2024年上海市浦东新区中考数学模拟试卷

2024年上海市浦东新区中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列实数中，有理数是（）

2.如图，数轴上的点力和点B分别在原点的左侧和右恻，点4、8对应的实数分别是a、b,下

列结论一定成立的是（）

AB

------111-----------►

a---0---------------b

A.a+b<0B.b-a<0C.-2a>—2bD.|a|>\b\

3.在平面直角坐标系短y中，下列函数的图象过点（-1,1）的是（）

A.y=x-1B.y=-x+1C.y=D.y=x2

4.已知非零向量d、石、c,下列条件中，能判定向量五与向量B方向相同的是（）

A.a//c,b//cB.\a\=2\b\

C.a+h=0D.a=3c,b=2c

5.下列命题中，真命题的是（）

A.一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形

C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

D.一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形

6.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，AD

已知EF=CD=8cm,则球的半径长是（）：3

'、、一」

B----------C

A.4c7九B.5cmC.6cmD.Scm

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

7.计算：（3a3）2=.

8.如果a=g,b=-3,那么代数式2a+b的值为.

9.不等式组色D的解集是-

10.已知关于%的方程/-3x+k=0无实数根，那么k的取值范围是.

11.一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个

数之比为5：3：2.从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为.

12.在直角坐标平面内，已知点4（2,-2）,8（4,-3）,将线段48平移得到线段必当（点力的时

应点是点

点8的对应点是点&）,如果点&坐标是（一2,0）,那么点当的坐标是.

13.一次函数y=3%+1的图象不经过的象限是—.

14.为了进•步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测

试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最少值，不

含最大值），若该校九年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在120〜140次的人数是

15.在△ABC中，点。是边BC的中点，AB=a>AC=b^那么而=（用,、另表示）.

16.如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花询一面靠墙（

墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花画面积为

y平方米，那么y关于％的函数解析式为一.（不要求写出定义域）

17.如图，△48C在边长为1个单位的方格纸中，△4BC的顶点

在小正方形顶点位置，那么/ABC的余弦值为.

18.如图，已知Rt△力BC中，28=90°,44=60。，AC=10,点M、N

分别在线段4C、48上，将AANM沿直线MN折叠，使点力的对应点。恰好

落在线段8c上，当ADCM为直角三角形时，折痕MN的长为.

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题8.0分）

1

计算：^+\l-y/~2\-2-XyrS-

20.（本小题8.0分）

解方程：号一右=1•

21.（本小题8.0分）

如图，在△ABC中,NB=45。,CD是4B边上的中线，过点。作DE1BC,垂足为点E,若CD=5,

3

sin匕BCD=

（1）求BC的长；

（2）求的正切值.

22.（本小题20分）

今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/「克，已知销售价不低于成本

价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调杳发现，该产品每天的销售

量y（千克）与销售价双元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价-成本

价）

),(千克)

~01018X(元千克)

23.(本小题8.0分)

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,DC1BC,AB=AD,AM1BD,垂足为点M,

连接CM并延长，交线段A8于点N.

求证：=4BCM；

(2)BC•BN=CN♦DM.

如图，已知在平面直角坐标系％Oy中，抛物线y=-x2bx+c与不轴交于点4、B(点A在点8右

侧)，与y轴交于点C(0,—3),且。4=2OC.

(1)求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；

(2)求tan乙MAC的值；

(3)如果点。在这条抛物线的对称轴上，且乙乙4。=45。，求点。的坐标.

25.(本小题8.0分)

已知：如图，在半径为2的扇形力OB中，^AOB=90°,点C在半径。8上，AC的垂直平分线交

。4于点。，交弧48于点E,联结BE、CD.

(1)若C是半径。8中点，求乙。CO的正弦值；

(2)若E是弧4B的中点，求证：BE'2=BOBC；

(3)联结CE,当ADCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:4、5是无限不循环小数，是无理数；

B、?是无限不循环小数，是无理数；

C、竽是分数，是有理数;

。、要是无限不循环小数，是无理数.

故选：C.

有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数.

此题考查了有理数和无理数.解题的关键是掌握有理数和无理数的概念.

2.【答案】C

【解析】解：根据数轴可知avOv/b同〈。|,

4依题意a+b>0,故结论错误，该选项不符合题意；

B：依题意匕-。>0,故结论错误，该选项不符合题意；

C：依题意-2a>-2从故结论正确，该选项符合题意；

D：依题意向<网，故结论错误，该选项不符合题意.

故选：C.

首先利用数轴上的信息确定G、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题.

此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质.

