第4讲四边形（题型精讲）

第4讲四边形（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：平行四边形角度1：平行四边形的判定角度2：平行四边形的性质角度3：平行四边形的判定与性质综合角度4：三角形中位线题型二：矩形角度1：矩形的判定角度2：矩形的性质角度3：矩形的判定与性质综合题型三：菱形角度1：菱形的判定角度2：菱形的性质角度3：菱形的判定与性质综合题型四：正方形角度1：正方形的判定角度2：正方形的性质角度3：正方形的判定与性质综合题型五：四边形综合角度1：中点四边形角度2：利用平行四边形对称性求阴影面积角度3：平行四边形中动点问题角度4：四边形综合问题题型六：多边形问题角度1：多边形内角和角度2：多边形外角和角度3：多边形对角线角度4：平面镶嵌第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：平行四边形定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形记作“，读作“平行四边形”.知识点二：平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；且；且；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；5.平行四边形面积等于底和底边上的高的积知识点三：平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点四：矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，记作：矩形矩形与平行四边形的关系：矩形是特殊的平行四边形知识点五：矩形的性质①矩形作为特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分②性质1：矩形的四个角都是直角几何语言：∵四边形是矩形∴③性质2：矩形对角线相等几何语言：∵四边形是矩形∴④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点六：矩形的判定判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（定义）几何语言：∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形符号语言：在四边形中，∴四边形是矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形．符号语言：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形．知识点七：菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点八：菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.知识点九：菱形判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.知识点十：正方形定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

知识点十一：正方形性质1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形对边平行且相等。4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.知识点十二：正方形的判定1、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形2、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形3、有一组邻边相等的矩形是正方形4、对角线互相垂直的矩形是正方形5、有一个角是直角的菱形是正方形6、对角线相等的菱形是正方形知识点十三：多边形定义在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．（1）相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．知识点十四：多边形性质（1）多边形内角和边形的内角和为()．内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；（2）多边形的外角和多边形的外角和为360°．①在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；②正边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；③多边形的外角和为360°的作用是：已知各相等外角度数求多边形边数；已知多边形边数求各相等外角的度数．（3）对角线过变形一个顶点可引条对角线，变形共有条对角线知识点十五：正多边形的性质（1）边：正边形的各边相等（2）内角：正边形的每个内角都相等，等于（3）外角：正边形的每个外角都相等，等于（4）对称轴：正边有条对称轴.第二部分：课前自我评估测试1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知，那么的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，，∴，故选B．2．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设内角和的度数与四边形外角和的度数分别为，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．无法比较与的大小【答案】B【详解】解：∵多边形的外角和为，的内角和为，∴，，∴，故选：B．3．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）下列说法错误的是（

）A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形【答案】C【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意；D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；故选C．4．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】解：A．∵，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；B．∵，∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；C．由，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；D．∵，，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；故选：C．5．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期末）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线平分一组对角 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【详解】解：A、有两条边和两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故选项A不合题意；B、矩形的对角线互相平分且相等，故选项B不合题意；C、菱形的对角线平分一组对角，故选项C符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意．故选：C．6．（2022秋·四川泸州·八年级统考期中）一个多边形的内角和等于，则它是________边形．【答案】六【详解】解∶设这个多边形的边数为n，则，解得．故答案为：六．7．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是__________．【答案】八边形【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，∴设这个外角是x，则内角是，根据题意得：，解得：，（边），故答案为：八边形．8．（2022秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．【答案】##240度【详解】解：四边形的内角和为，即，，∴，∵剪去后变成五边形，∴五边形的内角和为，即，∴，故答案为：．第三部分：典型例题剖析题型一：平行四边形角度1：平行四边形的判定典型例题例题1．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（

