《瞬时变化率-导数-曲线上一点处的切线》教案(一)

1.1.2《瞬时变化率-导数》教案（一）曲线上一点处的切线一、教学目标1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念2．掌握用割线逼近切线的方法．3．会求曲线在一点处的切线的斜率与切线方程，二、教学重点、难点重点：理解曲线在一点处的切线和切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率的求法；难点：理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解三、教学过程【问题情景】导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学.所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流【学生活动，建构数学】（一）点附近的曲线1．平均变化率：函数在区间上的平均变化率为．即曲线上两点的连线（割线）的斜率。显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点附近的曲线的研究）（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．）放大放大再放大C1放大再放大放大再放大C2（1）观察“点附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？曲线有点像直线（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了直线这种思维方式就叫做“逼近思想”。从上面的学习过程来看：1）．曲线在点附近看上去几乎成了直线2468121416P2468121416PDEmQl3）．点附近可以用这条直线代替曲线这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过点时的变化趋势练习：见课本（文P62，理P10）第3题：；。3.怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线呢？如图（1）试判断哪条直线在点附近更加逼近曲线？（2）在点附近能作出比更加逼近曲线的直线么？（3）在点附近能作出比，更加逼近曲线的直线么？说明：随着点沿曲线向点运动，直线在点附近越来越逼近曲线．（二）圆的切线与曲线的切线直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。问题：能不能把圆的切线推广为一般曲线的切线呢？（请学生说出推广的结果后，教师引导学生加以剖析）。曲线的切线观察图形得出：相切可能不止一个交点，有惟一交点的也不一定是相切。所以对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。（三）曲线上点P处的切线及其斜率1．割线逼近切线为曲线上不同于点的一点，这时，直线称为曲线的割线；随着点沿曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线，当点无限逼近点时，直线最终成为点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线．2．割线斜率逼近切线斜率切线的概念提供了求切线斜率的方法．问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？又用怎样数学模型来刻画曲线上点处的变化趋势呢？为了更好地反映点沿曲线向点运动，我们选择了一个变量．不妨设，点的横坐标为，则点的纵坐标为，则割线的斜率为=，当点沿着曲线向点无限靠近时，割线的斜率就会无限逼近点处切线斜率，即当无限趋近于0时，无限趋近点处切线斜率（即为取0时的值）．【数学运用】例1试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率。分析：设则割线PQ的斜率为当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即无限趋近于2时，无限趋近于常数4；.练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．解：由题意，设，则割线PQ的斜率当无限趋近于0时，无限趋近于常数2，从而曲线在点的切线斜率为2.总结：求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤:1.设曲线上另一点Q(x0+Δx，f(x0+Δx))；2.求出割线PQ的斜率，并化简；3.令Δx趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率。变1：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．变2：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．变3：已知，求曲线在处的切线斜率是多少？例2已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.【课堂练习】2.已知，求曲线在处的切线斜率是多少？【课堂总结】1.曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲)2.根据定义,利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。【课后作业】1．曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.2．求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方