3.【答案】D

【解析】解：把％=一1代入？=x-1得：一1一1二一201,

二选项A不符合题意；

把％=-1代入y=-％+1得：1+1=2H1,

••・选项B不符合题意；

把X=-1代入y=:得：占=一1h1,

二选项C不符合题意;

把无=-1代入y=/得：(—1)2=1,

.,・选项。符合题意；

故选：D.

将点(-1,1)分别代入4个解析式进行验证即可得出答案.

本题考查了图象上点的坐标特征，会把点的横纵坐标代入解析式验证是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解:对于力选项，由方〃冷3〃己可得d〃九

二日与3的方向相同或相反，

故A选项不符合题意；

对丁B选项，五与B的方向相同或相反，

故B选项不符合题意：

对于C选项，由d+族=6，可得五=一九

二不与族的方向相反，

故C选项不符合题意：

对于。选项，由G=3Q,b=2c，可得下==

••・立与»的方向相同，

故。选项符合题意.

故选：D.

由d〃［花〃己可得d〃丸则五与B的方向相同或相反；由0=2|应可知，d与冽勺方向相同或相

反；由d+B=6，可得,二一3,则日与族的方向相反，由了=3乙b=2c»可得笠=；五=］另，则

OLa

d与B的方向相同，即可得出答案.

本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：4、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原

命题是假命题；

B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；

C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题：

。、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；

故选：C.

对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题.

此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确

性.

6.【答案】B

【解析】解：设圆心为0,这点。作0N14D于点N,交于点M,连接。口

a：1A尸P

•♦»

B-------A?c

••・四边形48C0是矩形，

•••zC=zD=90°,

••・四边形CDNM是矩形，

二MN=CD=8,

设0F=XCTH,则0M=OF,

:.ON=MN-OM=(8—x)c7n,NF=EN=4cm,

在Rt^ONF中，ON2+NF2=OF2

即：(8—X)2+42=M

解得：x=5,

故选：B.

设圆心为。，过点。作。N1AD于点、N,交CB于点、M,连接。设。尸=xcm,则ON=(8-x)cm,

NE=NF=4,然后在At△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可.

本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

7.【答案】9a6

322

【解析】解：(3a)=3•(*)2=9•Q3X2=9a6

故答案为：9a6.

利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的易相乘，首先计算积

的乘方，再利用幕的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算(。3)2可得答案.

此题主要考查了积的乘方和察的乘方混合运用，计算时要紧扣积的乘方的性质与零的乘方乘方性

质.

8.【答案】—2

【解析】

【分析】

此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

把Q与力的值代入原式计算即可得到结果.

【解答】

解：当Q=g,8=-3时，2。+8=1-3=-2,

故答案为:—2.

9.【答案】x>4

【解析】解：解不等式2%>6,得：%>3,

解不等式％-2>2,得：x>4,

则不等式组的解集为x>4,

故答案为：x>4.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

10.【答案】k>\

4

【解析】解：•••关于％的方程M—3x+k=0无实数根，

A=b2-4ac<0,即（一3y-4x1x/c<0,

解得k>

4

故答案为：k>"

4

根据根的判别式4=b2-4ac<0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围.

本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根与判别式4=b2-4QC的关系是解题的关键.

11.【答案】1

【解析】解：•••红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：2,

••・从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是屋7

Oi"O"T"乙乙

故答案为：a

用红球所占的份数除以所有份数的和即可求得是红球的概率.

此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.

12.【答案】(0,-4)

【解析】解：•・•己(2,-2)平移后对应点4的坐标为(-2,0),

•••4点的平移方法是：先向左平移4个单位，再向上平移2个单位，

•••8点的平移方法与4点的平移方法是相同的，

••・8(4,-3)平移后的坐标是：(0,-1).

故答案为：(0,-1).

各对应点之间的关系是横坐标减4,纵坐标加2,那么让点B的横坐标减4,纵坐标加2,即为点生的

坐标.

此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下

移，横不变，纵加减.

13.【答案】第四象限

【解析】解：,.一次函数y=3x+1中，k=3>0,b=1>0,

•••此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

故答案为：第四象限.

根据一次函数的图象与系数的关系解答即可.

本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键.

14.【答案】135

【解析】解：一分钟跳绳次数在120〜140次的人数大约为：450X叱f==135(人)，

故答案为:135.

用总人数乘以样本中一分钟跳绳次数在120〜140次的人数所占比例即可得.

本题考查读频数分布史方图的能力和利用统计图获取信息的能力.本题用到的知识点是：频率=频

数+总数，用样本估计整体让整体x样本的百分比即可.

15.【答案】|(a+b)

【解析】解：延长力。到E,使得DE=AO,连接BE.