）A． B．，C．平分 D．，【答案】D【详解】解：A、由AC=BD无法得出四边形ABCD是平行四边形；B、由ABCD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形；C、由AC平分BD无法得出四边形ABCD是平行四边形；D、∵ADBC，∴∠ADO＝∠CBO，∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意，故选：D．例题2．（2022秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）A．， B．，C． D．【答案】C【详解】解：A、四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵，，，，∴，四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意；D、，∴，∴四边形两组对边分别平行，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．例题3．（2022秋·全国·八年级假期作业）已知、、三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】∵点A、B、C不在同一条直线上时，∴顺次连接A、B、C三点可得△ABC，∴分别以AB、BC和AC为对角线各作出一个以点A、B、C为顶点的平行四边形，如下图所示：∴当A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有3个.故选C.例题4．（2022春·天津·八年级天津二中校考期中）如图,在平行四边形中,,,、相交于点,则图中共有__________个平行四边形.【答案】9【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AD,GH∥AB,∴,AD//BC所以是平行四边形的有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO；▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个.故答案为:9.例题5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且，，(1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】（1）证明：在平行四边形中，、，∴，又∵，，∴，∴；（2）证明：由（1）可得，则，∵，，∴，∴：四边形是平行四边形．例题6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，四边形是矩形，连接交于点，的平分线交于点．(1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：四边形是平行四边形．证明：∵四边形是矩形∴，∴∵平分，平分∴∴∵在和中∴∴又∵∴四边形是平行四边形【答案】(1)见解析(2)；；；【详解】（1）解∶如图，即为所求；（2）证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．故答案为：；；；例题7．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在矩形中，是上一点，连接．(1)用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）．(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）．（2）证明：∵四边形为矩形∴，，①∵∴②∴，∴③即④又∵∴四边形是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)，，，【详解】（1）解：作图如下：（2）证明：∵四边形为矩形∴，，，∵，∴，∴，，∴即又∵∴四边形是平行四边形．故答案为：，，，例题8．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在四边形中，对角线交于点O，，，点是中点，点F是中点，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长分别交边于点、，连接并延长交于点，连接并延长交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的平行四边形．【答案】(1)见解析(2)，，，（1）证明：∵，点E是中点，点F是中点，∴，∴，∵，∴，∴．（2）图中的平行四边形有：，，，，理由如下，∵，，∴四边形是平行四边形，由（1）可得，又，∴四边形是平行四边形，∴，，∵DM∥BN，∴四边形是平行四边，∵DG∥BH，∴四边形是平行四边形，综上所述，图中的平行四边形有：，，，．角度2：平行四边形的性质典型例题例题1．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵的周长是，∴∴，∵的周长是，∴，∴．故选：C．例题2．（2022春·山东临沂·八年级校考期末）如图，是面积为的内任意一点，的面积为，的面积为，则（

）A． B．C． D．的大小与点位置有关【答案】C【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，∴S1+S2=AD×PF+BC×PE=AD×（PE+PE）=AD×EF=S，故选C．例题3．（2022秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图，中，连接，是上一点，连接并延长交于，交延长线于点，若，则________．【答案】【详解】解：如图，过点E作，∴，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：或（舍去），故答案为：例题4．（2022春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）如图，中，，，平分交于点，则的长为________．【答案】2【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BCBE=53=2，故答案为：2．例题5．（2022春·八年级课时练习）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，求证：．【答案】见解析【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，≌（ASA），．例题6．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，(1)若点、是、的中点，连接、，求证：；(2)若平分且交边于点，如果，，试求线段的长．【答案】(1)见解析(2)3（1）证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AD=BC，∵点E、F是、的中点，∴，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，CD=AB=5，∴∠ADF=∠CFD，∵平分，∴∠ADF=∠CDF，∴∠CFD=∠CDF，∴CF=CD=5，∴BF=BCCF=85=3．例题7．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），设运动时间为（s）．(1)当点运动秒时，线段的长度为________cm；当点运动2秒时，线段的长度为________cm；当点运动5秒时，线段的长度为________cm；(2)若经过秒，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有的值【答案】(1)；7；5(2)t的值为6或10或12【详解】（1）当点P运动t秒时，线段的长度为；当点P运动2秒时，线段的长度为；当点P运动5秒时，线段的长度为（2）∵P在上运动，，即，∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，已有，还需满足，

①当点Q的运动路线是CB时，，由题意得：不合题意

②当点Q的运动路线是CBC时，，由题意得：，解得:；③当点Q的运动路线是CBCB时，由题意得：，解得：④当点Q的运动路线是CBCB–C时，，由题意得:，解得:综上所述，t的值为6或或,角度3：平行四边形的判定与性质综合典型例题例题1．（2022春·贵州黔东南·八年级校考期中）如图，在中，，、分别是、的中点，在延长线上，使，，，则四边形的周长为（

