2024年北京四中高一（上）期中数学试题及答案

2024北京四中高一（上）期中数学试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合A，=B=，则集合C.AB.D.2.函数f(x)=x[−2+x−2的定义域是B.(−,2]−x+10+C.(−,2)[−+)3.命题“xR，x32”的否定是A.xR，x3−−x210+B.D.xRx，3−x2+10C.xR，x3x210xRx，3−x2+104.如果b0a，那么下列不等式中正确的是．−abbB．−abC．ab11222．ab5.下列函数中，在区间(+)上为减函数的是x+3x+1．y=x2−2xB.y=xC.y=y=2x+16.函数f(x)|x+1|−|x−1|的图像关于．原点对称B．x轴对称C．y轴对称．点0)对称ab7.已知ab0，则“c0”是“A.充分不必要条件”的a+cb+cB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充要条件18.函数fx)=x3−−2在区间(0,+)内的零点个数是x．0B．1C．2．39.下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是4．f(x)=(x+2)B．f(x)=x+12C．f(x)=．f(x)=x−xx10.两个不同的函数f(x)，g(x)满足xR，f(x)g(x)0，则可能的情况是．f(x)是一次函数，g(x)是二次函数B．f(x)在R上递增，g(x)在R上递减．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数C．f(x)，g(x)都是奇函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．若xx−，则实数x的值为.1==12.不等式ax2+bx−10的解集为(−,，则a，b.413.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2−3x，则f(f=．3x+0x214.函数f(x)=2x，则f(x)的减区间为，f(x)的值域是.2+x,−2x02x+a15.已知函数f(x)=(aR,a4).x−2①当a1时，=f(x)在定义域内单调递减；②当a−4时，一定有ff(4)f；③若存在实数k，使得函数y=f(x)−x+k没有零点，则一定有a−4；−④若存在实数k，使得函数y=f(x)−2+1恰有三个零点，则一定有a4；以上结论中，所有正确结论的序号是.三、解答题：本大题共3小题，共35分x+42x−316.（12分）设集合A={x||x−，B={x|，C{x|2k1x2k.=−+II）求A；III）若CA，求实数k的取值范围.（I）求(17.（分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0~24时）空气质量指数数据绘制成at+0t8散点图，并选择函数y=来近似刻画空气质量指数y随时间t变化的规t−64t+b,8t242（I）求a,b的值；（II）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？118.（12分）已知函数f(x)=.x(x−2)（I）判断f(x)在2)上的单调性，并用定义证明；（II）若g(x)=f(x+a)是偶函数，求a的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1.已知集合A=，B={z|z=x+y,x,y}，C={z|z=x−y,x,y}，则．B=CB．BC．B．B12.当x2时，4x+a恒成立，则a的最大值为x−2B．103.设集合A的最大元素为，最小元素为m，记的特征值为X=M−m，若集合中只有一．6C．12．13MAA个元素，规定其特征值为0.已知A，A，A，，n是集合*的元素个数均不相同的非空123真子集，且X+X+X+=120，则n的最大值为C．16．18A123．14B．15二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1317344.+(−)−2−−2−=________.1()=()()()5.若二次函数fx的图像关于x2对称，且faf0f1，则实数a的取值范围是.(xa),x0−216.设函数f(x)=.当a=时，f(x)的最小值是________；若f(0)是f(x)的最1x+,x02x小值，则a的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7.（10分）已知函数f(x)=(x−2)x+1.y=f(x)（I）求方程组的解集；2x−y=0（II）在答题纸的坐标系中，画出函数f(x)的图像；（III）若f(x)在(a,a上具有单调性，求实数的取值范围.