2.长方体（一）【知识点归纳】一．长方体的认识1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，后面的面叫后面。长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。正方体的12条棱的长度都相等。2、长方体、正方体各自的特点。顶点面棱个数个数形状大小关系条数长度关系86都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形。相对的面面积相同12可以分为三组，相对的棱长度相等。86都是正方形。每个面的面积都相等12长度都相等。3、正方体是特殊的长方体。因为正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是长×4+宽×4+高×4长方体的宽=棱长总和÷4-长-高长方体的长=棱长总和÷4-宽-高长方体的高=棱长总和÷4-宽-长正方体的棱长总和=棱长×12正方体的棱长=棱长总和÷12二．展开与折叠知识点：正方体展开共11种1—4—1型6个1—3—2型3个3个2型1个楼梯形2个3型1个注意：（1）田字型与凹字型的全错。（2）正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。三．长方体的表面积1、表面积的意义：是指六个面的面积之和。2、长方体和正方体表面积的计算方法：3、长方体的表面积（6个面）=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2（上下面）（前后面）（左右面）S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×24、正方体的表面积（6个面）=棱长×棱长×6(6个面)S正=棱长×棱长×6（一个面的面积）四．露在外面的面1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。如:一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。3、求露在外面的面的面积=棱长×棱长×露在外面的面的个数。（一个面的面积）【典例讲解】例1．下列图中，（）不是正方体的展开图．A． B． C．【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，C图属于正方体展开图的“3﹣3”型，B图不属于正方体展开图．【解答】解：、是正方体展开图；不是正方体展开图．故选：B．【点评】此题是考查正方体展开图的认识．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．例2．一个长方体的底面周长是28cm，高是4cm．这个长方体的棱长总和是72cm．【分析】已知长方体的底面周长是28厘米的正方形，高4厘米，由此可知长方体的4个侧面是完全相同的长方形，这个长方体的棱长总和是（28×2+4×4）厘米．【解答】解：28×2+4×4＝56+16＝72（cm）答：这个长方体的棱长总和是72cm．故答案为：72．【点评】此题主要考查长方体的棱长总和的计算．例3．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米．做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．√（判断对错）【分析】求玻璃的面积，就是求长方体5个面的面积，缺少上面，依据长方体的表面积公式：S＝2（ab+ah+bh）即可求解．【解答】解：50×40+（50×30+40×30）×2＝2000+5400＝7400（平方厘米）7400平方厘米＝74平方分米答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．题干的说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法在实际生活中的应用．例4．求下面立体图形的表面积．（单位：cm）【分析】通过观察图形可知，由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个面的面积，下面的长方体求6个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．【解答】解：2×2×4+（10×8+10×6+8×6）×2＝16+（80+60+48）×2＝16+188×2＝16+376＝392（平方厘米）答：它的表面积是392平方厘米．【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．例5．如图是一个正方体铁块．（1）它的棱长总和是多少？（2）把它放在桌面上，占多大面积？【分析】（1）棱长是15cm，根据正方形棱长总和＝棱长×12，计算即可；（2）棱长是15cm，求它放在桌面上占多大面积，就是求它的底面积，是棱长×棱长，计算即可．【解答】解：（1）15×12＝180（cm）答：它的棱长总和是180cm．（2）15×15＝225（cm2）答：把它放在桌面上，占225cm2．【点评】此题主要考查正方体底面积、棱长总和公式的应用，解答此类的题要特别注意单位．【同步测试】一．选择题（共10小题）1．将一张长方形纸对折3次，其中的1份是这张纸的（）A． B． C． D．2．一个长方体纸盒的展开图如图所示，它的表面积是（）A．158cm2 B．316cm2 C．120cm2 D．210cm23．不能用一张长方形纸准确折出的角是（）A．90° B．63° C．45°． D．135°4．