对数函数 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4对数函数第四章学习目标1.了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.2.能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数.4.比较几类函数模型增长的差异，并利用函数模型解决简单的实际问题.核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象新知学习什么是对数函数【定义】根据指数与对数的关系，由y＝ax（a>0，且a≠1）可以得到x＝logay（a>0，且a≠1），x也是y的函数.通常，我们用x表示自变量，y表示函数.为此，将x＝logay（a>0，且a≠1）中的字母x和y对调，写成y＝logax（a>0，且a≠1）.一般地，一般地，函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）.指数式和对数式的转化

什么是对数函数【问题】怎样判断一个函数是不是对数函数？【答】抓住对数函数解析式的三个结构特征：【1】y＝logax的系数为1【2】底数满足.【3】真数是自变量.

为什么对数函数的定义域是(0，+∞)？【答】由函数定义及解析式

可知，对数函数的自

变量x

恰好是指数

函数的函数值y，

所以对数函数的定义

域是(0，+∞)【1】求下列函数的定义域.（1）y＝log3x2；（2）y＝loga（4-x）（a>0，且a≠1）.【解】

（1）因为x2>0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}.（2）因为4-x>0，即x<4，所以函数y＝loga（4-x）的定义域是{x|x<4}.即时巩固对数函数的图象和性质【1】

y=log2x

的图象0.5-110214262.58583123.585

1y=log2x

对数函数的图象和性质

0.51102-14-28-316-4

1

对数函数的图象和性质

1利用换底公式，可以得到下式：即这两个函数关于x轴对称.实际上对于一般的两个函数y=logax和

轴对称的.

利用点

和点的关系即可证明.

y=log2x

【问题】怎样画出对数函数的图象？【答】用三点法，描出

三个点之后，用平滑的曲线连接起来即可.y＝logax（a>0，且a≠1）y＝logax（a>0，且a≠1）的图象和性质

过定点（1，0）减函数增函数①图象都在y轴右侧②都经过点（1，0）③无限靠近y轴但不相交④时，图象上升⑤时，图象下降

底大图高底大图低【注意】①对数函数值的变化：

②对数函数单调性口诀：对数函数有两种，底数大小要分清；底数若是大于1，图象从左往右增.底数0到1之间1，图象从左往右减；无论函数增或减，图象都过(1,0)点.y＝logax（a>0，且a≠1）的图象和性质【1】比较下列各式的大小.（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；【解】（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值.

因为底数2>1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4<8.5，

所以log23.4<log28.5.即时巩固（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值.

因为底数0.3<1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7.反函数

【结论】一般地，指数函数

与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）

互为反函数，它们的定义域和值域互换.

反函数【指数函数和对数函数的比较】

两个函数互为反函数，图象关于直线对称y＝logax（a>0，且a≠1）随堂小测1.下列函数为对数函数的是A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2logax(a＞0且a≠1)√2.函数y＝log2(x－2)的定义域是A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(2，＋∞) D.[4，＋∞)√3.函数y＝2log4(1－x)的图象大致是解析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝_____.log2x5.函数f(x)＝lnx2的减区间为_________.(－∞，0)课堂小结1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.3.研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.4.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.5