102事件的相互独立性（学案）

10.2事件的相互独立性（学案）知识自测知识自测一．相互独立事件概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.二．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.三．两个事件是否相互独立的判断1.直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.2.公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.四．求相互独立事件同时发生的概率的步骤1.首先确定各事件之间是相互独立的.2.求出每个事件的概率，再求积.五．求较复杂事件的概率的一般步骤如下1.列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.2.理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率知识简用知识简用题型一事件独立性的判断【例11】（2023安徽）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（

）A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件【答案】B【解析】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；事件与事件为对立事件，故D错.故选：B.【例12】（2022安徽马鞍山）“事件与事件相互独立”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当事件与事件相互独立时，，当时，事件与事件相互独立，所以“事件相互独立”是“”的充要条件.故选：C.【例13】（2022·高一单元测试）若，，，则事件与的关系是（

）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立【答案】C【解析】∵，∴，∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C【例14】（2022·高一课时练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（

）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立【答案】A【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．故选:A．题型二相互独立事件的概率【例21】（2023新疆）在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率________．【答案】【解析】依题意，恰有一人答对的概率为.故答案为：【例22】（2022·高一单元测试）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲复原三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．【答案】(1)0.032(2)0.92【解析】（1）记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，依题意，，．“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，．（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．所以．【例23】（2023秋·广西桂林·高一统考期末）甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求：(1)3人都射中目标的概率；(2)3人中恰有2人射中目标的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）记“甲、乙、丙射一次箭能射中目标”分别为事件、、，则，，，3人都射中目标的事件为，其概率为.（2）设“3人中恰有2人射中目标”为事件，由（1）知，因此，所以3人中恰有2人射中目标的概率为.【例24】（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1)(2)派甲参赛获胜的概率更大(3)【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则，，，相互独立，且，，，，设“甲在比赛