考点12解三角形平面图形类问题6种常见考法归类-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)

考点12解三角形平面图形类问题6种常见考法归类1、“算一次”问题常见的平面几何图形有两种类型：一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来，即直接单个三角形进行突破。2、“算两次”问题在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找两个三角形，通过它们的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”.（一）求角一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之.求边一般地，求三角形某个边长问题可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求之.（2）边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值3、解决三角形图形类问题的方法：（1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；（2）等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；（3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；（4）构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；（5）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；（6）建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.6、三角形中线模型涉及中线长的工具：在中，D是AC中点，示例：的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，【解析】方法一：证明：根据余弦定理得，所以，所以，同理可得，.方法二：设BC边上的中线为AD，在△ABD中，在△ACD中，由于①+②可得，即有，同理可证，方法三：值得一提的是，此结论除了可以用余弦定理证明以外，还可以用向量证明，证明如下：因为，所以，所以在△ABC中，由余弦定理得：所以，由③④得，同理可证，比较上述后两种证法，可以发现，如果已知的是三边，那么选择前一种方法好些，如果已知的是夹角，那么后一种做法相对好些.熟记这组结论，无论是对填空题还是大题，无论是对思维还是计算都大有裨益.当然，若将BC上的中点D改为靠近C点的三等分点，证明方法完全一样.此时结论变为.若将BC上的中点D改为靠近B点的三等分点，此时结论变为.边上的结论可以类比上式，不再赘述.7、涉及角平分线的工具：中，AD是的角平分线角平分线定理：8、平面四边形模型一般解三角形问题如果给出的平面图形是四边形，那么这其中所包含的三角形就有很多.思考过程大致可以概况如下流程：设角→在某个三角形中由正弦定理用角表示边→在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系→得出结论.当然，如果题目众多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我们优先选择从这些三角形中设角.很多时候，学生没办法从一个三角形中找到等量关系，则尽可能多求图中的角.从而可以在两个三角形中找共同的边或角、从而得到一些等量关系、来解决问题.考点一算一次问题考点二算两次问题考点三三角形中线模型考点四角平分线模型考点五平面四边形模型（一）直角三角形模型（二）外接圆模型考点一算一次问题1、如图，已知中，，，．（1）求的长；（2）若，求的长．【解析】（1）如图所示：已知中，，，．利用正弦定理，整理得．（2）利用，，，利用余弦定理．2、如图，在中，D为边BC上一点，，，，.(1)求的大小；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.【详解】（1）在中，，又，所以；（2）在中，，则，因为，所以，在中，，则，，在中，因为，所以，则，故.3、如图，在中，点在边上，(1)证明：；(2)若，，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算；（2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解.【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.（2）不妨设，则在中，由余弦定理知；在中同理可知：在中，即有解得.4、如图，平面四边形是由钝角与锐角拼接而成，且，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求的面积．【解析】（Ⅰ）在中，因为，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以．（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理可得，即，解得，或，当时，，此时为钝角三角形，不满足题意，舍去；当时，的面积．5、如图，在平面四边形中，，，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）在中，由正弦定理知，，，，，，．（2）由（1）知，，，在中，由余弦定理知，，．6、如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.【解析】因为，，，所以，又，则△的面积为，又，所以在△中由正弦定理得：，则.故答案为：；.7、某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.(1)若，求的长；(2)若，求的周长.【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.【详解】（1）解：在中，，且，所以.因为，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因为，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因为，所以.在中，由余弦定理可得所以的周长为.考点二算两次问题（一）求角8、如图，在中，，，，为内一点，．（1）若，求；（2）若，求．【解析】在中，，，．在中，由余弦定理得．．设，在中，．在中，由正弦定理得，即，化为．．9、如图，在中，，，，在平面内，且为外一点，（1）若，求；（2）若，求．【解析】（1）在中，由于，，为内一点，，直角三角形中，若，，．．在中，由余弦定理得，．（2）设，则，，在直角中，，在中，根据正弦定理得：，即，化简得，则．10、如图,在平面四边形中,,.(1)试用表示的长;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可;(2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.【详解】（1）（）,,,，则在中,,,则.