乐乐准备画一个长方体，他画出了长方体的三条棱，如图，根据这三条棱的长度，你认为他画的最有可能是下面图形（）A． B． C．5．把3个棱长1m的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少了（）A．2m2 B．4m2 C．6cm26．用48厘米长的铁丝做成一个正方体框架．这个正方体的棱长最大是（）A．8厘米 B．6厘米 C．4厘米7．求长方体的占地面积就是长方体的（）A．表面积 B．体积 C．底面积 D．侧面积8．下面的四幅图中，能按虚线折成正方体的是（）A． B． C． D．9．一根长方体木料，它的横截面积是8cm2，把它截成3段，表面积增加（）cm2．A．8 B．24 C．3210．一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体，表面积分别增加了16cm2，24cm2，32cm2，原来长方体的表面积是（）cm2．A．36 B．72 C．144二．填空题（共8小题）11．用一根长为120cm的铁丝焊成一个正方体的框架，它的棱长是cm．12．正方体是由个完全相同的围成的立体图形，它的条棱的长度，它可以看成是特殊的体．13．在图2中：∠3＝°＝个∠2＝个∠1．14．请在图中的上面写“我”，下面写“爱”，左面写“数”，右面写“学”．15．一个长方体木块长6厘米，宽4厘米，高2厘米．如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来最少增加平方厘米，最多增加平方厘米．16．把长方形的一个角沿AB对折至如图所示位置，∠1＝31°，那么∠2＝度．17．在下列展开图中能拼成正方体的有．18．把表面积是24平方米的正方体切成体积相等的8个小正方体，每个小正方体的表面积是．三．判断题（共5小题）19．长方体中除了相对的面完全相同，也有可能有两个相邻的面完全相同．（判断对错）20．正方体和长方体有不同的地方，所以正方体不是长方体．（判断对错）21．长方体的每一个面不一定都是长方形．．（判断对错）22．牛奶包装箱上标明：尺寸50×30×40（cm），是指这个长方体包装箱的长、宽、高．（判断错误）23．正方体是长、宽、高都相等的长方体．（判断对错）四．计算题（共1小题）24．计算下面图形的表面积．五．应用题（共7小题）25．做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多少厘米的木条？26．用丝带捆扎一种礼品盒如下，长30厘米，宽20厘米，高25厘米．结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒至少要用多少厘米丝带？27．笑笑将一个长15cm，宽8cm，高28cm的长方体饼干盒的四周和盒盖都贴上商标纸，需要多少平方厘米的商标纸？28．一个房间长8米，宽6米，高4米．除去门窗22平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？29．把一条长32dm的彩带连续对折2次，这时每段彩带长多少分米？如果要使每段彩带长1dm，那么应该将这条彩带连续对折几次？30．一个正方体纸盒的棱长为2.5分米，在它的周围贴一条宽0.8分米的彩纸（如图），这条彩纸的面积至少是多少平方分米？31．一个体积是240cm3的长方体，不同的两个面的面积分别是20cm2和48cm2，这个长方体的表面积是多少？

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】将一张长方形纸对折1次，每份是这张纸的，对折两次，每份是这张纸的，对折3次每份是这张纸的．【解答】解：将一张长方形纸对折3次，其中的1份是这张纸的：××＝；故选：C．【点评】此题属于图形的折叠问题，考查了学生动手操作的能力．2．【分析】由展开图得出：长方体的长是8cm，宽是5cm，高是3cm，根据长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代数计算即可．【解答】解：（8×5+8×3+5×3）×2＝（40+24+15）×2＝79×2＝158（cm2）答：它的表面积是158cm2．故选：A．【点评】解决本题的关键是根据长方体展开图得出长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式计算．3．【分析】把一张长方形的纸对折，再把以对折点为顶点的角对折后展开，所得到的角就是90°、45°和135°的，而63°不能准确折出，据此解答即可．【解答】解：如图，，只有63°不能准确折出；故选：B．【点评】本题是考查简单图形的折叠问题，动手折折即可解决问题，关键记住几个特殊角之间的关系．4．【分析】这三条棱分别是5cm、10cm、12cm，表示长12cm、宽5cm、高10cm的正方体，即长和高的长度基本相同，宽是高的，观察图形，只有A符合，B的高与宽不符合2倍关系，C的长和宽不符合2倍以上的关系，据此解答即可．【解答】解：乐乐准备画一个长方体，他画出了长方体的三条棱，如图，根据这三条棱的长度，认为他画的最有可能是图形A．故选：A．【点评】此题考查了长方体的特征，要根据三条棱长度的倍数关系判断．5．【分析】把3个棱长为3分米的正方体木块，拼成一个长方体，只有一字排列法这一种拼法．拼成长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答即可．【解答】解：1×1×4＝1×4＝4（平方米）答：表面积减少了4平方米．故选：B．【点评】此题的关键是抓住组合后表面积减少了粘合的4个正方形面，即可解答问题．6．