）A．16 B．20 C．18 D．22【答案】A【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=8，∴BC=10，∵E是BC的中点，∴AE=BE=5，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DEAC，DE=AC=3，∵AF=AC，∴DE=AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．故选A．例题2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______．【答案】4【详解】解：在平行四边形中，，，，，，故,、分别是线段、的中点，是的中位线，∴，，则的长为：．故答案为：．例题3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．(1)求证：；(2)若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为___________．【答案】(1)见解析；(2)3．【详解】（1）证明：四边形为正方形，，四边形是平行四边形，，，，即；（2）解：平行四边形的面积为，，四边形为正方形，，，，，，故答案为：3．例题4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，、交于点，，．(1)求证：；(2)不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．【答案】(1)见解析；(2)四边形，四边形，四边形，四边形．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形．∵四边形是菱形，∴，，，∴四边形是矩形，∴，∴；（2）解：图中的平行四边形：四边形，四边形，四边形，四边形．例题5．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，过点的直线分别交，，交于点，，，交的延长线于点，且，．(1)若，求证：平分；(2)若，在不添加任何辅助线的条件下，你能找出图中有几对三角形全等，分别是哪些？请写出其中一对三角形全等的理由．【答案】(1)见解析(2)图中有4对三角形全等，分别为，，，，理由见解析【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即平分；（2）解：图中有4对三角形全等，分别为，，，，理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，，∴；∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；综上所述，图中有4对三角形全等，分别为，，，．例题6．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图在平行四边形中，为对角线的中点，过点的直线分别交，于点，．(1)求证：；(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．①，②．选择的条件：_________（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）【答案】(1)见解析；(2)①，四边形是矩形，证明见解析．【详解】（1）解：证明：四边形为平行四边形为对角线的中点（）；（2）解：四边形是矩形选择的条件：①证明：.四边形是平行四边形平行四边形是矩形选择的条件：②证明：四边形是平行四边形∵平行四边形是菱形角度4：三角形中位线典型例题例题1．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期末）如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵点E是的中点，∴是的中位线，∵，∴．故选：D例题2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为，则四边形的面积为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．例题3．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为30m，则，两点间的距离为______m，解决问题的依据是_______．【答案】

60

三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE＝30，∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．故答案为：60．例题4．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，点是上一点，，过点作，分别交于点，交于点.(1)求证：；(2)如果，求证：.【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：∵，∴，，∵，∴，∴；（2）证明：取中点G，连接，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．例题5．（2022春·八年级课时练习）要测量，两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，得到线段，，并取，的中点，，连结．只要测出的长，就可以求得，两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由．【答案】这种说法正确，理由见解析【详解】这种说法正确，理由如下：连接，，的中点为D，E，是的中位线，，只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离，所以，这个说法是正确的．题型一同类题型归类练1．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，点P是的重心，过点P作交，于D，E，交于点F，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接并延长交于点G，∵的重心点P，∴，∵，∴，，∴，∴，且，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴．故选：C．2．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）已知点是直线外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点作直线的平行线，根据尺规作图痕迹，直线不一定与直线平行的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A．连接，，根据作图可知，，∴四边形是平行四边形，∴，即，故A正确，但不符合题意；B．如图，根据作图可知，∴，故B正确，但不符合题意；C．如图，根据作图可知，，∴，故C正确，但不符合题意；D．如图，，根据作图可知，无法证明，故D错误，符合题意；故选：D．3．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（

）A．36 B．48 C．63 D．75【答案】C【详解】解：平行四边形的周长为60，，设为x，，，解得：，的面积为，故选：C．4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为______．【答案】20【详解】解：∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周长为＝，故答案：20．5．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，，过点B作，交的延长线于点F，则四边形的面积为_____．【答案】【详解】解：∵D、E分别为、的中点，∴，∵在中，，∴，∴，∵，，∴四边形为平行四边形，，∴，，∴四边形的面积为；故答案为：．6．（2022春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是______．【答案】【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∵，，∴由勾股定理得：，∴，，∵点，分别是，的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：．7．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若，，，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】【详解】解：过点A作于G，∵，∴，，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，，又，，，，故答案为：．8．（2022·模拟预测）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是______．【答案】8【详解】解：∵，平分交于点E，∴，又∵D为的中点，∴是的中位线，∴，∴的周长．故答案是8．9．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．【答案】7【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，∴，，∵的周长为6，的周长为20，∴，，∴，∴∵，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，即，∴．故答案为：7．题型二：矩形角度1：矩形的判定典型例题例题1．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，，、相交于点，连接．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形．例题2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校联考期中）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接交于点，连接，若．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形是平行四边形∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，又，∴，即，又∵，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．例题3．（2022秋·陕西汉中·九年级统考期末）如图，的对角线交于点，点在边的延长线上，连接，且，．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】证明：∵，∴，又∵，∴，∴，而，∴，又∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形．例题4．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．(1)求证：四边形是矩形．(2)若，求边的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：由折叠得：，，，，，同理，，四边形是矩形；（2）解：在中，，∴，由折叠得：，，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，．例题5．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，，，在同一条直线上，，分别是与的平分线，，，为垂足．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】∵，分别是与的平分线，，，即，，，∴四边形是矩形．例题6．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，在正方形中，是对角线上的一点，，，，分别为垂足，连结，，求证：．【答案】见解析【详解】证明：如图，连结．在和中，（正方形的对角线平分一组对角），（正方形的四条边相等），∴，∴．∵，∴．又∵（正方形的四个角都是直角），∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴（矩形的两条对角线相等），∴．角度2：矩形的性质典型例题例题1．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵四边形是矩形，∴∴，，，，在中，，设，则，解得：，．故选：A．例题2．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，矩形的周长为28cm，对角线，将矩形分成四个小三角形，若四个小三角形的周长和为68cm，的长度为（

