专题04复数（重难点突破）

专题04复数1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的______和______.若______，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R).(4)．复数：形如的数叫做复数，其中a,b分别叫它的和．(5)．分类：设复数：(1)当＝0时，z为实数；(2)当0时，z为虚数；(3)当＝0,且0时，z为纯虚数.(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作____或________，即|z|＝|a＋bi|＝__________.2.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝________________________(c＋di≠0).3.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)__________.一、复数的有关概念例1．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（文））已知复数，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为，则.故选：B.【变式训练11】、（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）（多选题）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A． B．z的虚部是4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】AD【解析】【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】复数，则，故A正确；的虚部是，故B错误；，是实数，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：AD二、复数的四则运算例2．（1）、（2022·陕西·高新一中高三阶段练习（文））若复数z满足，则（）A． B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】直接对原式两边求模，再根据复数模的计算公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，即.，故选：B.（2）、（2022·河南·一模（理））已知为虚数单位，复数满足，则_________．【答案】##【解析】【分析】根据复数相等，应用复数的除法求复数z即可.【详解】由题设，.故答案为：.【变式训练21】、（2022·浙江·高二期末）i为虚数单位，复数______．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】故答案为：.【变式训练22】、（2022·广东五华·一模）若，其中a，，是虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用复数相等，列式求，即可求解.【详解】，所以，得.故选：B三、复数的几何意义例3．（2022·浙江省龙游中学高二期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【详解】复数在复平面内对应的点为则复数在复平面内对应的点位于第四象限故选：D【变式训练31】、（2021·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.【详解】，，，对应点在第四象限，故选：D四、复数的综合应用例4．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数，是实数.(1)求复数z；(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果(1)因为，所以，因为是实数，所以，解得.故.(2)因为，所以.因为复数所表示的点在第二象限，所以解得，即实数m的取值范围是.【变式训练41】、（2022·上海·复旦附中高二期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；(2)若，求实数a的值.【答案】(1)，(2)或【解析】【分析】（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解；（2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得