&

•A

E

•；AD=DE,Z.ADC=^BDE,CD=DB,

•••△ADC^^EDB,

•••AC=BE,乙C=乙EBD,

BE//AC,

:.BE-AC=

•••AE=AB+前=五+b，

~AD=+ft),

故答案为而

延长AD到E,使得DE=4。，连接BE.首先证明AC=BE,AC//BE,利用三角形法则求出荏即可

解决问题；

本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法则等知识，解题的关键

是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

16.【答案】y=x(12-2x)

【解析】解：•••篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为工米，

二花皿平行于墙的一边长为(12-2%)米.

根据题意得：y=x(12-2x).

故答案为：y=x(12—2x).

由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(12-2%)米，再利用

矩形的面积公式，即可得出)，关于"的函数解析式.

本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数景之间的关系，找出y关于”的函数解析式

是解题的关键.

17.【答案】修

【解析】解：••・△4BC在边长为1个单位的方格纸中，△48C的顶点在小正方形顶点位置，

:.AB=V12+32=BC=722+22=2/7,AC=Vl2+l2=C，

•••(2。)2+(C)2=10=

ACZ+BCZ=ABZ,

:.Z.ACB=90°,

BC2>n.2V飞

•••COSLABC=—=-===—

ABxTTo5

故答案为：修.

利用勾股定理可求出AC、BC、A8的值，利用勾股定理的逆定理可得4ACB=90。，根据余弦的定

义即可得答案.

本题考查网格的特征、勾股定理及余弦的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边

的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.

18.【答案】与或10\/~石—15/2

【解析】解：分两种情况：

①如图，当心CDM=90。时，aCDM是直角三角形,

•••在中，48=90°,44=60°,AC=10,

AzC=30°,AB=^AC=5,

由折叠可得，LMDN=Z.A=60°,

：•乙BDN=30°,

:.BN=”N=”N,

二BN=：AB=.,

AN=2BN=?

•••乙DNB=60°,

:.乙ANM=乙DNM=60°,

...ZLAMN=60°,

MN=AN=于;

②如图，当4cM0=90。时，△COM是直角三角形,

由题可得，/-COM=60°,Z.4=乙MDN=60°,

•••乙BDN=60°,Z-BND=30°,

BD=^DN=^AN,BN=CBD，

又•.•4B=5,

/.4N=20-IOC，BN=15-10x^3,

过N作NH1AMTH,则4=30°,

.'.AH=^AN=10-5\T3,HN=1073-15，

由折登可得，上AMN="MN=4S。,

••.△MN”是等腰直角三角形，

HM=HN=10C-15，

•••MN=10V-6-15^.

故答案为：与或io/石—15/2

J

由△OCM为在角三角形，分两种情况进行讨论：@Z,CDM=90°；②"MO=90。.分别依据含30。

角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长.

本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性

质，正确的作出图形是解题的关键.折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

19.【答案】解：9I+11->!~2\-2-1xV-8

=3+^-l-ix2/^

=3+^-1-7~2

=3-1

=2.

【解析】直接利用算术平方根、负整数指数基、绝对值的性质分别化简得出答案.

此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

20.【答案】解：两边乘工(%-3)得到3-x=/一3%,

%2—2x—3=0,

:.(x-3)(x4-1)=0,

•••=3,%2=—1，

经检验％=3是原方程的增根，

二原方程的解为x=-1.

【解析】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须

检验.

两边乘N无-3)把分式方程转化为整式方程即可解决问题.

21.【答案】解：（1）设。E=3x,DE1BC,

3

vsinzBCD=

DE

/•--=一3,

CD5

•••CD=5x,CE=4x,

•••CD=5,

AX=1,

•••CE=4,

•••乙B=45°,

:.DE=BE=3x,

•••BC=BE+CE=7x=7.

(2)过点4作力尸_LBC于点F,

DE//AF,

•••D是A8的中点，

DE是AABF的中位线，

••・AF=2DE,BF=2BE,

由(1)可知：DE=BE=3,

二AF=6,BF=6,

CF=BC-BF=1,

•••tanz.ACB=6.

【解析】(1)设DE=3%,DE1BC,所以CD=5x,CE=4x,由CD=5可求出x=1,从而可求

出答案.

(2)过点4作4F_L干点F,由于。是48的中点,所以0E是△力BF的中位线,从而可求出AF=

BF=6,再求出CF=1即可求出41cB的正切值.

本题考查解直角三角形，解题的关键是求出OE、CE的长度，本题属于中等题型.