）A．10cm B．14cm C．16cm D．无法确定【答案】A【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵矩形被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是68cm，∴，即，∵矩形的周长是28cm，∴，∴，∴，即，故选A．例题3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，故选：C．例题4．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考阶段练习）如图，矩形的边在的边上，两点、分别在边、上，已知cm，cm，cm，那么的面积是_______．【答案】【详解】解：过A作于H，交于，∵，四边形是矩形，∴四边形是矩形，则cm，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，即，解得：（cm），∴（cm），∴；故答案为：．例题5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为_____．【答案】【详解】解：设，则，∵沿翻折后点C与点A重合，∴，在中，，即，解得，∴，由翻折的性质得，，∵矩形的对边，∴，∴，∴，过点E作于H，则四边形是矩形，∴，，∴，在中，．故答案为：．例题6．（2022秋·湖南常德·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向点以的速度运动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点运动开始后第几秒时，的面积等于？【答案】或【详解】解：∵四边形是矩形∴设点运动开始后第秒时，的面积等于；由题意得：解得：，答：点运动开始后第秒或秒时，的面积等于．例题7．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，已知、是矩形的对角线，过点作，交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析【详解】证明：∵四边形是矩形，、是矩形的对角线，∴，，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．例题8．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点和点分别从点和点同时出发，点沿折线按点方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，点和点的运动速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．(1)当点F运动到的中点时，求的长；(2)当的面积是矩形面积的时，请直接写出t的值；(3)若点不与点和点重合，在点和点的运动过程中，矩形的边上有一点，且点，，，构成的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长．【答案】(1)0.5(2)t的值为或(3)线段GE的长为或【详解】（1）解：矩形中，，，．点是的中点，．的运动速度是每秒1个单位长度，当点运动到的中点时秒，点的运动速度是每秒1个单位长度，，；（2）①当点在上时，过点作于点，如图，由题意得：，则，，，，，，，，的面积，，，．②当点在上时，过点作于点，如图，由题意得：，则，，，，，，，，．的面积，，解得：或（不合题意，舍去），．综上，当的面积是矩形面积的时，的值为或；（3）①当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，此时，，，，四边形为平行四边形，，，，，．，，，．．．；②当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，此时，，，，，四边形为平行四边形，，，四边形是矩形，，，，，，，，，此时，点与点重合，不合题意，舍去；③当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，此时，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，．，，，，，；④当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，此时，，，，，，四边形为平行四边形，，，四边形是矩形，，，，，，，，（不合题意，舍去），综上，点，，，构成的四边形是平行四边形，线段的长为或．角度3：矩形的判定与性质综合典型例题例题1．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，已知在矩形中，，为对角线上的一动点，于点，于点接，连接．若，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，连接．∵，∴设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，即，解得：（舍去负值），∴，．∵于点E，于点接F，∴四边形为矩形，∴，∴当最小时，最小．由垂线段最短可知：当时，最小，即此时为边上的高，∵，∴，即，解得：．∴最小值为．故选D．例题2．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，，则的长是______．【答案】##厘米【详解】∵四边形是矩形，，，∴，，，，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∵F为的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：.例题3．（2022秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，且．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求矩形的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∴平行四边形为矩形；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，由（1）可知，四边形为矩形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．例题4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在中，，点是边的中点，连接，分别过点，作，交于点，连接，交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，则的长为___________．【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）解：证明∶∵，点D是边的中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形；（2）解：如下图，过点E作于F，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴，故答案为．题型二同类题型归类练1．（2022秋·山西吕梁·九年级校考期中）如图，某公司准备在一个等腰直角三角形的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P在上点N，M分别在，上，记，，图中阴影部分的面积为S，若在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D【详解】解：设为常数，在中，，，为等腰直角三角形，，四边形PMBN是矩形，，，即，与x成一次函数关系；，与x成二次函数关系．故选D．2．（2022秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（

