江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题

高三10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法计算化简即可；【详解】，复数的虚部是故选：D2.已知集合​，则​（）A.​ B.​ C.​ D.​【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集.【详解】因为集合​，​，所以​．故选：D．3.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可．【详解】解：因为公差的等差数列an中，，，成等比数列，所以，即，解得，所以，故选：C．4.已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量得到，求出，得到【详解】由在上的投影向量为，得，所以，所以，所以，又，所以故选：C.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用得到，求出，又，故，联立求出，利用余弦差角公式进行求解.【详解】因为，

，所以，所以，①，又因为，所以②，①②联立解得

，所以.故选：B6.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券;摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得百元代金券，则运气最好者获得至多（）百元代金券A. B.9 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】先由古典概率计算摸到不同颜色球的概率，再由离散型随机变量的数学期望公式求得，然后讨论为1、2、3、4、5时的值即可.【详解】由题意得摸到一红球一白球的概率为，摸到两红球的概率为，摸到两白球的概率为，所以，即，又a，b均为正整数，所以当时，有，即舍去当a=2时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券;当时，有，即舍去当时，有，即舍去当时，有，即舍去综上，运气最好者获得至多8百元代金券.故选：C.7.已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点M在C上即可求解.【详解】设点，则，即，又两条渐近线方程为，即，故有，所以故选：B.8.已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（）A. B.方程有解C.是偶函数 D.是偶函数【答案】B【解析】【分析】根据已知得到，应用递推式及累加法求解析式，进而判断各项正误.【详解】因为函数的定义域为R，由，，取，得，取，得，故A错误．取，得，所以，，⋯，，以上各式相加得，所以，不是偶函数，故C错误；令，得，解得x=1或2，故B正确；因为，所以不是偶函数，故D错误.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设正实数满足，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用平方法，结合基本不等式判断C，利用完全平方公式，结合基本不等式判断D，从而得解.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，此时取最大值，故A不正确；对于B，因为正实数满足，所以，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以，即最大值为2，故C错误；对于D，由，因此，当且仅当时取等号，则的最小值为，故D正确.故选：BD10.已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.当时，函数值域为D.函数有三个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据和的范围即可得，进而根据可得即可判断AB，根据整体法即可求解C，利用函数图象即可求解D.【详解】解：点代入解析式得，，即，又

故A项正确.由，解得，

又，，由A项可知，则有，

因此，

又因为和和，可知，，解得故B项正确.由AB选项可知，，

则时，，此时函数值域为故C项错误.由五点作图法作出的图象及的图象，如下图所示。通过图象可知与的图像有3个不同交点，因此函数有三个零点.因此D项正确。故选：ABD11.已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（）A.B.C.若，则D.若数列单调递增，则的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】由推出，两式相减即可判断A；由推出，两式相减即可判断B；由分析知，an中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再由等差数列得前项和公式求和可判断C；根据数列an单调递增可判断D.【详解】对于A，①，②.由①②式可得；，A选项正确；对于B，因为，所以，两式相减得：，所以B正确；对于C，因为，令，得，因为，所以，令，得，因为，，可得，因为，而，所以，所以an奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，所以，所以C选项正确；对于D，，令，则，所以，则，又因为，令，则，所以，同理：，，因为数列an单调递增，所以，解得：，解得：，解得：，解得：，解得：，所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用得出an的奇数项、偶数项分别成等差数列.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】【详解】因为，所以令，解得，所以=15，解得.考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.13.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为______.【答案】【解析】【分析】设正四棱锥的顶点在底面的投影为，由题意结合勾股定理计算可得该正四棱柱底面边长与侧棱长，再计算出侧面的高后，结合侧面积公式计算即可得解.【详解】如图所示，设P在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在PG上，由题意球的半径为，，所以，，则，故中，边的高为，所以该正四棱锥的侧面积为故答案为：14.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先通过f′x在区间上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得的范围，再通过在区间上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得的范围，综合可得答案.【详解】对于函数，，令，则，因为f′x在区间上单调递减，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在区间上单调递增，所以恒成立，所以，解得，综合得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）证明：（2）若，，求的周长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证；（2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得，从而求得，由此得解.【小问1详解】已知，可化为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，整理得.【小问2详解】当，时，，，所以，解得，所以的周长为16.如图，在三棱柱中，，四边形菱形，，.（1）证明：.（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过线面、面面的位置关系证平行四边形为菱形即可；（2）先证平面，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解.【小问1详解】设为的中点，连接，，，，因为，所以，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，又平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.【小问2详解】因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面；以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.则O0,0,0，，，，，可得，，.设平面的法向量为m=x,y,z，则令，则，，可得设平面的法向量为n=a,b,c，则令，则，，可得.，故二面角的正弦值为.17.已知椭圆的短轴长为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程;（2）过P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交椭圆C于另一点A，B，求证：直线AB过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当直线AB的斜率存在时，设其方程为，设Ax1,y1，Bx2,y2，联立方程，利用韦达定理求出【小问1详解】由题意，得，解得，，所以椭圆C的方程为；小问2详解】当直线AB斜率不存在时：Ax0,由知：，有，代入，知，可得或，但时与P重合舍去，此时；当直线AB的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理得，由，得，设Ax1,则，，因为，所以，所以，即，其中，，代入整理得，即，当时，直线AB过点P，不合题意，所以，此时，直线AB的方程为，直线过定点，综上所述，直线AB恒过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.18.设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”.（1）已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”;（2）若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”;（3）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由等差数列前n项和与通项公式，结合“H数列”的定义证明即可；（2）由证等比数列，并求数列通项公式，根据通项公式和前n项和及“H数列”的定义证明结论；（3）由等差数列前n项和与通项公式，结合“H数列”的定义得到，进而确定参数值.【小问1详解】因为，设公差为d，所以，令，则，这时，即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得，.所以，数列是“H数列”.【小问2详解】因为数列的前n项和，当n=1时，，所以，当n2时，，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列.所以，假设数列是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得，当m=1时，有，则n=1；当m2时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解.所以对任意正整数n，不存在正整数m，使得，所以数列不是“H数列”【小问3详解】依题意，，，若是“H数列”，则对任意的，都存在使得，即，所以，又因为，，所以对任意的，，且d<0，则19.已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，.（1）试判断在为凹函数还是凸函数?（2）设，，，，且，求最大值;（3）已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值.【答案】（1）凸函数（2）（3）【解析】【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可；（2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解；（3）令，，则问题转化为ℎx>0在上恒成立，对分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解.【小问1详解】，，所以，f″x，因为，所以f″x，所以在为凸函数.【小问2详解】由（1）知在内为凸函数，又，且（，，，），所以所以【小问3详解】令，，则ℎx>0在上恒成立，则，且，当，，不合题意舍去;当