22.【答案】解：(1)设y与X之间的函数关系式y=kx+b(kHO),

把(10,40),(18,24)代入得:{:器：仁第

1OK।U一44fr

解得：普=点

lb=60

•••y与》之间的函数关系式y=-2x+60(10<%<18)；

(2)根据题意得:(x-10)(-2x+60)=150,

整理，得：%2-40x4-375=0,

解得：4=15,x2=25(不合题意，舍去).

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.

【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准点的坐标，

利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

(1)观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式：

(2)根据总利润=每千克的销售利润x销售数量，即可得出关于x的•元二次方程，解之取其中符合

题意的值即可得出结论.

23.【答案】证明：⑴"8=AD,

•••Z.ABD=乙ADB,

vAD//BC,

:.LADB=乙MBC,

:.Z-ABD=乙MBC,

•••AB=AD,AM1BD,

/.BM=0M,

•••DC1BC,

•••乙BCD=90°,

CM=BM=DM,

乙MBC=乙BCM,

:.乙ABD=乙BCM：

(2)vZ.BNM=Z.CNB,乙NBM=cNCB,

:心NBMfNCB,

•••BN：CN=BM：BC,

而BM=DM,

•••BN：CN=DM：BC,

:.BC•BN=CN-DM.

【解析】(1)利用等腰三角形的性质得到乙力80=乙4。氏BM=DM,再利用平行线的性质得到

^ADB=/.MBC,利用直角三角形斜边上的中线性质得到CM=8M=0M,则NM8C=£8CM,

从而得到〃80=乙BCM；

(2)先证明△NBMs^NCB,则BN：CN=BM：BC,然后利用BM=DM和比例性质可得到结论.

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形和似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等陶含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行

线构造相似三角形.灵活运用相似三角形的性质进行几何计算.

24.【答案】解:(l)vC(0,-3),

:.0C=3.y=^x2+dx-3.

•••0A=2OC,

•••OA=6.

•.•Q=">0,点4在点B右侧，抛物线与、轴交点。(0,-3).

4(6,0).

*'•0=-x36+6b—3，

4

:.b=-1.

12o

y=-xz-x-3,

J4

•••y=沁-2)2-4,

/.M(2,-4).

答：抛物线的解析式为y="/一不一3,M的坐标为(2,-4)；

(2)如图1,过点M作M"_L%轴，垂足为点，，交AC于点N,过点N作NE_L4M于点E,垂足为点E.

在R£△力HM中，HM=AH=4f由勾股定理，得

AM=4C，

:.^AMH=Z-HAM=45°.

设直线4c的解析式为y=kx+b,由题意，得

(0=6k-Vb

t-3=b

解得：［T,

3=-3

•,•直线AC的表达式为y=1x-3.

当％=2时，y=-2,

N(2,-2).

•••MN=2.

•••乙NEM=900,乙NME=45",

"INE=乙NME=45°,

NE=ME.

在RtAMNE中,

NE2+ME2=NM2,

ME=NE=yfl..

AE=AM-ME=3y/~2

在Rt/kAEN中，tanz.MAC=

AE3V23

答：tanz.MAC=

(3)如图2,①当。点在4C上方时，

vZ-CAD1=ZDJ/IH+Z.HAC=45°,且4H4M=Z.HAC+Z.CAM=45°,

:.Z.DXAH=Z.CAM,

:.tan/D14H=tanzM/lC=

o

•・•点Di在抛物线的对称轴直线x=2上，

•••DtH1AH,

•••AH=4.

在RtZkA”。】中，

D]H=AH-tan£DAH=4x1

}JJ

4

・•・5(2,/

②当0点在力c下方时，

•••LD2AC=4。2AM+Z.MAC=45°,且乙4MH=4。2AM+乙AD2M=45°,

:.Z-MAC=Z.AD2M.

tanz/!D//=t3nZ-MAC=

2J

在Rfi”中，外〃二^^=4/=12.

【解析】(1)根据与y轴的交点C的坐标(0,-3)就可以求出。。的值及c的值，进而求出。/1的直及4的

坐标，由待定系数法就可以求出匕的值而求出解析式及定点坐标；

(2)如图1,过点M作MHJL工地，垂足为点H,交AC于点、N,过点N作NE14M于点E,垂足为点E.

在Rta/HM中，HM=AH=4,就可以求出4M的值，再由待定系数法求出直线AC的解析式，就

可以求出点N的坐标，进而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及的值，从而求出AE的值

就可以得出结论；

(3)如图2,分类讨论，当。点在4c上方时，根据角之间的关系就可以求出乙。送"=4C4M,当。点

在AC下方时，NM4C=NAO2M就可以求出点。的坐标.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点

式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，

灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点.

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