第11讲 正多边形与圆（3种题型）（原卷版）

第11讲正多边形与圆（3种题型）1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．题型一：求正多边形的中心角一、单选题1．（2022·江苏·九年级假期作业）中心角为45°的正n边形的边数n等于（）A．12 B．10 C．8 D．62．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（）A． B． C． D．3．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（）A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2022秋·九年级课时练习）五角星绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个旋转角至少为_______度．6．（2022秋·江苏·九年级期中）线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是__度．三、解答题7．（江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度数；（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．题型二：已知正多边形的中心角求边数一、单选题1．（2022秋·江苏·九年级专题练习）有一个正n边形的中心角是36°，则n为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022秋·九年级课时练习）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·江苏·九年级专题练习）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（

）A．5 B．10 C．12 D．20二、填空题5．（2022秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．7．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为______．8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）一个正n边形的中心角为，则n为___________．9．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是________．三、解答题10．（2022秋·九年级课时练习）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．题型三：正多边形和圆一、单选题1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，是正六边形的边上一点，则的度数不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，面积为6的正六边形中，点，分别为边，上的动点，则阴影部分面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题4．（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）正方形内接于，E是的中点，连接，则________°．5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，正五边形内接于，是的直径，是上的一点（不与点，重合），则的度数为______°．6．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，正六边形与相切于点、，则______°．

7．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为，若用的内接正六边形的面积来近似估计的面积，则的面积约为________．8．（2023·江苏南京·统考一模）如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°．

三、解答题9．（2022·江苏·九年级假期作业）如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．10．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．11．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．12．（2023·江苏·九年级专题练习）[阅读与思考]如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；如图②，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；如图③，在正五边形中，点，是，上的点，且，则，；[理解与运用]在正六边形中，点，是，上的点，且，则，；在正十边形中，点，是，上的点，且，则，；[归纳与总结]根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于；也会有类似的结论，你的结论是．13．（2022秋·江苏徐州·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图．(1)在图①中画的一个内接正四边形，___________；(2)在图②中画的一个内接正六边形，__________．题型四：尺规作图一、解答题1．（2022秋·九年级课时练习）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．（1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___．（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．

2．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）3．（2022·江苏·九年级专题练习）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH

4．（2021秋·江苏·九年级专题练习）已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图．（1）在图1中作点P，使得是等腰三角形：（2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心．5．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．二、填空题7．（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号）一．选择题（共10小题）1．（2023•工业园区校级二模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．2．（2023•鼓楼区模拟）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A． B． C． D．3．（2023•梁溪区二模）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（）A．14° B．40° C．30° D．15°4．（2023•姜堰区二模）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2023•宜兴市二模）已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（）A．5 B．6 C．8 D．106．（2023•丹阳市模拟）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ABC的度数为（）A．22° B．23° C．24° D．25°7．（2022秋•南京期末）如图，AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，AD，BC交于点P，则∠APC的度数为（）A．126° B．127° C．128° D．129°8．（2022秋•宿城区期末）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2023•仪征市二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（）A．38° B．42° C．49° D．58°10．（2023•惠山区校级模拟）如图，面积为6的正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则阴影部分面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共8小题）11．（2023•镇江一模）如图，点A、B、C、D、E是圆O上的五等分点，该图形绕点O至少旋转度后与自身重合．12．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转°．13．（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为，则它的周长＝．14．（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为．15．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中，⊙O经过点E，且与AB，BC相切．若⊙O的半径为4，则正六边形的边长为．16．（2023•宝应县二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是，则B点的坐标是．17．（2023•玄武区一模）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝°．​18．（2023•高港区二模）如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的x的值．三．解答题（共7小题）19．（2022秋•盐都区校级月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．20．（2020秋•灌云县月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，CP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．21．（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．​（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是．22．（2022秋•南通期末）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心．若OA长为6，求正六边形ABCDEF的面积．23．（2022秋•镇江期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于．24．（2020秋•玄武区月考）【阅读理解】[阅读与思考]如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝；如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝；如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝；[理解与运用]在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝；在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ＝；[归纳与总结]根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．25．（2021•鼓楼区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP、DP与BC分别交于M、N．（1）∠BAM＝°；（2）若AB＝4，求MN的长．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）一．选择题（共7小题）1．（2022•岳池县模拟）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2022•达拉特旗一模）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝103mm，则这个正六边形的面积为（）A．2033mm2 B．3003mm2 C．1503mm2 D．7533．（2022•德城区模拟）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（）A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB4．（2022•天府新区模拟）如图，圆形螺帽的内接正六边形的边心距为23cm，则圆形螺帽的面积是（）A．83cm2 B．163cm2 C．8πcm2 D．16πcm25．（2022•成华区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，则∠P的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2022•宜兴市一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．108° B．129° C．130° D．144°7．（2022•蚌埠二模）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且MN∥BC．在点M从E移向D（与D不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变 B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大 C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大 D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小二．填空题（共6小题）8．（2022•和平区一模）已知圆的周长是6π，则该圆的内接正三角形的边心距是．9．（2022•新城区模拟）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为．10．（2022•西山区一模）如图，五边形DEFGH是边长为1的正五边形，⊙O是正五边形DEFGH的外接圆，过点D作⊙O的切线，与GH，FE的延长线交分别于点B和C，延长HG，EF相交于点A，连接GD，DF，下列结论正确的是．①∠HDE＝108°；②△ABC为等