）A．28 B．26 C．22 D．18【答案】A【详解】解：，，是的中点，，在和中，，，，，，，四边形的周长，当最小时，即时四边形的周长有最小值，，，，四边形为矩形，，四边形的周长最小值为，故选：A．3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论：①；②当时，平分；③连接，周长的最小值为；④当或6或时，为等腰三角形．其中正确的个数有

（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：长方形中，，，，设，则，则，解得x=3，故①正确；长方形，，，由①知，，，，，平分；故②正确，连接，延长到点E，使得，连接，交AD于点P，此时最小，且最小值为的长，根据勾股定理，得，周长的最小值为；故③正确；，时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形，过点E作，垂足为F，长方形中，，，，，四边形是矩形，，，；当时，为等腰三角形，过点P作，垂足为H，长方形中，，，，四边形是矩形，，，,，解得；故当或6或时，为等腰三角形．所以④正确，故选D．4．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，△ABC中，，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，于点F，交CA的延长线于点G，已知，则AD的长为_______．【答案】3.5【详解】解：AD为BC边上的高线，，，，，，，如图，作于H，则，，∴四边形是矩形，．故答案为：3.55．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______．【答案】【详解】解：连接AD,∵，且，，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴当时，的值最小，此时，的面积，∴，∴的最小值为；故答案为：．6．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．(1)求证：四边形是矩形．(2)若是的平分线．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，是的平分线，，，，，，．7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）在矩形中，是对角线于点，于点．(1)如图1，求证；(2)如图2，当时，连接、、、交于点，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的．【答案】(1)见解析(2)、、、【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）由（1）得，，，；∴四边形是矩形，∴，，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，设，则，∴，，∴，，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵矩形的面积为：，∴．题型三：菱形角度1：菱形的判定典型例题例题1．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形【答案】A【详解】解：连接，在中，∵∴，同理，又∵在矩形中，，∴，∴四边形为菱形．故选：A．例题2．（2022秋·山东青岛·九年级青岛三十九中校考期末）下列命题中，真命题是（