+a=8.（10分）如果正整数集的子集Aa,a,*N,2)满足：12①1=aa；12(≤≤)，a,aAn)，使得a=a+a，②kA2knijkij则称A为集.（I）分别判断A=5与B=2,3,6是否为（II）当n=5时，对于集A=a,a,a,a,a，设S=1+，求证：；25S+112345（III）当7时，若n=36，求集A中所有元素的和的最小值.参考答案I卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号答案1C2B3B45C678B910BDAAD二、填空题（每题5分，共25分）1或512.4，31113.214.−，−715.②③48注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）3216.由题意A=(−−)，，=3，B=，3(I)；232(II)A；(III)显然2k−12k+C，312k+1或2k−13，解得k或k2，2414因此k的取值范围是−，，.8a+118=20617.(I)a=11，解得264−648+b=206(II)①是.711+=.b590=②0t8时，11t+118150，解得0t；8t24时，t2−t+590150，解得t；3222−10=12,11所以可以连续施工的最长时间为12小时.()18.(I)f(x)在1,2上单调递减.()定义域为0，，()xx任取1,21,2且，1211()−()=−fxfx12(−)(−)xx222xx211(−2x−x−211)x222=2(−)(−)xxx221221(2−)(+−)xx22=11(−)(−)xxx2221210()所以f(x)在1,2上单调递减.1()=(II)gx，(+)+−xa(xa2)()−+−==gx是偶函数，则定义域关于原点对称，(a)(2a)0，则a1，1()=此时gx(−−)，1，定义域，，(+)x1(x−11g(−x)==gx，符合题意，=()(−+)−−x1(x(+)−x1(xa=1.所以II卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1.A2.C3.C二、填空题（每题5分，共15分）1(),04.155.6.，24注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）(−)(+)−x2x1,x1()=7.fx，(−)(−−)−x1,xx21y=f(x)(I)2x−f(x)=0，2x−y=0y=2x当x−1，2xx2x10，−(−)(+)=即x−3x−2=0，23−3+x=x=解得2或2；y=3−y=3+当x−1，2xx2−(−)(−−)=x10，即2x+x−2=0，x=−2x=1解得或y=−4y2=3−173+17(−−)综上，方程组的解集是,317,−,317,4.+22(II)（作图过程略）1212(−−)，1，，+−(III)f(x)在递增，在，递减，a112所以a+1−1或a或，12a+11122(−−，2因此实数a的取值范围是，，.8.(I)注意到：31+1，因此数集1,3,5不是集.注意到：2=1+1,312,633，因此数集=+=+2,3,6是集.(II)由于集合Aa,a,=是集，12n，存在i,j1ijn)即对任意的2ka=a+a成立。kij，使得并且1a2=，故aa,aa.从而aa,aaik1jk1.1ikjk于是a=a+a2a，对任意的k(2kn)均成立。kijk1因此a2a,a2a,1，将这些不等式同向累加，有：5443a2+故a2a+a+..512从而aa+(S−a)=1+(S−a).5155于是25S+1.(III)数集A中所有元素的和的最小值为.首先，注意到1=1，根据集的定义，有a=a+a=2.211考虑集合A=36，A=36，此时A是集.下面，我们证明数集A中所有元素的和的最小值为.满足S=a+a+75的集合A只有有限多个，这是因为：1=aa,aaaa3，因此an.n12122323n(+)nn1故S=a+a+，当n12时，S7875.nn122因此满足S=a+a+75的集合A只有有限多个。75的集。n12设集合A为满足S=a+a+n12下面我们从最大和次大的元素两个角度分析集合A的构成：n1=n−2=9.a=18a=36=18+18若18A，设，注意到，tn为了使得S=a+a+最小，不存在元素a，使得18a36.n12kk从而an1=18.若18A，由于集合是集，Aa=36n，存在i,j，使得36=a=a+a.nij由于18A，故aai，由于集合A中至少有7个元素，j因此集合A中至少还有4个异于a,a,a的元素，但此时，ijnSa+a+a+4a=36+36+4=7675.矛盾！nijn1因此18A一定成立，此时a=18.同理可证：9=i+aa=9.n−2n1由于集合A是集，故存在i,j，使.不妨设ij，则aa.分四类：