五年级数学下册 期末复习专题讲义（知识点归纳 典例讲解 同步测试）-7.用方程解决问题 （北师大版）

北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义-7.用方程解决问题【知识点归纳】1、理解并掌握形如ax+x=b或ax-x=b这样的方程。2、会分析简单问题中的数量中的相等关系。3、会用方程解决简单的实际问题。4、劣方程解决实际问题的步骤：（1）根据题意找出数量之间的相等关系。（2）根据等量关系列方程。（3）解方程。（4）检查结果是否合理。5、相遇问题：特点：必须是同时的可根据不同的行程进行分析。路程=速度和×相遇时间速度和=路程÷相遇时间相遇时间=路程÷速度和速度1=路程÷相遇时间－速度2追及问题：追及路程=速度差×追及时间6、常用关系式：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度总价=单价×数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率加数＋加数＝和一个加数＝和－另一个加数被减数－减数＝差减数＝被减数－差被减数＝差＋减数因数×因数＝积一个因数＝积÷另一个因数被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数【典例讲解】例1．小红与小亮同时从家出发相向而行，小红的速度是80米/分，小亮的速度是100米/分，下面线段图表示他们相遇时的情况，最合理的是（）A． B． C． D．【分析】因为小红的速度是80米/分，小亮的速度是100米/分，相遇时用的时间相同，根据“路程＝速度×时间“，可知小亮走的路程多，小红走的路程少．【解答】解：因为小红与小亮同时从家出发相向而行，到相遇时用的时间相同，而小红的速度是80米/分，小亮的速度是100米/分，根据“路程＝速度×时间“，可知小亮走的路程多，小亮走的路程少．故选：D．【点评】此题是相遇问题，在同时出发的相遇问题中，相遇时，谁的速度快，谁行驶的路程多．例2．看图列方程．方程：50+x＝200【分析】根据天平平衡原理可得，当天平平衡时，左边＝右边，据此即可列出方程解答问题．【解答】解：根据题干分析可得方程：50+x＝200x＝150故答案为：50+x＝200．【点评】解答此题容易找出基本等量关系，由此列方程解决问题．例3．将三角形对折后一定能重合．×（判断对错）【分析】一个正三角形沿边上的高对折后一定能重合；一个等腰三角形，沿底边上的高对折一定能够重合．除此之外，任意三角形不论怎么对折都不会重合．【解答】解：正角形，等腰三角形沿底边上的高对折一定能重合；除此之外，任意三角形不论怎么对折都不会重合；原题说法错误．故答案为：×．【点评】根据正三形、等腰三角形的特征，这两种三角形对折能够重合，一般三角形则不可以．例4．看图列式计算．【分析】（1）根据图示，鸡的数量×（1﹣）＝鸭的数量，列出方程，求出x的值是多少即可．（2）根据图示，总重量×（1﹣第一次用去的分率﹣第二次用去的分率）＝剩下的重量，列出方程，求出x的值是多少即可．【解答】解：（1）（1﹣）x＝45x＝45x×＝45×x＝72答：鸡有72只．（2）（1﹣﹣）x＝180x＝180x×＝180×x＝800答：总重量是800千克．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．例5．已知A地到B地的实际距离是1500km，在一幅地图上量得A、B两地之间的距离是5cm，在这幅地图上量得C地到D地的图上距离是3cm．有两辆汽车同时从C、D两地开出，相向而行，速度分别是55千米/小时、65千米/小时，几小时后两车相遇？【分析】先利用：C、D两地的实际距离：A、B两地的实际距离＝C、D两地的图上距离：A、B两地的图上距离，求出C、D两地的实际距离，再利用路程÷（55+65）求出时间即可．【解答】解：设C、D两地的实际距离是x千米．由题意得：＝解得：x＝900900÷（55+65）＝900÷120＝7.5（小时）答：7.5小时后两车相遇．【点评】此题考查的是行程问题中的相遇问题，解决此题的关键是利用比例尺的意义求出C、D两地的实际距离．【同步测试】一．选择题（共10小题）1．把一张长方形的纸对折再对折，打开后两条折痕（）A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行，也可能互相垂直2．一个三角形的面积是y平方米，如果把它的底和对应的高都扩大到原来的3倍，得到的新三角形的面积是（）平方米．A．3y B．4.5y C．