）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A为假命题，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B为真命题，符合题意；C、对角线互相平分是四边形是平行四边形，故C为假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D为假命题，不符合题意；故选：B．例题3．（2022秋·湖北黄石·八年级校考阶段练习）如图，，是正方形对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是菱形．【答案】见解析【详解】连接交于点．四边形是正方形，，，且⊥．，﹣﹣，即．又，四边形是平行四边形．又⊥，平行四边形是菱形；例题4．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在中，是对角线，且，、分别为边的中点，连接．求证：四边形是菱形．【答案】详见解析【详解】证明：∵E、F分别为边的中点，∴，又∵在中，∴，∴四边形为平行四边形．∵∴∴为直角三角形，又∵F为边的中点，∴．又∵四边形为平行四边形，∴四边形是菱形．例题5．（2022秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和．(1)求证：(2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明；【答案】(1)见解析(2)且，见解析【详解】（1）证明：∵平行四边形，∴，∴∵∴（2）补充条件为：且，证明：在平行四边形中，，．∴四边形是平行四边形，∵且∴是等边三角形，∴，又∵．∴∴平行四边形是菱形．例题6．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点．(1)求证：；(2)连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．条件①：；条件②：．【答案】(1)见解析(2)选择条件①，四边形是矩形；选择条件②，四边形是菱形．证明见解析【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，分别是，的中点，，在和中，，，；（2）解：连接、，选择条件①，四边形是矩形；证明：四边形是平行四边形，，，，分别是，的中点，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是矩形；选择条件②，四边形是菱形．证明：四边形是平行四边形，，，，分别是，的中点，，，，四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，四边形是菱形．角度2：菱形的性质典型例题例题1．（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，则等于（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【详解】解：∵E是BC的中点，AE⊥BC，∴AB=AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD平分∠ABC，∴AB=BC=AC，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=∠ABC＝30°，∴∠AFD=∠EFB=90°∠EBF=60°故选：C．例题2．（2022秋·广东深圳·九年级期末）如图，菱形中，,分别是，的中点．若菱形的周长为32，则线段的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【详解】解：∵菱形的周长为32，∴，∴，∵E，F分别是，的中点．∴是的中位线，∴，故选：A．例题3．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点，若，，则________．【答案】3【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案为：3．例题4．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为12，则的长为_________．【答案】【详解】解：，，四边形是菱形，，，，（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），，，由得，，，，，，故答案为：．例题5．（2022春·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，是菱形的对角线的交点，，分别是，的中点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④是轴对称图形．其中正确的结论有______．【答案】①②④【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴AE＝EO＝FO＝CF，∴EF＝AC，∵EO＝OF，BO＝DO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，故①正确；∵S四边形ABCD＝AC×BD，∴S四边形ABCD＝EF×BD，故②正确；∵Rt△ADO中，DE是AO的中线，∴∠ADE≠∠EDO，故③错误；∵四边形BEDF是菱形，∴△DEF是等腰三角形，∴△DEF是轴对称图形，故④正确；综上分析可知，正确的结论是①②④．故答案为：①②④．例题6．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，在菱形中，于点，，，求菱形的边长．【答案】【详解】解：∵，设，则，勾股定理得，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，解得，∴，则菱形的边长为．例题7．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明，如下：∵四边形是菱形，∴，，∵于点，于点，∴，∴，∴．（2）∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面积为：．角度3：菱形的判定与性质综合典型例题例题1．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在的两边上分别截取，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：根据作图方法，可得，∵，∴，∴四边形是菱形．∵，四边形的面积为，∴，解得．故选C．例题2．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为______．【答案】【详解】设交于，如图：在菱形中，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故答案为：．例题3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______．【答案】【详解】解：设交于点，如图所示，根据作图可知分别为的角平分线，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，∵，∴，在中，，∴菱形的周长为，故答案为：．例题4．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．(1)求证：四边形为菱形．(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵，，∴矩形的面积，∵，∴菱形的面积．例题5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵矩形，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，由（1）知：四边形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理，得，∴，∴，答：菱形的面积为．例题6．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在四边形中，，是的中点，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作于点F，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，E是的中点，∴，又∵，，∴四边形是平行四边形．∴四边形是菱形；（2）过点A作于点G，∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∵，∴．题型三同类题型归类练1．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：根据作图方法，可得，∵，∴，∴四边形是菱形．∵，四边形的面积为，∴，解得．故选C．2．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为______．【答案】【详解】设交于，如图：在菱形中，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故答案为：．3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______．【答案】【详解】解：设交于点，如图所示，根据作图可知分别为的角平分线，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，∵，∴，在中，，∴菱形的周长为，故答案为：．4．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．(1)求证：四边形为菱形．(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵，，∴矩形的面积，∵，∴菱形的面积．5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵矩形，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，由（1）知：四边形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理，得，∴，∴，答：菱形的面积为．6．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在四边形中，，E是的中点，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点E作于点F，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，E是的中点，∴，又∵，，∴四边形是平行四边形．∴四边形是菱形；（2）过点A作于点G，∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∵，∴．7．（2022春·八年级课时练习）如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求：(1)的度数．(2)的度数．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴；（2）连接，如图所示：∵四边形和四边形都是菱形，，，∴，，∴．8．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形．∵，，∴，∴四边形是菱形．（2）解：∵，，由（1）知，在中．∵四边形是菱形，∴，，．∵，∴，∴．题型四：正方形角度1：正方形的判定典型例题例题1．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【答案】D【详解】解：A．对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；故选：D．例题2．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是A． B． C． D．【答案】B【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．添加，能使矩形成为正方形．故选：B．例题3．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在矩形中，点，分别在边上，，且，与相交于点．求证：矩形为正方形；【答案】见解析【详解】∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴四边形是正方形；例题4．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．(1)求证：；(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；(3)若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．【答案】(1)证明见解析(2)四边形是菱形，证明见解析(3)当时，四边形是正方形．证明见解析【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴．（2）四边形是菱形．理由如下：由（1）得，，∵，点为的中点∴，∴，∵∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．（3）当时，四边形是正方形．证明，如下：∵，∴又∵点为的中点∴∴∴又∵四边形是菱形∴四边形是正方形．例题5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，，点，分别是，的中点．(1)求证：(2)求证：四边形是菱形(3)给三角形添加一个条件_________，使得四边形是正方形，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析【详解】（1）证明：，，，，，；（2）证明：由（1），，，四边形是平行四边形，，点，分别是，的中点，，，，四边形是平行四边形．，点是的中点，，平行四边形是菱形；（3）解：当时，四边形是正方形，理由：由（2）知四边形是菱形，，点是的中点，，即，菱形是正方形．故答案为：.角度2：正方形的性质典型例题例题1．（2022秋·广东江门·九年级新会陈经纶中学校考期中）如图，点是正方形内一点，把绕点旋转至的位置，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵把绕点旋转得到，∴，∵四边形为正方形，∴，故选：A．例题2．（2022秋·河南南阳·八年级校考期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则（

