专题0162平面向量的运算向量求模求夹角

专题01：6.2平面向量的运算重点题型解题思路培养题型一：向量求模核心技巧：①平方开根号：，.②坐标法：，；当题目涉及的图形特殊，适合建系，考生可自主建系.③不等式法：（左边等号成立当且仅当，反向等号成立；右边等号成立当且仅当，同向等号成立）.（左边等号成立当且仅当，同向等号成立；右边等号成立当且仅当，反向等号成立）.④数形结合法：根据题意画图，从图中寻找解题突破口.例题1．（2021·福建龙岩·高三期中）已知且与的夹角为，则___________解题思路：且且与的夹角为题意涉及模，夹角；联想：平方开根号法【答案】【详解】由题意可知，且与的夹角为，所以，所以.故答案为：例题2．（2020·全国·高三专题练习）已知向量，，若，则实数的取值范围是___________.解题思路：题意涉及模，向量的坐标，联想：坐标法题意涉及模，向量的坐标，联想：坐标法，，若求出利用已知条件，代入坐标解不等式将坐标代入求模【答案】[6，2]【详解】由题,,,,即故答案为：题意涉及向量的坐标，联想：坐标法，求出再利用三角函数相关性质求最大值将坐标代入求模例题3．（2017·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知，，则题意涉及向量的坐标，联想：坐标法，求出再利用三角函数相关性质求最大值将坐标代入求模解题思路1：【详解】由题意可知，得，所以：利用辅助角公式得：解题思路2：题意涉及向量的坐标，即可以考虑坐标法，也可以利用坐标求模题意涉及向量的坐标，即可以考虑坐标法，也可以利用坐标求模联想：向量三角不等式目标求的最大值利用向量三角不等式求解由题意求出【答案】3【详解】，所以的最大值是3.例题4．（2021·上海·高一课时练习）如图，在矩形中，，．设，，，则______．解题思路：联想：由于图形特殊，适合建立坐标系，所以考虑，建系法联想：由于图形特殊，适合建立坐标系，所以考虑，建系法题意给出矩形，并且告诉，在坐标系中，表示出利用坐标运算，求出的坐标，再利用坐标法求模将坐标代入求模【答案】【详解】以为原点，建立如图所示的直角坐标系，由，，所以，，,由题意知，，，所以：所以，例题5．（2017·河南师大附中高三阶段练习（文））已知平面向量满足，则________.解题思路：由由，结合向量减法，联想：可构造等边三角形，利用数形结合法已知利用向量减法构造三角形，发现特点：构成正三角形利用向量减法表示出，利用余弦定理求图形中，画出，结合图形求解【答案】根据向量运算的几何意义，知围成边长为2的等边三角形OAB.如下图所示，的几何意义就是而三角形为直角三角形，故.题型二：向量的夹角核心技巧：①定义法（模）②坐标法：，，③自主建系法：当题目涉及的图形特殊，适合建系，考生可自主建系，再利用坐标法求解.④数形结合法：根据题意画图，从图中寻找解题突破口（找角+求角（余弦定理））.例题1．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于____；解题思路：由由，且，题意涉及都是模，未出现任何坐标联想：定义法利用模直接求解已知，且根据公式，从题意中寻找根据求出的代入公式求解由【答案】##120°【详解】因为，所以，即，所以，所以.而，所以，因为，所以.故答案为：例题2．（四川省泸州市2022届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题）己知向量，，若，则的值为___________.解题思路：由由，，题意涉及都是坐标联想：坐标法已知，由题意可解出根据公式求解由【答案】##【解析】【分析】根据已知求出和即得解.【详解】解：由题得,所以，所以.所以.故答案为：例题3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.则的余弦值为__________.由题意由题意，如何简化求解过程呢？联想：自主建系，利用向量夹角求结合已知图形：要求，在三角形中求角常考虑余弦、正弦定理等，也可以考虑利用向量夹角求解建立坐标系，表示出坐标，从而求出向量,根据公式求解由【答案】.如图建立平面直角坐标系，则，∵D为线段BC的中点，∴D（3,2），又∵，易得：E（4,0）,∴直线BE：，直线AD：，联立解得：,∴，，∴.故答案为：.例题4．（2021·全国·高一课时练习）若，且，则与所在直线的夹角为（

）A． B． C． D．由由联想：数形结合法，构造可知为正三角形由可以，向量为邻边构造三角形目标：求与，由于出现通过观察平行四边形为菱形，所以可在图中直接读出与的夹角.进一步，将构造成平行四边形，进一步观察图形【答案】A【详解】设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,,∵，∴，∴是等边三角形，∴,在菱形中,对角线平分，∴与所在直线的夹角为.故选：A.实战演练1．（2021·全国·高一课时练习）若向量，不共线，且，，则的取值范围是______．【答案】【详解】设向量，的夹角为，因为，，所以，又向量，不共线，所以，所以，即.故答案为：.2．（2021·上海·高一课时练习）已知||=3，||=4，求||的取值范围___________.【答案】[1，7]【详解】由向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系可得：||||||≤||≤||+||，∴1≤||≤7（当、同向取最小值1，、反向时取最大值7），即||的取值范围是[1，7].故答案为：[1，7].3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量，的夹角为60°，且，则___________.【答案】【详解】由题意，故答案为：4．（2019·全国·高三阶段练习（理））已知边长为2的正方形，分别是边上的两个点，，若，则的最小值为_____________.【答案】【详解】以为原点，所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，，由可得，故.，进一步化简可得，当时，有最小值且为，故填.5．（2022·河南安阳·二模（文））已知的外心为，若，且，则___________.【答案】60°##【详解】设的边BC的中点为D,则,又，即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，则,又，故为等边三角形，故,即，故答案为：60°6．（2021·浙江·高一期中）非零平面向量，满足，且，则的最小值为___________．【答案】【详解】因为，，设的夹角为，所以，当时，成立，此时，当时，则，所以的夹角为，如下图，的终点在射线上，所以综上可知：，故答案为：.7．（2021·四川成都·一模（理））已知向量满足，，则向量与的夹角为___________.【答案】##【详解】设，，则，解得，故，则、的夹角为.故答案为：.8．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.【答案】##【详解】解：由题意得：，设，则，即

故答案为：9．（2021·全国·高二课时练习）已知，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，作向量，，则.，，，.，故与的夹角为故选：C10．（2021·全国·高三专题练习）已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为______．【答案】90°##π2【详解】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为90°故答案为：90°11．（2022·全国·高三专题练习）若向量，，，则与夹角的余弦值为______.【答案】【详解】依题意得：，由得：，即，而，解得，.故答案为：12．（2021·福建·泉州五中高一期中）已知向量，满足，则的最小值是___________.【答案】【详解】由得，所以由当且仅当时，等号成立．故答案为：13．（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设是两个单位向量夹角为，若，则与夹角为______．【答案】【详解】因单位向量的夹角为，则有，，，，于是得，而，从而得，所以与夹角为.故答案为：14．（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练习）如图所示，等边△ABC中，已知，点M在线段BC上