6y D．9y3．不能用一张长方形纸准确折出的角是（）A．90° B．63° C．45°． D．135°4．看如图列方程，下面方程（）是正确的．A．30+2x＝120 B．120﹣x＝30 C．30×2+2x＝1205．某校图书馆买来文艺书和科技书共1500本，其中买来的文艺书本数比买来的科技书的2倍少36本，买来的科技书有多少本？如果设买来的科技书有x本，那么下列方程正确的是（）A．x+2x＝1500﹣36 B．2x﹣36＝1500 C．x+2x＝1500 D．x+2x﹣36＝15006．小胖有88枚邮票，比小亚邮票枚数的一半多2枚．小亚有多少枚邮票？解：设小亚有x枚邮票．下列方程错误的是（）A．x÷2﹣2＝88 B．x÷2+2＝88 C．88﹣x÷2＝2 D．x÷2＝88﹣27．某校六年级女生有120人，比男生少10%，六年级男生有多少人？设男生有x人，下列方程不正确的是（）A．x﹣10%x＝120 B．（1﹣10%）x＝120 C．x+10%x＝120 D．120+10%x＝x8．有60个苹果，苹果是桃的2倍，桃有多少个？如果设桃有x个，那么下面方程中（）是错误的．A．2x＝60 B．60÷x＝2 C．x÷2＝609．妈妈的体重为55kg，比小红体重的2倍少8kg，小红的体重是多少千克？假设小红的体重是xkg，列出的方程是（）A．2x﹣8＝55 B．2x+8＝55 C．2x＝55﹣810．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行．甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇．若乙车慢一些，则乙车每时行（）千米．A．93 B．99 C．111二．填空题（共8小题）11．某工厂的男、女职工人数如图：根据上图列出方程：．12．看图列方程（不计算）．（1）．（2）．13．在图2中：∠3＝°＝个∠2＝个∠1．14．家乐福超市运来10箱饮料，每箱x瓶，卖出了650瓶，还剩250瓶．根据题意写一个等量关系：，根据这个关系式列出相应的方程．15．如图，∠2＝75°，∠1＝°．16．甲乙两人从AB两地同时开出，相向而行．经过4小时相遇．然后，它们又各自按原速原方向继续行驶3小时，这时甲到达B点，乙距离A点还有30千米，甲乙两地距离千米．17．甲车从A地开往B地，同时乙车也从B地开往A地，甲车速度是每小时80千米，乙速度是每小时70千米，甲车在中途C地停车．15分钟后乙车到达C地，这时甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么A、B两地相距千米．18．下面不能用方程“x+x＝60”来表示的是．三．判断题（共5小题）19．拿一张圆形的纸，把它对折再对折，得到的角是直角．．（判断对错）20．如图是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1＝32°，则∠2＝36°．（判断对错）21．一张正方形纸对折3次打开，这张纸被平均分成6份．（判断对错）22．计算图中两条彩带一共长多少米，列出的方程是6.9＝x+2.7．（判断对错）23．把一张正方形纸如下图折叠，展开后图中∠1是135度．（判断对错）四．计算题（共1小题）24．看图列方程，并求方程的解．（1）（2）五．应用题（共6小题）25．买3听饮料和一个铅笔盒共11元，铅笔盒3元．1听饮料多少元？（用方程解）26．甲、乙两地相距490千米，A、B两辆客车同时从甲乙两地相对开出，A客车的速度是68千米/时，经过3.5小时两车相遇．B客车的速度是多少？（列方程解答．）27．图书室有故事书和科技书共640册，其中科技书的册数是故事书的60%，故事书和科技书各有多少册？（列方程解答）28．甲乙两筐苹果，甲筐苹果的个数比乙筐的2.4倍多45个，两筐苹果一共300个，原来两筐苹果各有多少个？（列方程解答）29．淘淘家在学校的正北方向640米处，龙一鸣家在学校的正南方向600米处．周末两人约好下午4：00在学校操场踢球．两人下午3：45同时从家里出发去学校，淘淘每分钟走75米，龙一鸣每分钟走80米．下午3：53两人能在学校相遇吗？如果龙一鸣先到学校后不停留继续向北走，从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离学校有多远？30．把一条长32dm的彩带连续对折2次，这时每段彩带长多少分米？如果要使每段彩带长1dm，那么应该将这条彩带连续对折几次？