）A．135° B．125° C．120° D．90°【答案】A【详解】解：观察图形可知：，，又，，，故答案为：例题3．（2022秋·全国·九年级期末）如图，正方形的边长为6，点，分别在上，，连接与相交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（

）A． B． C．5 D．【答案】B【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵点H是的中点，∴，∵，∴，∴．故选：B例题4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，是的黄金分割点，，以为边的正方形的面积为，以、为边的长方形的面积为，则与的关系为（）A． B． C． D．无法判断【答案】C【详解】由题意得，．∵C是的黄金分割点，∴，∴，即．故选：C．例题5．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，在中，，点在线段上，过点作于点，于点F，若四边形为正方形，，，则阴影部分的面积为________．（提示：线段可看作由绕点顺时针旋转得到）【答案】30【详解】解：如图，过点D作交延长线于点H，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴阴影部分的面积．故答案为：30例题6．（2022秋·河南商丘·九年级校联考阶段练习）如图，四边形是正方形，、分别在边上，将分别沿折叠后，重合于的位置，且点恰好在连线上．若正方形边长为12，线段长为10，则的长为_____．【答案】6或8##8或6【详解】解：由折叠的性质可得，∵，∴，∵四边形是正方形且边长为12，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得或，∴的长为6或8，故答案为：6或8．例题7．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，边长为6cm的正方形先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2【答案】13.5####【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，∴由平移的性质可得阴影部分是矩形，∵根据题意得：阴影部分的宽为63=3（cm），长为61.5=4.5（cm），∴S阴影部分=3×4.5=13.5（cm2），故答案为13.5cm2．例题8．（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期末）如图，在正方形中，点在上，连接．（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，分别与、交于点、；（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程）证明：四边形是正方形，，，，，__________，__________，又，____________________，在和中：（____________________），．．【答案】（1）见解析；（2），，，，已证【详解】（1）解：如图，为所作；（2）证明：四边形是正方形，，，，，，，又，．在和中，（已证），．故答案为：，，，，已证．角度3：正方形的判定与性质综合典型例题例题1．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在中，，，则：，∵，，，全等，∴，，∴，同理可得：，∴，又∵，∴，∴四边形是正方形，则四边形面积为：，故选：B．例题2．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，点，分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为__________．【答案】20【详解】如图，设，则，，设，，，，由，，，故答案为：20．例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）已知正方形的边长为8，点为正方形边上一点，，则线段的长为______．【答案】6或【详解】解：当点E在边上时，如图：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，当点E在边上时，如图：∵，，∴．故答案为：6或．例题4．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在正方形中，，分别是的中点．若，则的长是____．【答案】1【详解】连接，因为正方形，，所以，因为E，F分别是的中点，所以．故答案为：1．例题5．（2022秋·全国·九年级期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．(1)求证：矩形是正方形；(2)求的值；(3)若恰为的中点，求正方形的面积．【答案】(1)见解析；(2)6；(3)．【详解】（1）证明：如图，作于M，于N．∵四边形是正方形，∴，∵于M，于N，∴，∵，∴四边形是矩形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴四边形是正方形；（2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴；（3）解：连接，∵四边形是正方形，∴，，∵F是中点，∴，∴，∴正方形的面积．例题6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接．(1)求证：矩形是正方形；(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)是定值，【详解】（1）解：如图所示，过作于点，过作于点，四边形为正方形，，，，，，四边形为矩形，，，即，是正方形对角线的点，，在和中，，，

