专题03利用导数研究函数恒成立问题（原卷版）

专题03利用导数研究函数恒成立问题【考点预测】1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．2、直接讨论法直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等．3、放缩法在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难．如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高．其主要的放缩手段有以下三种：（1）利用函数的有界性直接放缩；（2）对一阶导数进行放缩；（3）对二阶导数放缩．【典型例题】例1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数.(1)若，求在点处的切线方程；(2)若恒成立，求的取值范围.例2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数(1)若，求的极小值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，恒成立，求的最大整数值．例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．例4．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)若，求a，b；(2)若在上恒成立，求的取值范围.例5．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数.(1)若在上是增函数，求实数的取值范围；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.例6．（2023春·湖南衡阳·高二校考开学考试）已知函数．(1)若恒成立，求a的取值范围；(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围．例7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，其中．(1)当时，证明：；(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.【过关测试】1．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.2．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数在处取得极小值2.(1)求实数的值；(2)若，都有成立，求实数的取值范围.3．（2023春·天津静海·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值及函数的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.4．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知，(1)讨论的单调性；(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）5．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)当时，求的最值；(2)当时，恒成立.求实数的取值范围.6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校考阶段练习）已知函数（其中，为自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．7．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数．(1)求的单调区间；(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．8．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数(1)当时，求证恒成立：(2)讨论的单调性：(3)当时，求证：恒成立．9．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)若，求函数的极值；(2)当时，若对，恒成立，求的最小值．10．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数．(1)求的单调区间：(2)若有两个零点，求a的取值范围；(3)当时，，求a的取值范围．11．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知函数，．(1)求的极值；(2)令，若，求a的取值范围．12．（2023·全国·高二专题练习）函数，.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.13．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围.14．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）已知函数．(1)若函数在处有极值，求函数的解析式；(2)若时，恒成立，求实数m的取值范围．15．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.16．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数(1)若对任意恒成立，求实数的取值范围;(2)若函数有两个极值点为，且，若恒成立，求实数的取值范围.17．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求实数的取值范围.18．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数.(1)若在点处的切线过点，求的值；(2)当时，恒成立，求整数的最大值.19．（2023春