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的；由此得出结论．【解答】解：由分析可知：把一张长方形的纸对折两次后，折痕的关系是可能互相平行，也可能互相垂直；故选：C．【点评】解答此题的关键在于要从不同的折叠方向考虑，具体操作一下会更简捷．2．【分析】三角形的面积＝底×高，根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积也扩大几倍．所以底和高都扩大到原来的3倍，面积就扩大3×3＝9倍．据此解答即可．【解答】解：y×3×3＝y×9＝9y（平方米）答：它的面积是9y平方米．故选：D．【点评】解答本题要掌握三角形的面积公式，要用积的变化规律解答．3．【分析】把一张长方形的纸对折，再把以对折点为顶点的角对折后展开，所得到的角就是90°、45°和135°的，而63°不能准确折出，据此解答即可．【解答】解：如图，，只有63°不能准确折出；故选：B．【点评】本题是考查简单图形的折叠问题，动手折折即可解决问题，关键记住几个特殊角之间的关系．4．【分析】观察图形可知等量关系：2个30+2个x＝120，据此列出方程是30×2+2x＝120，据此即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得方程：30×2+2x＝12060+2x＝1202x＝60x＝30答：x的值是30．故选：C．【点评】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题．5．【分析】根据题意，文艺书的本数+科技书的本数＝1500本，又知买来的文艺书本数比买来的科技书的2倍少36本，设买来的科技书有x本，则买来文艺书有（2x﹣36）本，据此列方程解答．【解答】解：设买来的科技书有x本，则买来文艺书有（2x﹣36）本，x+2x﹣36＝15003x﹣36+36＝1500+363x＝15363x÷3＝1536÷3x＝512答：买来科技书512本．故选：D．【点评】此题属于含有两个未知数的问题，关键是找出等量关系，设其中一个数未知数为x，另一个未知数用含有字母的式子表示，据此列方程解答．6．【分析】A：根据：小亚邮票枚数÷2+2＝小胖邮票枚数，可得：x÷2+2＝88．B：根据：小亚邮票枚数÷2+2＝小胖邮票枚数，可得：x÷2+2＝88．C：根据：小胖邮票枚数﹣小亚邮票枚数÷2＝2，可得：88﹣x÷2＝2．D：根据：小亚邮票枚数÷2＝小胖邮票枚数﹣2，可得：x÷2＝88﹣2．【解答】解：设小亚有x枚邮票，因为x÷2+2＝88，所以A错误，B正确；因为88﹣x÷2＝2，所以C正确；因为x÷2＝88﹣2，所以D正确．故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．7．【分析】A、根据：男生的人数﹣男生的人数×女生比男生少的百分率＝女生的人数，列出方程即可．B、根据：男生的人数×（1﹣女生比男生少的百分率）＝女生的人数，列出方程即可．C、根据：男生的人数﹣男生的人数×女生比男生少的百分率＝女生的人数，列出方程即可．D、根据：女生的人数+男生的人数×女生比男生少的百分率＝男生的人数，列出方程即可．【解答】解：设男生有x人，则x﹣10%x＝120，A正确；（1﹣10%）x＝120，B正确；x﹣10%x＝120，C不正确；120+10%x＝x，D正确．故选：C．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．8．【分析】根据题干，设桃有x个，那么可得到的等量关系是：桃的个数×2＝苹果的个数，苹果的个数÷桃的个数＝2，或者苹果个数÷2＝桃的个数，据此列出方程即可解答问题．【解答】解：设桃有x个，根据等量关系可得方程：2x＝60或60÷x＝2或60÷2＝x所以三个选项中列出的方程只有选项C是错误的．故选：C．【点评】解答此题容易找出基本数量关系：桃的个数×2＝苹果的个数，苹果的个数÷桃的个数＝2，或者苹果个数÷2＝桃的个数，由此列方程解决问题．9．【分析】假设小红的体重是xkg，根据：小红的体重×2﹣8＝妈妈的体重，列出的方程是：2x﹣8＝55．【解答】解：假设小红的体重是xkg，列出的方程是：2x﹣8＝55．故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．10．【分析】甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，属于相遇问题．在距中点30千米处相遇且乙车慢，说明在5小时内甲车比乙车多行驶30×2＝60（千米），则平均每小时甲车比乙车多行驶60÷5＝12（千米），据此可求出乙车的速度．