2024-2025学年陕西省西安三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安三中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|ln(x+3)>0}，集合B={x∈N|(x+2)(x−3)≤0}，则A∩B=(

)A.{0,1,2,3} B.{1,2,3}

C.{0,1,2,3,4} D.{−2,−1,0,1,2,3}2.“a=3”是“直线l1：(a−1)x+2y+1=0与直线l2：3x+ay−1=0平行”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.已知复数z=3+2i2−i，则以下命题中为真命题的是(

)A.z的共轭复数为75−4i5 B.z的虚部为−75

4.已知椭圆x25+y2m=1的一个焦点坐标为A.1 B.4 C.7 D.95.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A1M=2MCA.13，23，23 B.23，13，23 C.23，23，6.已知圆C1：x2+y2=1与圆CA.相离 B.相交 C.内切 D.外切7.点P在直线l：x−y−1=0上运动，A(2,3)，B(2,0)，则|PA|−|PB|的最大值是(

)A.5 B.6 C.3 8.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为S1，S2，S3，则A.S1<S2<S3 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(1,0)，b=(1,23A.|a+b|=16 B.(a+b)⋅a=2

C.向量a+b10.若方程x23−t+y2t−1A.若C为椭圆，则1<t<3

B.若C是双曲线，则其离心率有1<e<2

C.若C为双曲线，则t>3或t<1

D.若C为椭圆，且长轴在y11.已知F是抛物线C：y2=2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是(

)A.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

B.若AF=2FB，则直线AB的斜率k=3

C.弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2=2px−p2

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的三个顶点A(0,0)，B(0,5)，C(2,0)，那么三角形外接圆的方程是______．13.四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为______．

14.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为左顶点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点N，M(点M在第一象限四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．

(1)设L的斜率为2，求|AB|的大小；

(2)求证：OA16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cacosB+bcosA=2cosC．

(1)求角C；

(2)CD是∠ACB的角平分线，若CD=43317.(本小题15分)

本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图．

(1)若数据分布均匀，用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；

(2)现从身高在区间[170,190)的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间[170,180)中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180,190)中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．18.(本小题17分)

已知动圆P与圆F1：(x+3)2+y2=81相切，且与圆F2：(x−3)2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，过点F2作OQ(O19.(本小题17分)

已知A，B分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=|AB|=4．

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知过点(4,0)的直线l：x=my+4，交C的右左两支于D，E两点(异于A，B)，

(i)求参考答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.C

6.D

7.A

8.C

9.BD

10.AD

11.AD

12.x213.0.8784

14.2

71515.解：(1)依题意得F(1,0)，∴直线L的方程为y=2(x−1)，

设直线L与抛物线的交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=2(x−1)y2=4x消去y整理得x2−3x+1=0，

∴x1+x2=3，x1x2=1．

法一：|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+16.解：(1)因为cacosB+bcosA=2cosC，

所以sinCsinAcosB+sinBcosA=sinCsinC=1=2cosC，

可得cosC=12，

又C∈(0,π)，

所以C=π3；

(2)因为在△ABC中，cosC=a2+b2−c22ab，

所以12=a2+b217.解：(1)由频率分布直方图可得：(0.022+0.027+0.025+x+0.01+0.001)×10=1，

解得x=0.015，

则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为(0.015+0.01+0.001)×10=0.26；

(2)由于身高在区间[170,180)，[180,190)的人数之比为5：3，

所以分层抽样抽取80人，区间[170,180)，[180,190)内抽取的人数分别为50人与30人，

设在区间[170,180)中抽取的50个样本为x1，x2…，x50其均值为176，方差为10，

即x−=176，s12=10，

设区间[180,190)中抽取的30个样本为y1，y2，⋯，y30，其均值为184，方差为20，

即y−=184，S22=16，

所以这18.解：(1)因为F1(−3,0)，F2(3,0)，圆F1半径为9，圆F2半径为1，

不妨设动圆圆心P(x,y)，半径为r，

由于动圆P与圆F1相切，且与圆F2相内切，

所以动圆P与圆F1只能内切，

此时|PF1|=9−r|PF2|=r−1，

所以|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=6，

则圆心P的轨迹是以F1(−3,0)，F2(3,0)为焦点，实轴长为8的椭圆，

可得2a=8，2c=6，

解得a=4，c=3，

又b2=a2−c2=7，

则曲线C的方程为x216+y27=1；

(2)因为OQ//MN，

所以△QMN等于△OMN的面积，

即△OMN的面积为S，

不妨设直线MN的方程为x=my+3，M(x1,y1)，N(x2,y2)19.解：(1)易知A(−a,0)，B(a,0)，

因为|AB|=2a=4，

所以a=2，

设P(m,n)，

因为点P在双曲线C上，

所以m24−n2b2=1，

即n2=b24(m2−4)，

又k1k2=nm+2⋅nm−