专项28反比例图像与一次函数综合应用（三大类型）（解析卷）

专项28反比例图像与一次函数综合应用（三大类型）考点反比例与一次函数的综合方法1：分类讨论的符号；方法2：四个图逐个分析判断；方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）【类型一：反比例图形与一次函数图形】【典例1】反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝经过第一、三象限，不符合题意；C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意；D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，符合题意；故选：D．【变式11】在同一平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵y＝x中的1＞0，∴直线y＝1x经过第一、三象限．∵y＝﹣中的﹣2＜0，∴双曲线y＝﹣经过第二、四象限，综上所述，只有B选项符合题意．故选：B．【变式12】在同一平面直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x+3的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵反比例函数y＝中，3＞0，∴反比例函数过第一、三象限，∵y＝x+3中，k＝1＞0，b＝3＞0，∴一次函数过第一、二、三象限；故选：A．故选：D．【类型二：反比例函数与一次函数的大小比较】【典例2】（2022•普陀区校级开学）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜0或＜x＜3 B．x＜或x＞3 C．0＜x＜或x＞3 D．x＜0或x＞3【答案】C【解答】解：根据图象得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜或x＞3，故选：C．【变式21】（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2【答案】A【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．【变式22】（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（）A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2【答案】D【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，∴B（2，﹣m），∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，故选：D．【变式23】（2022•渠县一模）如图，直线y＝ax+b与函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点，与x轴交于点C，且，则不等式ax+b＞的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则AD∥BE，∴＝＝，∵A（1，m）、B（n，1），∴AD＝m，BE＝1，∴m＝3，∴A（1，3），∵函数y＝（x＞0）的图象国过点A（1，3）、B（n，1）两点，∴k＝1×3＝n•1，∴n＝3，∴B（3，1），观察图象，不等式ax+b＞的解集为1＜x＜3，故选：D．【类型三：反比例函数与一次函数综合应用】【典例3】（2022•大足区模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（n，﹣1），与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P在x轴上，且满足S△APB＝8，求点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入（k2≠0）中，得k2＝﹣3，∴反比例函数的解析式为．将点B（n，﹣1）代入中，得n＝3，∴点B的坐标为（3，﹣1），将A（﹣1，3），B（3，﹣1）代入y＝k1x+b（k1≠0）中，得，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2．（2）对于一次函数y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2，∴点C的坐标为（2，0）．设点P坐标为（a，0），∵S△APB＝S△ACP+S△BCP＝8，即|2﹣a|×3+|2﹣a|×1＝8，∴|a﹣2|＝4，解得a＝﹣2或a＝6．∴点P的坐标为（﹣2，0）或（6，0）．【变式31】（2022•咸丰县模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象上A、B两点的坐标分别为A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n）．（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵A、B两点在的图象上，而A（n，n+1），B（n﹣5，﹣2n），∴n（n+1）＝（n﹣5）（﹣2n），即n2+n＝﹣2n2+10n3n2﹣9n＝0，解得n1＝0，n2＝3∵的图象与坐标轴没有交点，∴n1＝0舍去，∴n＝3，∴A（3，4），B（﹣2，﹣6），∴k＝3×4＝12，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，则，解得：∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，反比例函数解析式为：；（2）设直线AB交x轴于点D，则当y＝0时，2x﹣2＝0，∴x＝1，∴D（1，0），∴∴△AOB的面积为5．【变式32】（2021秋•金水区校级期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，连接OM、ON．（1）求反比例函数表达式．（2）求△MON的面积．【解答】解：（1）由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得AC＝OB＝8，OA＝BC＝6，M（8，3），N点的纵坐标是6，∴BM＝3，将M点坐标代入函数解析式，得k＝8×3＝24，反比例函数的解析是为y＝；（2）当y＝6时，＝6，解得x＝4，∴N（4，6），∴AN＝4，∴NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，∴S△MON＝S矩形AOBC﹣S△AON﹣S△BOM﹣S△MCN＝AC•BC﹣OA•AN﹣OB•BM﹣NC•NM＝6×8﹣×6×4﹣×8×3﹣×4×3＝18，即△MON的面积为18．1.函数y＝x﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系内的图象可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，相矛盾，故选项不可以；B、由函数y＝x﹣a的图象可知a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故选项不可以；C、函数y＝x﹣a的图象错误，故选项不可以；D、由函数y＝x﹣a的图象可知a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，一致，故故选项可以；2．