【解答】解：30×2÷5＝60÷5＝12（千米/时）105﹣12＝93（千米/时）答：乙车每小时行驶93千米．故选：A．【点评】本题考查相遇问题，找准两车相遇时的路程差是解决本题的关键．二．填空题（共8小题）11．【分析】由图可知，某工厂的女职工比男职工的3倍还多12人，已知女职工有102人，设男职工有x人，根据男职工人数×3+12＝女职工人数，可列出方程3x+12＝102；据此解答．【解答】解：设男职工有x人，3x+12＝1023x+12﹣12＝102﹣123x÷3＝90÷3x＝30答：男职工有30人．故答案为：3x+12＝102．【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．12．【分析】（1）根据题意可得等量关系式：左面两盒的个数+右面两盒的个数＝40个；然后设每盒x个，然后列方程解答即可．（2）根据题意可得等量关系式：梨树的棵数+桃树的棵数＝240棵；然后设梨树有x棵，然后列方程解答即可．【解答】解：（1）设每盒x个，2x+5+5＝40；（2）设梨树有x棵，x+4x＝240；故答案为：2x+5+5＝40；x+4x＝240．【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．13．【分析】依据直角、平角、周角的含义：等于90°的角是直角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角，然后根据它们之间的倍数关系，解答即可．【解答】解：因为：1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°，所以：一个周角＝2个平角＝4个直角，即：∠3＝360°＝2个∠2＝4个∠1．故答案为：360，2，4．【点评】本题主要考查特殊角的度数及关系，应当熟练掌握．14．【分析】根据饮料总瓶数可列出等量关系：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，代入数据可列出方程：10x＝650+250，据此解答即可．【解答】解：家乐福超市运来10箱饮料，每箱x瓶，卖出了650瓶，还剩250瓶．根据题意写一个等量关系：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，根据这个关系式列出相应的方程：10x＝650+250．故答案为：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，10x＝650+250．【点评】解答此题的关键是明确题中两个条件均可表示饮料总瓶数，进而可列出等量关系．15．【分析】如图，把这张长方形纸展开，以∠1的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°，折起来后∠2盖住了一个与它度数相等的角，也就是2∠2与∠1的和是180°，据此解答．【解答】解：由分析得：∠1＝180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°答：∠1＝30°．故答案为：30．【点评】本题是考查简单的图形折叠问题、角的度量．16．【分析】A车和B车同时从甲、乙两地相向开出，甲、乙两地相向开出，经过4小时相遇，就是A车和B车4小时走完全程，要把全路程看作单位“1”，然后它们又各自按原速度原方向继续行驶3小时，就是A车和B车3小时走了全程的，这时甲到达B点，乙距离A点还有30千米，就是乙车没走的路程是30千米，是全路程的（1﹣），据此可列式解答．【解答】解：30÷（1﹣）＝30÷＝120（千米）答：甲乙两地相距120千米．故答案为：120．【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．（2）此题还考查了分数除法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答．17．【分析】根据题意可知：两车同时到达目的地，所以如果不停车，甲车比乙车早到15分钟，设AB两地相距x千米，根据两车所用时间列方程为：，解方程即可．【解答】解：设AB两地相距x千米，x＝140答：A、B两地相距140千米．故答案为：140．【点评】本题主要考查相遇问题，关键利用路程、速度和时间的关系做题．18．【分析】A．第一个数为x，第二数是第一个数的，则第二数为x，两个数的和是60，由题意得：x+x＝60；B．