2024-2025学年高中数学第二讲三反证法与放缩法学案含解析新人教A版选修4-5

PAGE三反证法与放缩法考纲定位重难突破1.理解反证法在证明不等式中的作用，驾驭用反证法证明不等式的方法．2.驾驭放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.重点：1.理解反证法在证明不等式中的应用．2.驾驭反证法证明不等式的方法．难点：驾驭放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.授课提示：对应学生用书第21页[自主梳理]一、反证法先假设要证的命题不成立，以此为动身点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)冲突的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．二、放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．[双基自测]1．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的假设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析：恰有一个的否定是至少有两个或都是，故选D.答案：D2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确依次为________．解析：由反证法的证明过程知正确依次为③①②.答案：③①②3．A＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))与eq\r(n)(n∈N＋)的大小关系是________．解析：A＝eq\f(1,\r(1))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))≥＝eq\f(n,\r(n))＝eq\r(n).答案：eq\f(1,\r(1))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))≥eq\r(n)授课提示：对应学生用书第22页探究一反证法的应用[例1]已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).[证明](1)f(1)＋f(3)－2f＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2).则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2冲突，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).利用反证法证明不等式的方法步骤(1)反证法必需从否定结论进行推理，且必需依据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面动身进行论证，就不是反证法．(2)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较详细．(3)用反证法证明不等式时，推出的冲突有三种表现形式：①与已知冲突；②与假设冲突；③与明显成立的事实相冲突．1．已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证：eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)中至少有一个小于2.证明：假设eq\f(1＋y,x)≥2且eq\f(1＋x,y)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x，①1＋x≥2y，②①＋②得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，即x＋y≤2与x＋y>2冲突．∴假设不成立，故eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)中至少有一个小于2.探究二利用放缩法证明不等式[例2]设Sn＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)，求证：不等式eq\f(nn＋1,2)<Sn<eq\f(n＋12,2)对全部的正整数n都成立．[证明]∵Sn>eq\r(12)＋eq\r(22)＋…＋eq\r(n2)＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).且Sn<eq\f(1＋2,2)＋eq\f(2＋3,2)＋…＋eq\f(n＋n＋1,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f(2n＋1,2)<eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f(2n＋1,2)＝eq\f(n＋12,2)∴eq\f(nn＋1,2)<Sn<eq\f(n＋12,2).1．用放缩法证明不等式的过程中，往往采纳添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要留意适度，否则不能同向传递．2．利用常用结论：(1)eq\f(1,\r(k))＝eq\f(2,\r(k)＋\r(k))>eq\f(2,\r(k)＋\r(k＋1))＝2(eq\r(k＋1)－eq\r(k))，eq\f(1,\r(k))＝eq\f(2,\r(k)＋\r(k))<eq\f(2,\r(k)＋\r(k－1))＝2(eq\r(k)－eq\r(k－1))(k∈N＋，k>1)；(2)eq\f(1,k2)<eq\f(1,kk－1)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)；eq\f(1,k2)>eq\f(1,kk＋1)＝eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)(程度大)；(3)eq\f(1,k2)<eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,k－1k＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1)))(程度小)．2．对于随意n∈N＋，求证：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(7,4).证明：∵eq\f(1,n2)＝eq\f(1,n·n)<eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，∴1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n2)<1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,3×2)＋eq\f(1,4×3)＋…＋eq\f(1,nn－1)＝1＋eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝eq\f(5,4)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n)＝eq\f(7,4)－eq\f(1,n)<eq\f(7,4).放缩法在综合问题中的应用[典例](本小题满分13分)已知函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,x\o\al(2,n))<eq\f(2,3).[解析](1)f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*).……………1分当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sinx>0，此时f′(x)<0；当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sinx<0，此时f′(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N).………………4分(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，故x1＝eq\f(π,2).当n∈N*时，因为f(nπ)f((n＋1)π)＝[(－1)nnπ＋1]·[(－1)n＋1(n＋1)π＋1]<0，且函数f(x)的图象是连绵不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故nπ<xn＋1<(n＋1)π.∴eq\f(1,xn＋1)<eq\f(1,nπ)，eq\f(1,x\o\al(2,n＋1))<eq\f(1,π2)·eq\f(1,n2).……………………8分因此，当n＝1时，eq\f(1,x\o\al(2,1))＝eq\f(4,π2)<eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))<eq\f(1,π2)(4＋1)<eq\f(2,3)；当n≥3时，eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,x\o\al(2,n))<eq\f(1,π2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋1＋\f(1,22)＋…＋\f(1,n－12)))<eq\f(1,π2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,1×2)＋…＋\f(1,n－2n－1)))＝eq\f(1,π2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－2)－\f(1,n－1)))))＝eq\f(1,π2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(1,n－1)))<eq\f(6,π2)<eq\f(2,3).…………………12分综上所述，对一切n∈N*，eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,x\o\al(2,n))<eq\f(2,3).…………………………13分[规律探究]本题为高考压轴题，综合性强，考查了导数应用、函数零点、三角函数、数列和不等式证明等学问，难度较大，是为冲刺数学高分的同学打算的，解答本题的关键有两点，一是通过单调性获得零点所在区间得到nπ<xn＋1<(n＋1)π，二是运用放缩法证明不等式．[随堂训练]对应学生用书第23页1．用反证法证明命题“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”时，假设的内容是()A.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b) B．eq\r(3,a)<eq\r(3,b)C.eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)，且eq\r(3,a)<eq\r(3,b) D．eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)解析：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)的否定是eq\r(3,a)≤eq\r(3