2025版新教材高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案新人教A版

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备学问预案自诊学问梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=.

(2)商数关系:sinαcosα=2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-π2+正弦sinα

余弦cosα

正切tanα

口诀函数名不变,符号看象限函数名变更,符号看象限1.特别角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;(2)sinα=tanαcosαα≠π2+kπ,k∈Z;(3)sin2α=sin(4)cos2α=cos考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对随意的角α,β有sin2α+cos2β=1.()(2)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.((3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()(4)若cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则cosθ=13.(2.(2024河北衡水中学模拟一,理3)已知cosα-π2=-255,α∈π,3π2,则tanα=(A.2 B.32C.1 D.13.(2024河北唐山模拟,理4)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点A(2sinα,3)(sinα≠0),则cosα=()A.12 B.-1C.32 D.-4.函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值为()A.65 B.1 C.35 D关键实力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)若tan(α-π)=12,则sin2α+1A.-12 B.-2 C.12 D(2)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于()A.-43 B.54 C.-34解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=sinαcosαα2.“1”的敏捷代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tanπ43.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.对点训练1(1)已知α是第四象限角,sinα=-1213,则tanα等于(A.-513 B.513 C.-125(2)若3sinα+cosα=0,则1cos2α+2sinA.103 B.53 C.23 D考点利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值【例2】(1)(2024山西太原三模,理3)已知sinθ-cosθ=2,θ∈(0,π),则tanθ=()A.-1 B.-22 C.22 D(2)已知θ为其次象限角,sinθ,cosθ是关于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sinθ-cosθ=()A.1-32 B.1+32 C.解题心得1.通过平方,对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=t2-12,sinα-cosα=±2-t22.利用上述关系,对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,可以知一求二.对点训练2(2024江西名校大联考,理3)已知α∈-π2,0,sin(π-2α)=-12,则sinα-cosA.52 B.-52 C.62 D考点诱导公式的应用【例3】(1)已知sin(π-α)=log814,且α∈-π2,0,则tan(2π-α)的值为()A.-255 B.255 C.±(2)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,则tanθ-π4=.

解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简洁,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要擅长视察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3对点训练3(1)已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}(2)sin600°+tan240°的值等于.

(3)已知sin7π12+α=23,则cosα-11π12=.考点同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例4】(1)(2024河北邯郸联考)已知3sin33π14+α=-5cos5π14+α,则tan5π14+α=()A.-53 B.-35 C.35(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cosπ2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα=()A.355 B.377 C.解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,敏捷运用公式进行变形.2.留意角的范围对三角函数值符号的影响.对点训练4(1)已知角tanθ=2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θ等于()A.-26 B.26 C.-23(2)已知sinα=255,则tan(π+α)+sin(5π4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)1(2)tanα2.-sinα-sinαsinαcosαcosα-cosαcosα-cosαsinα-sinαtanα-tanα-tanα考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.A∵cosα-π2=sinα=-255,又α∈π,3π2,∴cosα=-55,∴tanα=2.故选3.A由三角函数定义得tanα=32sinα,即sinαcosα=32sinα,得3cosα=2sin2α=2(1-cos2α),解得cosα=12或4.A因为cosx-π6=cosπ2-x+π3=sinx+π3,所以f(x)=15sinx+π3+sinx+π3=65sinx+π3,故函数f(x)的最大值为65.故选A.关键实力·学案突破例1(1)D(2)D(1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=12si=2×(1(2)sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=si=tan又tanθ=2,故原式=4+2-对点训练1(1)C(2)A(1)因为α是第四象限角,sinα=-1213,所以cosα=1-sin2α=513(2)由题知,3sinα+cosα=0,且cosα≠0,故tanα=-131co例2(1)A(2)B(1)由sinθ-cosθ=2,得1-2sinθcosθ=2,所以2sinθcosθ=-1,又α∈(0,π),所以cosθ<0,所以θ∈π2,π,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=0,解得sinθ+cosθ=0,所以tanθ=-1.(2)由题意,sinθ+cosθ=1-32,sinθcosθ=m2,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ=解得m=-32.因为θ为其次象限角,所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-m=1+32,所以sinθ-cosθ=1+32=对点训练2D因为sin(π-2α)=-12,所以sin2α=-12,即2sinαcosα=-12.所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+12=32.又因为α∈-π2,0,所以sinα<cosα.所以例3(1)B(2)-43(1)sin(π-α)=sinα=log814=-又因为α∈-π2,0,则cosα=1-si∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-sinα(2)∵sinθ+π4=35,∴cosθ-π4=cosθ+π4-π2=sinθ+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角∴sinθ-π4=-45.∴tanθ-π4=-43.对点训练3(1)C(2)32(3)-(1)当k为偶数时,A=sinαsin当k为奇数时,A=-sinαsin(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-32(3)cosα-11π12=cos11π12-α=cosπ-π12+α=-cosπ12+α,而sin7π12+α=sinπ2+π12+α=cosπ12+α=23,故cosα-11π12=-23.例4(1)A(2)C(1)由3sin33π14+α=-5cos5π14+α,得sin5π14+α=-53cos5π14+α所以tan5π14+α=sin(5π14(2)由已知得3sin消去sinβ,得tanα=3,∴sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α