【分析】根据正方体有12条棱，而且每条棱长度相等，用铁丝的长度除以12，求出这个正方体的棱长是多少米即可．【解答】解：48÷12＝4（厘米）答：这个正方体的棱长最大是4厘米；故选：C．【点评】此题主要考查了正方体的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正方体的特征：①8个顶点．②12条棱，每条棱长度相等．③相邻的两条棱互相垂直．7．【分析】一个长方体的占地面积占地面积是求这个长方体的底面积，据此解答．【解答】解：要求一个长方体的是求这个长方体的底面积．故选：C．【点评】此题考查了长方体底面积的实际应用．8．【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，能按虚线折成正方体；B图、C图和D图都不属于正方体展开图，不能按虚线折成正方体．【解答】解：能按虚线折成正方体；、、不能按虚线折成正方体．故选：A．【点评】此题是考查正方体展开图的认识．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．9．【分析】根据题意可知，把这根长方体木料截成3段，需要截两次，每截一次增加两个截面的面积，所以截成3段表面积比原来增加4个截面的面积，据此解答即可．【解答】解：8×4＝32（平方厘米）答：表面积增加32平方厘米．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义，以及长方体表面积公式的灵活运用．10．【分析】根据题意可知，与长方体左右平行切表面积增加的面积与左右面相等，与长方体的上下面平行切表面积增加与上下面相等，与长方体前后面平行切表面积增加的与前后面相等，根据长方体的表面积公式：s＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．【解答】解：16+24+32＝72（平方厘米）答：原来长方体的表面积是72平方厘米．故选：B．【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可．【解答】解：120÷12＝10（厘米）答：它的棱长是10厘米．故答案为：10．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用．12．【分析】根据正方体、长方体的特征：正方体是由6个完全相同的正方形围成的，它有12条棱，12条棱的长度都相等；长方体是由6个长方形围成的，相对的面完全相同，它有12条棱，相对的4条棱的长度都相等；所以正方体又可以看做是特殊的长方体．【解答】解：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，它的12条棱的长度相等，它可以看成是特殊的长方体；故答案为：6，正方形，12，相等，长方．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的特征．13．【分析】依据直角、平角、周角的含义：等于90°的角是直角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角，然后根据它们之间的倍数关系，解答即可．【解答】解：因为：1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°，所以：一个周角＝2个平角＝4个直角，即：∠3＝360°＝2个∠2＝4个∠1．故答案为：360，2，4．【点评】本题主要考查特殊角的度数及关系，应当熟练掌握．14．【分析】面对图中的，在上面的方格内写“我”，下面的方格内写“爱”，左面的方格内写“数”，右面的方格内写“学”即可．【解答】解：【点评】此题主要是考查方向的辨别，上、下比较好辨别，关键是左、右方向的辨别．15．【分析】根据题意可知，把这个长方体切成两个相同的小长方体，要使表面积比原来最少增加多少平方厘米，也就是与长方体左右面平行切；要使表面积最多增加多少平方厘米，也就是与长方体的上下面平行且切，表面积增加的部分是两个切面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答．【解答】解：4×2×2＝16（平方厘米）6×4×2＝48（平方厘米）答：表面积比原来最少增加16平方厘米，最多增加48平方厘米．故答案为：16、48．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义，以及长方形面积公式的灵活用，关键是熟记公式．16．【分析】如图，把这张长方形展开，以∠1的顶点为顶点的3个角，组成了一个直角，直角＝90°，折起来后∠1盖住了一个与它度数相等的角，也就是2∠1与∠2的和是90°，据此解答．【解答】解：由分析得：∠2＝90°﹣31°×2＝90°﹣62°＝28°答：∠2＝28度．故答案为：28．【点评】本题是考查简单的图形折叠问题、角的度量．17．【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开“2﹣2﹣2”结构，B图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构，D图属于正方体展开图的“3﹣3”结构，这三幅图都能拼成正方体；图C不属于正方体展开图，不能拼成正方体．【解答】解：如图展开图中能拼成正方体的有A、B、D．故答案为：A、B、D．【点评】本题主要是考查正方体展开图的特征．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．18．【分析】先利用正方体表面积公式求出大正方体1个面的面积，再除以4就是小正方体1个面的面积，再乘6，就是1个小正方体的表面积．