（2）在中,,则当时,取到最大值.故的最大值是11、如图，在梯形中，，，，．（1）若，求梯形的面积；（2）若，求．【解析】（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：，解得，所以，则，因为，所以，所以；（2）设，则，，，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，两式相除可得，展开可得，所以可得，即，解得或，又因为，，所以，即．（二）求边12、如图，在直角中，，，是的中点，若，则___________.【解析】如图，设，在中，，在中，，在中，，且为锐角，则，，得，即，故答案为：.13、如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，且与互补，则的长为（）．A．7 B．8 C．9 D．6【解析】，，因为与互补，所以，所以，解得．故选A．14、已知四边形中，与交于点，．（1）若，，求；（2）若，，求的面积．【解析】（1）在中，，，，可得，即有，可得；（2）在中，，，，设，，，由余弦定理可得，解得，，，所以的面积为．15、在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．【答案】【分析】先设，由三角形三边关系得到，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到，从而利用换元与基本不等式求得的最小值，结合与在上的单调性即可求得的最大值.【详解】设，则，因为为的中点，，所以，由三角形三边关系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为，所以,所以，解得，则，，令，则，，，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，因为，所以．因为在上单调递减，在单调递增，所以当取得最小值时，取得最大值，此时，则，所以的最大值为.故答案为：..【点睛】关键点睛：本题中突破口为，由此得到，再结合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.考点三三角形中线模型16、已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（

）A．49 B．7 C． D．【解析】因为，故可得，根据余弦定理可得，故，不妨取中点为，故，故.即边上的中线长为.故选：.17、已知在中，.(1)求边的长；(2)求边上的中线的长.【解析】(1)由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或，当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意，综上：(2)因为D为BC中点，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以.18、在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，结合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程组可求得.【详解】在中，；在中，；，，又，，整理可得：，即，，；在中，，，解得：（舍）或，.故选：A.19、在中，，点D在边上，.(1)若，求的值，(2)若，且点D是边的中点，求的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；（2）作出辅助线，得到，由余弦定理求出，从而求得答案.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，所以，解得或，经检验均符合要求；（2）在中，过D作的平行线交于E，因为点D是边的中点，所以点E为AC的中点，在中，，又，所以.由余弦定理得：，所以，所以或（舍去），故.考点四角平分线模型20、△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．【解析】(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2DC＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.21、的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长．【解析】（1）由，根据正弦定理可得，则，所以，整理得，因为均为三角形内角，所以，因此，所以；（2）因为CD是角C的平分线，，，所以在和中，由正弦定理可得，，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以，又，即，即，所以.22、如图所示，在四边形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD为的平分线，试求BD．【答案】(1)5(2)8【分析】（1）利用正弦定理得，代入数据即可解出.（2）利用余弦定理得到，代入数据即可解出.【详解】（1）由正弦定理得，∴＝∴.（2）由，可得，又，为的平分线，∴A，B，C，D四点共圆，，由余弦定理得，即∴.考点五平面四边形模型直角三角形模型23、中在边上,且．(1)求的长;(2)若于,求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先在中由余弦定理求得的长,再由求得的长,由可求,最后在中由余弦定理即可得的长;（2）由（1）可得,,的长,即有的长,在中由余弦定理可得,再求,又有,又有,则有,将写为,根据两角差的余弦公式代入即可求出结果.【详解】（1）解:由题知是等腰三角形,,在中,由余弦定理得:,即,,,,在中,由余弦定理得:,即,;（2）由（1）知,,在中,由余弦定理得:,,,,,故.24、如图，在平面四边形中，，，．（1）若，，求的长；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可求在中，，可得，可求，在中，由余弦定理可得的值．（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，代入，可得：，结合为锐角，可求的值．【详解】（1）因为，在中，，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以．（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，化简可得：，代入，可得：，又为锐角，所以，即．25、如图，在平面四边形中，，，，．(1)求；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）记，根据题意用表示相关未知量，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；（2）法一：利用两角和公式求，在中，利用正弦定理运算求解；法二：先求，在中，利用余弦定理运算求解.【详解】（1）∵，，，∴，记，则，∵，，∴，在中，由正弦定理得：，则，可得，化简得，联立方程，解得或，∵，则，故．（2）解法一：由（1）知：，由正弦定理得：，∴，解法二：在中，，在中，由余弦