四川省合江县马街中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

马街中学高2023级高二（上）期中考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.B.C.D.2.已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.3.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（）A.19B.20C.21D.224.巳知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.5.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A.B.C.D.6.已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（）A.若与相互独立，则B.若与互斥，则C.若，则事件与相互独立D.若发生时一定发生，则7.在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”中，平面且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为（）A.B.C.D.8.平行六面体的底面是边长为2的正方形，且为的交点，则线段的长为（）A.3B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标.如图是某专业机构统计的2023年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（）A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B.1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C.1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差D.1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差10.给出下列命题，其中正确的是（）A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是C.若空间四个点满足.，则三点共线D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则11.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.不在同一个球面上D.若，则点轨迹长度为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________.13.省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是__________.（如下是随机数表第8行至第9行）14.设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）已知的顶点坐标为是边上的高.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求高所在直线的方程.16.（15分）沪州尧坝古镇位于四川省沪州市合江县尧坝镇，是川南醉美古镇之一，历史悠久，有“茶盐古道”之称.古镇保存完好，有进士牌坊､大鸿米店､东岳庙､王朝闻故居､周公馆等古建筑群，形态自然，独具特色.为更好地提升旅游品质，随机选择500名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这500名游客对景区满意度评分的平均值；（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；18.（17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.19.（17分）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中.（1）求经过的直线的点方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小.马街中学高2023级高二上期中考试（数学）答案选择题：题号1234567891011答案ADCDABBCBCDACDAD填空题：12.413.50714.811.【详解】对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知平面在面内，所以面面，所以面面，所以，连接是正方形，，因为面面，所以，因为面面，所以面，因为面，所以，综上，面面，又，所以面面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：AD14.【详解】因为，所以，而角为三角形内角，所以，由，所以，化简得到，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值为8.故答案为：8.15.【详解】（1）AB的中点坐标为所以边上的中线所在直线的方程为：，即，（2）因为是边上的高，所以，所以，所以，因此高所在直线的方程为：，即.16.（1）由图可知：，解得：；平均数估计为：（2）因为评分在的频率分别为，则在中抽取（人）人，设为；在）中抽取（人）人，设为；从这6人中随机抽取2人，则有：记事件“选取的2人评分分别在和内各1人”则所以.即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为.17.【详解】（1）连接，再连接，因为底面是正方形，所以是的中点，又为棱的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为平面，底面是正方形，即，故以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；18.【小问1详解】连接，因为为等边三角形，为中点，则，由题意可知平面平面，平面平面平面，所以平面，则平面，可得，由题设知四边形为菱形，则，因为分别为中点，则，可得，且平面，所以平面.【小问2详解】法1：在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，由平面平面，可得，又因为为等边三角形，为中点，所以，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，可得，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，所以点到平面的距离为.法2：如图所示，取的中点，连接，过作交于，过作分别交的延长线于，易知分别是的中点，则由条件可得面面，故面，即到面的距离等于到面的距离，由（1）得面，所以面是直角三角形，在菱形中，易得，所以，即到面的距离为，【小问3详解】法1：因为设，则，可得，即，可得，由（2）知：平面的一个法向量设平面的法向量，则，令，则，可得；则，因为平面与面所成的角为所以解得舍去）此时所以在棱上存在点F，使得平面与面所成的角为法2：假设存在F点满足题意，取的中点，连接，过F作交于，连接，易得面又结合（1）的结论有，故二面角为，所以，在菱形中，作，易得，易知为直角三角形，故.19.【解析】【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；（2）根据题意可得平面､､的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系；（3）根据题意可得平面､的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】由得，直线的方向向量为，故直线的点方向式方程为.【小问2详解】由平面可