，矩形为正方形．（2）的值为定值，矩形为正方形，，，四边形是正方形，，，，即，在和中，

，，，，．题型四同类题型归类练1．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④AD=AG．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＋∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠HAE＝∠B，AE＝BE，∠AEH＝∠BEC，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴BC＝AH＝AD，∴AG＝DH＝AD，故④正确；∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE＋∠AGD＝90°，∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF，故③正确；故选：D．2．（2022秋·安徽宿州·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM＝，故DN+MN的最小值是5．故选：C．3．（2022春·江苏·九年级专题练习）我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于________．【答案】【详解】解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，∴∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴BA＝BE，∴AB＝BE＝EF＝FA，又∵∠B＝90°，∴四边形ABEF是正方形，∴EF＝BE＝AB，∵矩形ABCD是黄金矩形，∴＝，∴＝＝，故答案为：．4．（2022·北京海淀·八年级校考期中）如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)EF=DF+BE（1）解：依题意补全图形，如图，（2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EF=DF+BE，理由如下：如图，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，∵∠M=∠F=∠AEF=90°，∴四边形AEFM是矩形，∴∠DAE+∠MAD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE+∠DAE=90°，AB=AD，∴∠BAE=∠MAD．又∵∠AEB=∠M=90°，∴△AEB≌△AMD（AAS）∴BE=DM，AE=AM，∴矩形AEFM是正方形，∴EF=MF，∵MF=DF+DM，∴EF=DF+BE．5．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）已知：在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、AB和CD上．FG⊥ED，垂足为H．(1)如图1，点G与点C重合，求证FG=ED；(2)如图2，点G与点C不重合，延长FG交BC的延长线于点M，若H为FM的中点，求证：AF=CM；(3)在（2）的条件下，若AF=1、BF=2，求BE的长；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠FBC=∠EGD=90°，∴∠EGH+∠DGH=90°．∵FG⊥ED，∴∠EDG+∠DGH=90°．∴∠EDG=∠FGB，∴△BGF≌△CDE，∴FG＝ED．（2）如图2，连接DF，DM，∵FG⊥ED，垂足为H，且H为FM的中点，∴DE垂直平分FM，∴DF＝DM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A=∠DCM=90°，∴△ADF≌△CDM，∴AF＝CM．（3）如图3，连接EF，由（2）知，DE垂直平分FM，∴EF＝EM．∵AF＝1，BF＝2，∴BC＝AB＝3，CM＝AF＝1，∴BM＝BC＋CM＝4，设BE＝x，则EF＝EM＝4﹣x，在Rt△BEF中，，即，解得，∴BE的长为．6．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知：如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，，相交于点P，并且．(1)如图1，判断和的位置关系？并说明理由；(2)若，，求的长度；(3)如图2，，，点F在线段上运动时(点F不与C、D重合)，四边形是否能否成为正方形？请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)4.8(3)四边形不能成为正方形，理由见解析（1）解：，理由如下，∵四边形是正方形，∴，，∴和是，又∵，∴(HL)，∴，在中，，∴，∴，∴，即；（2）解：∵在中，，∴，又∵，∴，∴；（3）解：四边形不能成为正方形，理由如下．∵DN⊥AE，AE⊥BF，∴∠AND=∠APB=90°，∴∠DAN+∠AND=90°，∵四边形是正方形，∴，∴∠BAP+∠DAN=90°，∴∠BAP=∠AND，∴(AAS)，∴，∴，又∵点F在线段上运动时(点F不与C、D重合），∴P、E不重合，∴，即四边形不能成为正方形．题型五：四边形综合角度1：中点四边形典型例题例题1．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（

）A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形【答案】A【详解】解：如图，∵，，，分别为，，，的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，，∴，∴四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形．故选：A．例题2．（2022春·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在矩形中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形若，，则四边形的周长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接、，在中，，四边形是矩形，，、分别是、的中点，，，同理，，，，，四边形为菱形，四边形的周长，故选：C．例题3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且．理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，∴，，，，，，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴，∵，，∵，∴，∴菱形是正方形．故选：D．例题4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，四边形中，对角线，且，，各边中点分别为，，，，顺次连接得到四边形；再取各边中点，，，，顺次连接得到四边形；依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为____．【答案】（或或，只要答案正确即可）【详解】∵四边形中，对角线，且，∴∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半∴以此类推，角度2：利用平行四边形对称性求阴影面积典型例题例题1．（2022秋·陕西渭南·九年级校考期末）如图，在矩形中，，，点，，，依次是边，，，上的点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为（图中阴影），则的最大值为_________．【答案】【详解】解：∵在矩形中，，，，又∵，∴，，∴，，设，∴∴当时，有最大值，故答案为：例题2．（2022秋·九年级单元测试）如图，点是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于、、、，则当绕点旋转时，图中的阴影部分是否关于点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由．【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由：如图，连接，∵点O是边长为2的正方形的对称中心，∴过点O，∴，在和中，∴，，同理可证，∴，∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接，∵点O是正方形的对称中心，∴，，．∵垂直，∴，∴，即，∴，∴的面积的面积，∴四边形的面积的面积正方形的面积．同理四边形的面积正方形的面积．∴两部分的面积不改变．角度3：平行四边形中动点问题典型例题例题1．（2022秋·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度沿运动，点从点出发的同时点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动．设点，运动的时间为．(1)从运动开始，当取何值时，四边形是平行四边形