【解答】解：大正方体1个面的面积：24÷6＝4（平方米）小正方体1个面的面积：4÷4＝1（平方米）小正方体的表面积：1×6＝6（平方米）答：每个小正方体的表面积是6平方米．故答案为：6平方米．【点评】解答此题的关键是明白：大正方体的每个面的面积除以4，就是小正方体1个面的面积，从而问题得解．三．判断题（共5小题）19．【分析】长方体的6个面都是长方形，相对的面相等；当两个相对的面是正方形时，其它4个面是完全相同的长方形，长方体的相邻的两个面相等；所以长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等，据此判断即可．【解答】解：长方体的6个面都是长方形，相对的面相等；当两个相对的面是正方形时，其它4个面是完全相同的长方形，长方体的相邻的两个面相等；所以长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等，因此题中说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查了长方体的特征，解答此题的关键是要明确：长方体相对的面相等，特殊情况下也可能有两个相邻的面相等．20．【分析】根据长方体、正方体的特征，正方体是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体．【解答】解：正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体．所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的特征，明确：正方体是特殊的长方体．21．【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答判断即可．【解答】解：根据长方体的特征，一般情况，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形，所以，“长方体的每一个面不一定都是长方形”这种说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题主要考查正方体、长方体的特征，明确一般情况，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形．22．【分析】通常长方体包装箱上的长、宽、高不是写长多少厘米、宽多少厘米、高多少厘米，而是写成长×宽×高的形式，即乘式中三个数分别代表箱子的长、宽、高．【解答】解：牛奶包装箱上标明：尺寸50×30×40（cm），是指这个长方体包装箱的长（50cm）、宽（30cm）、高（40cm）原题说法正确．故答案为：√．【点评】这是生活中的常识问题，根据生活实际便知．23．【分析】根据长方体和正方体的共同特征：它们都有6个面，12条棱，8个顶点．正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体．【解答】解：长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点．因此正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体．故答案为：√．【点评】此题主要考查长方体和正方体的特征，以及长方体和正方体之间的关系，长方体包括正方体，正方体是特殊的长方体．四．计算题（共1小题）24．【分析】长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；正方体的表面积＝棱长×棱长×6；据此代入数据即可解答．【解答】解：长方体的表面积是：（5×4+5×10+4×10）×2＝（20+50+40）×2＝110×2＝220（平方厘米）正方体的表面积是：6×6×6＝216（平方厘米）答：长方体的表面积是220平方厘米；正方体的表面积是216平方厘米．【点评】此题主要考查正方体与长方体的表面积公式的计算应用．五．应用题（共7小题）25．【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．【解答】解：（12+9+6）×4＝27×4＝108（厘米）答：至少需要108厘米的木条．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式．26．【分析】通过观察图形可知，需要丝带的长度等于长方体的2条长+2条宽+4条高+结头处用的25厘米，据此列式解答即可．【解答】解：30×2+20×2+25×4+25＝60+40+100+25＝225（厘米）答：要捆扎这种礼品盒至少要用225厘米丝带．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用．27．【分析】商标纸的面积是指长方体的侧面积+上底面的面积，根据长方体的表面积的计算方法解答即可．【解答】解：（15×28+8×28）×2+15×8＝（420+224）×2+120＝644×2+120＝1288+120＝1408（平方厘米）答：需要1408平方厘米的商标纸．【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．28．【分析】长方体有6个面，在房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，贴墙纸的面是上面，前后面和左右面，就是求这5个面的面积和是多少，然后再减去门窗的面积就是这个房间至少需要多大面积的墙纸．长方体的长、宽、高已知，用长×宽＝上面的面积，用长×高