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为x，由题意得：x+x＝60；C．把整个正方形的面积看作单位“1”，平均分成4份，阴影部分占3份，阴影部分的面积为x平方米，则空白部分的面积为平方米，由题意得：x+x＝“1”；D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为x平方米，则空白部分的面积为x平方米，由题意得：x+x＝60；据此解答．【解答】解：由分析得：A．可以用方程“x+x＝60”表示；B．可以用方程“x+x＝60”表示；C．不可以用方程“x+x＝60”表示；D．不可以用方程“x+x＝60”表示；故答案为：C、D．【点评】此题考查的目的是理解掌握列方程解决问题的方法及应用．三．判断题（共5小题）19．【分析】把一张圆形的纸对折，得到的角是以圆心为顶点，两半径为边的一个平角（180°），再对折，能得到一个以圆心为顶点，两半径为边的一个直角（90°）．【解答】解：拿一张圆形的纸，把它对折再对折，得到的角是直角．故答案为：√．【点评】本题是考查简单图形的折叠问题、角的意义及分类．根据图形对折的特征及直角的特征即可判断．20．【分析】如图，把这张纸展开后，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是90°，由于∠1盖住了一个和它相等的角，展开后就是∠2+2∠1＝90°，又知∠1＝32°，据此可求出∠1的度数．【解答】解：90°﹣32°×2＝90°﹣64°＝26°．答：∠2是26度，故原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题是考查简单图形的折叠问题及角度的计算．关键是∠1盖住了一个和它相等的角．21．【分析】对折1次后就是把它平均分成2份，对折2次后就是把它平均分成4份，一张纸对折3次，就是把这张纸平均分成8份，据此解答．【解答】解：把一张纸连续对折3次后，这张纸被平均分成了8份；故答案为：×．【点评】本题考查了简单图形的折叠问题．每对折一次，平均分成的份数都是上次分成份数的2倍．22．【分析】设第一条彩带长x米，则第二条长x+2.7米，又知第二条长6.9米，所以可得方程6.9＝x+2.7，解方程得到的x为第一条彩带长，再与第二条长度相加才得两条彩带一共长多少米．【解答】解：设第一条彩带长x米，x+2.7＝6.9x+2.7﹣2.7＝6.9﹣2.7x＝4.2，4.2+6.9＝11.1（米），答：两条彩带一共长11.1米．所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题考查了列方程解应用题，注意求得的x不是两条彩带一共的长度．23．【分析】由题意可知把原来的正方形平均分成了8份，∠1就是把360°的，（解答此题运用学生自己的动手操作能力，亲自拿一张正方形的纸折一下，再解答）．【解答】解：360°×＝135°，答：打开后图中∠1等于135度，故答案为：√．【点评】考查了简单图形的折叠问题，解答此题注意对折的方向以及对折的次数，可以实际操作一下，会变得简单明了．四．计算题（共1小题）24．【分析】（1）设每个大水桶有x千克，5个大水桶加两个2kg的小水壶一共44千克，则可列方程为5x+2+2＝44，解答即可；（2）设科技组有x人，绘画组是科技组的5倍，即5x，科技组和绘画组共168人，可列方程为5x+x＝168，解答即可．【解答】解：（1）设每个大水桶有x千克，5x+2+2＝445x＝40x＝8答：每个大水桶有8千克．（2）设科技组有x人，5x+x＝1686x＝168x＝28答：科技组有28人．【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．五．应用题（共6小题）25．【分析】根据题意可得等量关系式：1听饮料的单价×3+一个铅笔盒的单价＝11元，设一听饮料x元，然后列出方程解决问题即可．【解答】解：设一听饮料x元，3x+3＝113x＝8x≈2.67答：1听饮料大约2.67元．【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．26．【分析】首先根据题意，设B客车的速度是x千米/时，然后根据：两车的速度之和×两车相遇用的时间＝两地之间的距离，列出方程，求出B客车的速度是多少即可．【解答】解：设B客车的速度是x千米/时，3.5（x+68）＝4903.5（x+68）÷3.5＝490÷3.5x+68＝140x+68﹣68＝140﹣68x＝72答：B客车的速度是72千米/时．【点评