（2014•无锡一模）如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：根据反比例函数的几何意义可得，S△ABP＝＝2，又∵函数图象在第一象限，∴k＝4．故选：D．3．（2021•长沙模拟）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：设直线AB与x轴交于点C．∵AB∥y轴，∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．∵点A在双曲线y＝的图象上，∴△AOC的面积＝×10＝5．∵点B在双曲线y＝的图象上，∴△COB的面积＝×6＝3．∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．故选：B．4．（2022•江汉区校级模拟）若一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝（m＜0）的图象交于点A（﹣3，y1），B（1，y2），则不等式kx2+bx﹣m＜0的解集是（）A．x＞1或x＜﹣3 B．0＜x＜1或x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0或x＞1 D．﹣3＜x＜0或0＜x＜1【答案】A【解答】解：∵m＜0，∴反比例函数y＝（m＜0）的图象在第二、四象限，如图，当x＞0时，∵kx2+bx﹣m＜0，∴kx+b＜，由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象下方时，x的取值范围是：x＞1，当x＜0时，∵kx2+bx﹣m＜0，∴kx+b＞，由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣3，∴等式kx2+bx﹣m＜0的解集是：x＞1或x＜﹣3，故选：A．5．（2022春•安溪县期末）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝kx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若＜k2x，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1【答案】C【解答】解：根据反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，利用图象得：y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．故选：C．6．（2022•沈阳模拟）如图，点A，B分别是x轴上的两点，点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，且四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的面积为．【答案】8【解答】解：解法一：如图，连接OC、OD，CD交y轴于E，∵点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，∴S△DOE＝×|﹣3|＝，S△COE＝×5＝，∴S△DOC＝+＝4＝S平行四边形ABCD，∴S平行四边形ABCD＝8，故答案为：8．解法二：设点C的纵坐标为b，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴点C的横坐标为，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点D的纵坐标也为b，∵点D在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴点D的横坐标，∴CD＝﹣＝，∴平行四边形ABCD的面积为×b＝8，故答案为：8．7.（2022•市南区二模）如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为．【答案】【解答】解：∵点P在y＝上，∴|xp|×|yp|＝|k|＝1，∴设P的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y＝﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y＝﹣上，∴代入得：＝﹣，解得：x＝﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a，），∴PA＝|﹣（﹣）|＝，PB＝|a﹣（﹣2a）|＝3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB＝××3a＝故答案为：．8．（2022秋•双牌县校级月考）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．【解答】解：（1）把A（1，2）代入得，2＝，∴k2＝2，∴双曲线的解析式为y2＝，∵点B（m，﹣1）在双曲线y2＝上，∴﹣1＝，∴m＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝k1x+b，得，解得：，∴直线的解析式为y1＝x+1；（2）设直线y1＝x+1与y轴交于点M，则M（0，1），∴S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝×1×1+×1×2＝；（3）由图象可知：当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．9．（2022秋•宁远县校级月考）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，1），点B的横坐标为1，一次函数交x轴于点C．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的x的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；将点A代入y＝﹣x+b得：﹣1+b＝﹣2，解得：b＝﹣1，∴一次函数的解析式的解析式为：y＝﹣x﹣1；（2）由直线AB的解析式可知C（﹣1，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝1.5；（3）观察图象，反比例函数大于一次函数的x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0．10．（2022•南充）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．（1）求直线AB与双曲线的解析式．（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y＝，∵点A（1，6）在该双曲线上，∴6＝，解得k＝6，∴y＝，∵B（m，﹣2）在双曲线y＝上，∴﹣2＝，解得m＝﹣3，设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，，解得，即直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